1.6. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции

Теорема 1.3. Если функция имеет предел , то ее можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой функции, т.е., гдепри.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению предела

. Отсюда следует, что при, т. е..

Теорема 1.4. Если функция равняется сумме постояннойb и бесконечно малой функции , т. е., гдепри, то эта постоянная является ее пределом, т. е..

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ,.

Отсюда следует . В самом деле

, т. е. .

1.7. Теоремы о пределах (свойства пределов)

Теорема 1.5. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем теорему 1.3.

,

,

………………………………………..

,

где  бесконечно малые функции при .

Сумму левых частей равенств приравняем сумме правых частей, получим

. Так как сумма является постоянной, а сумма конечного числа бесконечно малых функций бесконечно малой функцией по первому свойству бесконечно малых функций, то по теореме 1.4

.

Теорема 1.6. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т. е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существуют пределы и

. По теореме 1.3 ,, где постоянные величины, бесконечно малые функции при . Тогда

.

Так как сумма является постоянной величиной, аявляется бесконечно малой функцией по свойствам 1 и 2 бесконечно малых функций, то по теореме 1.4

.

Следствие 1. Постоянную величину можно выносить за знак предела, т.е.

.

Следствие 2. Предел степени функции равен степени предела функции, т. е. .

Теорема 1.7. Предел частного функций равен частному пределов функций, если предел функции, стоящей в знаменателе, отличен от нуля, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ,,.

На основании теоремы 1.3 имеем ,.

Найдем разность функции и постоянной.

.

Согласно свойствам бесконечно малых функций данная разность является бесконечно малой функцией, следовательно, по теореме 1.4 предел функции равняется постоянной, т. е..

1.8. Замечательные пределы

При нахождении пределов от функций, являющихся частным двух других функций, часто возникают случаи, когда предел и числителя, и знаменателя равняется нулю или бесконечности. Данные случаи называются неопределенностями типа частного вида и. При нахождении пределов могут также встречаться неопределенности типа степени. Например, таких видов:. В этих случаях нельзя сразу с помощью подстановки предельного значения независимой переменной в функцию найти предел или утверждать, что этот предел не существует. Необходимо применять специальные приемы и формулы. Замечательные пределы служат для раскрытия неопределенностей типа частногои специального вида неопределенности типа степени.

1.8.1. Первый замечательный предел

Теорема 1.8 о промежуточной функции.

Если в некоторой -окрестности точки значения функциизаключены между значениями функцийи, т. е.и при этом=b, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть .

Тогда ,

.

Выберем , тогда

.

Теорема 1.9 о первом замечательном пределе.

Для любой бесконечно малой функции предел отношенияравен единице, т. е.. (1.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим окружность радиуса R с центром в точке О, сектор OAB с углом  и треугольники OAB, OAС, (АС – касательная к окружности) (рис. 8).

Рис. 8

Очевидно, для площадей этих фигур справедливо соотношение

.

Площади треугольников и сектора найдем по известным формулам, получим

.

Умножим данное неравенство на , имеем.

Для обратных величин этого неравенства справедливо соотношение

.

Так как , то по теореме о промежуточной функции

.

Бесконечно малые функции, предел отношения которых равен единице, называются эквивалентными. Записывают  .

Пример 1.5. .

Пример 1.6. .

Это значит, что tgx и х являются эквивалентными функциями (tgx  х).

Пример 1.7.

.