1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях

При начислении сложных процентов один раз в год справедлива формула

,

где  сумма первоначального долга,  сумма погашаемого долга,

n  срок долга в годах, i  годовая процентная ставка.

Если проценты начисляются m раз в год по годовой процентной ставке j, то находится по формуле

.

В долгосрочных финансовых операциях и в теоретических исследованиях используют так называемое непрерывное начисление процентов. В этом случае проценты начисляются за каждый бесконечно малый промежуток времени и добавляются к сумме для начисления процентов на каждом следующем бесконечно малом промежутке времени. Найдем формулу для начисления наращенной суммы долга S(n) в этом случае

,

где  процентная ставка при непрерывном начислении процентов, которая называется силой роста.

Пример 1.10. На сумму 10000 руб. в течение двух лет (n = 2) банк начислял сложные проценты по годовой процентной ставке j = 0,10. Найти наращенную сумму, если проценты начислялись:

1) ежеквартально (m = 4); 2) ежедневно (m = 365); 3) непрерывно (m ).

Находим

руб.

руб.

руб.

1.9. Сравнение бесконечно малых функций

1. Сравнить бесконечно малые функции изначит найти предел их отношения.

2. Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.

Пример 1.11. Сравнить бесконечно малые функции

и .

Находим, не существует. Следовательно, бесконечно малые функцииинесравнимые.

3. Бесконечно малые функции называются одного порядка малости, если предел их отношения равен отличной от нуля конечной величине.

, где .

Пример 1.12. Сравнить бесконечно малые функции

и прих  2.

Находим .

Следовательно, бесконечно малые функциииодного порядка малости.

4. Бесконечно малые функции называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.

.

5. Бесконечно малая функция называется более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой, если предел их отношения равен нулю

.

Запись =о() означает, чтоболее высокого порядка малости по сравнению с. (Здесь в записи используетсяо – буква «о» маленькая).

Пример 1.13. ,.

6. Бесконечно малая функция называетсяn-го порядка малости по сравнению с , если, где.

Пример 1.14. Определить порядок малости по сравнению сx при .

Находим

.

Следовательно, бесконечно малая функция 2-го порядка малости по сравнению сx.

Теорема 1.10. Предел отношения бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е.

, где  , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как  , , получаем

.

Пример 1.16. Найти предел.

Так как sin3x  3x и tg5x  5x, то .

1.10. Непрерывность функции в точке и на отрезке

1.10.1. Определение непрерывности функции

Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f(x). Точки х и принадлежат интервалу (a, b). Разность называется приращением независимой переменнойх в точке , а приращением функции в точке при данном приращениих (рис. 9).

Пример 1.17. Найти приращения функций y = sinx и в точкепри приращении аргумента.

Находим: 1) ;

2) .

Рис. 9

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малому приращению независимой переменнойсоответствует бесконечно малое приращение функцииy, т. е.

. (1.4)

Например, функция y = С является непрерывной в любой точке х( ; +), так как .

Функция y = х так же является непрерывной в любой точке х( ; +), так как .

Преобразуем условие непрерывности (1.4)

.

Так как ,, то. Учитывая это, получим

или .

Последнее равенство можно записать следующим образом:

.

Таким образом, если функция непрерывная, то предел от функции равен функции от предела независимой переменной, т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в окрестности этой точки и предел функции в этой точке равен значению функции в предельной точке, т. е.

. (1.5)

Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонние пределы функции в граничных точках равны значениям функции в этих точках, т. е. ,.