1.4. Предел функции

1.4.1. Определение предела функции

Пусть имеется функция с областью определенияD и множеством значений Е. Пусть существует точка , являющаяся предельной для множестваD.

Говорят, что х стремится к , если можно в областиD выбрать бесконечное число различных последовательностей i  N стремящихся к .

Пусть любой последовательности значений независимой переменной , стремящейся к, соответствует последовательностьзначений функции(), стремящаяся к некоторому значению. Тогда говорят о пределе функции.

Определение предела функции по Гейне. Число b называется пределом функции при(), если любой последовательности, (), стремящейся к, соответствует последовательность значений функции, стремящаяся кb.

Определение предела функции по Коши (на языке ). Число b называется пределом функции при(), если для любого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что если значение х принадлежит -окрестности числа , то значение функциипринадлежит-окрестности числа b.

Кратко с помощью кванторов можно записать

.

Пример 1.1. Доказать, что .

Используем последнее соотношение из определения предела функции по Коши. Так как ,b = 5, а = 1, то

.

Отсюда следует, что для любогосуществуеттакое, что если, то. Это и подтверждает справедливость соотношения.

Аналогично данному примеру докажем еще три предела.

Пример 1.2. Доказать, что , гдеС = const.

.

Пример 1.3. Доказать, что .

.

Пример 1.4. Доказать, что .

.

Для случая, когда определение предела формулируется следующим образом.

Определение предела функции при . Число b называется пределом функции при(), если для любого положительного числа существует такое положительное число N, зависящее от , что если значение >N, то значение функции принадлежит-окрестности числа b ().

Кратко с помощью кванторов можно записать

.

Аналогично могут быть сформулированы определения предела функции при и, а именно

;

.

1.4.2. Геометрический смысл предела

На рис. 6 изображены окрестности ив случае предела

.

Рис. 6

На рис. 7 для случая предела изображена-окрестность числа b и такое числоN(), что если x > N(), то соответствующие значения функции попадают в -окрестность числа b и не покидают ее никогда.

Рис. 7

1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции

	 называется правосторонним пределом функции f(x) в точке или пределом справа.
	 называется левосторонним пределом функции f(x) в точке или пределом слева.

Теорема 1.1. Для того, чтобы существовал предел функции , необходимо и достаточно чтобы существовали односторонние пределы функции равные между собой, т. е.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Необходимость. Пусть существует предел. Тогда для любого > 0 существует окрестность такая, чтохзначение

f(x) независимо от того стремитсях к слева (x < ) или справа (x > ). Следовательно, существуют и односторонние пределы.

Достаточность. Пусть существуют равные между собой односторонние пределыи. Тогда в случае для любого  > 0 существует окрестность такая, что x>значениеf(x) . Также в случаедля того же > 0 существует окрестность такая, что x < значениеf(x) . Тогда для заданного значения > 0 при ,хзначение функцииf(x) независимо от тогоx > илиx < , т. е. пределсуществует.