1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1.5.1. Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций

Определение бесконечно малой функции. Функция (x) называется бесконечно малой функцией при , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для любого x, принадлежащего -окрестности (x) находится в -окрестности начала координат (x), т.е..

В краткой записи на языке «  » данное определение имеет вид

.

Ни какое малое число (например, и т. д.) не является бесконечно малой величиной, кроме числа.

Определение бесконечно большой функции. Функция называется бесконечно большой при, если для любого сколь угодно большого положительного числаN существует такое положительное число , зависящее отN, что если x принадлежит -окрестности числа (), то абсолютная величина значения функции больше числаN ( ), т.е..

Иначе, можно кратко записать

.

Теорема 1.2. Функция, обратная по величине к бесконечно малой функции является бесконечно большой и, наоборот, функция, обратная по величине к бесконечно большой, является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть (x) бесконечно малая функция, т. е. . Докажем, чтоявляется бесконечно большой, т. е.. ПустьN произвольно выбранное сколь угодно большое положительное число. Так как , то для любого, в том числе и для >0, существует такая-окрестность , что, т. е.. Однако,равносильно. Следовательно, для значенийх, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функцияпо абсолютной величине больше произвольно выбранного сколь угодно большого числаN, а это означает, что .

2. Пусть . Докажем, чтоявляется бесконечно малой функцией, т.е.. Так как, то для любогоN, в том числе и для >0, где произвольно выбранное сколь угодно малое положительное число, существует такая -окрестность , что. Однако,. Следовательно, для значенийх, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функцияпо абсолютной величине меньше произвольно выбранного числа, а это означает, что .

Например, если , то, и наоборот, если, то.

Данная теорема часто используется при нахождении пределов дробно-рациональных функций.

1.5.2. Свойства бесконечно малых функций

Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пустьбесконечно малые функции при .

По определению для этих бесконечно малых функций запишем:

;

;

………………………………………………………………………………………..

.

Если принять , тоимеет место неравенство:

,

т. е. сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Свойство 2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функциюявляется бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (х) бесконечно малая функция, т. е. , а функцияf(x) в окрестности точки ограничена, т. е. , где. Так как бесконечно малая функция, то как бы мало ни было число , в том числе и равное , существует такая-окрестность , что.

Поэтому .

Следствие 1. Произведение бесконечно малой функции на постоянную величинуС является бесконечно малой функцией, т. е. .

Следствие 2. Произведение бесконечно малых функций иявляется бесконечно малой функцией.

Свойство 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от нуля () является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (x) бесконечно малая функция, т. е.

и . Докажем, что.

Так как , то существует такая-окрестность , что, а следовательно. Это значит, что в-окрестности точки функцияограничена. По свойству 2 произведение бесконечно малой(x) на ограниченную функцию является бесконечно малой, т. е..