Турищев Л.С. (сост.) Строительная механика. Часть 2. Статически неопределимые системы. ПГУ, 2009

если реальный конструкционный материал имеет большую площадку текучести.

13.2.Условия выключения из работы наиболее слабых мест стержневых конструкций

Превращение стержневой конструкции в геометрически изменяемую систему может происходить по двум причинам. Во-первых, за счет выключения из работы отдельных стержней при их растяжении или сжатии. И, во-вторых, при выключении из работы отдельных сечений изгибаемых стержней.

13.2.1. Условие выключения из работы стержня при растяжениисжатии

Определим величину предельной продольной силы в стержне при растяжении-сжатии (рис. 13.2, а). Нагрузка считается действующей вдоль оси стержня.

Рис. 13.2

Так как нормальные напряжения в поперечном сечении распределяются равномерно, то в соответствии с принятой диаграммой деформирования конструкционного материала при росте нагрузки возможны две стадий работы стержня

На первой стадии работы (рис. 13.2, б) нормальные напряжения в поперечном сечении не превышают предела текучести, и стержень находится в упругом состоянии.

На второй стадия работы (рис. 13.2, в) нормальные напряжения в поперечном сечении становятся равными пределу текучести

Т

ив стержне возникают пластические деформации. Поэтому дальнейший

рост деформаций возможен без увеличения нагрузки и стержень на этой стадии работы выключается из работы. Следовательно, значение продоль-

131

ной силы, при котором произойдет выключение сжато-растянутого стержня из работы, определяется по формуле

Здесь А – площадь поперечного сечения растянутого стержня. Условие (13.3) справедливо для сжатого стержня в случае неучета потери устойчивости.

13.2.2. Условиевыключенияизработысечениястержняприизгибе

Определим величину предельного изгибающего момента в случае чистого изгиба стержня с поперечным сечением, имеющим ось симметрии, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 13.3). Нагрузка считается действующей в плоскости симметрии.

В соответствии с принятой диаграммой деформирования конструкционного материала при росте нагрузки воз-

Рис. 13.4

На первой стадии работы (рис. 13.4, а) все поперечное сечение находится в упругом состоянии. Нормальные напряжения в растянутой и сжатой зонах не превышают пределов текучести.

На второй стадии работы (рис. 13.4, б) напряжение в крайнем волокне растянутой зоны нормальное напряжение достигает предела текучести и впервые появляется пластическая деформация. Все остальное сечение по-прежнему находится в упругой стадии.

На третьей стадии работы (рис. 13.4, в) пластические деформации в растянутой зоне распространяются к центру тяжести сечения. Кроме того, напряжение в крайнем волокне сжатой зоны достигает предела текучести и

132

здесь также появляется пластическая деформация. Одновременно начинает происходить смещение вверх нейтральной линии.

Четвертая стадия работы (рис. 13.4, г) характеризуется распространением вглубь сечения пластических деформаций в растянутой и сжатой зонах. Кроме того, происходит дальнейшее смещение вверх нейтральной оси.

На пятой стадии работы (рис. 13.4, д) пластическая деформация охватывает полностью растянутую и сжатую части сечения, и граница этих зон определяет окончательное положение нейтральной линии. Так как дальнейший рост деформаций возможен без увеличения нагрузки, то сечение на этой стадии работы выключается из работы, а изгибающий момент

в сечении является предельным Mпр0 .

Поскольку части стержня, расположенные слева и справа от сечения, могут взаимно поворачиваться вокруг нейтральной линии, как будто в этом месте появился шарнир, то принято говорить, что в сечении образовался пластический шарнир

(рис. 13.5).

В отличие от действительного шарнира, пластический шарнир воспринимает постоянный по ве-

гда материал начинает работать как упругий, пластический шарнир исчезает.

Для определения положения нейтральной линии в предельном состоянии сечения составим сумму проекций всех внутренних сил, распределенных по сечению на ось стержня

части сечения. Из (13.4) следует, что положение нейтральной линии описывается соотношением

Зная положение нейтральной линии, можно найти значение предельного момента Mпр0 . В соответствии со схемой распределения внутренних

133

сил (рис.13.4д) предельный момент, при котором происходит выключение сечения из работы, определяется по формуле

той частей площади поперечного сечения относительно нейтральной оси сечения в предельном состоянии.

Величина, стоящая в скобках в правой части (13.6), характеризует сопротивление сечения стержня изгибу в предельном состоянии и называ-

ется пластическим моментом сопротивления

Пластический момент сопротивления больше обычного момента сопротивления сечения и связан с ним соотношением

Wпл W .

Коэффициент 1 и его величина зависит от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения 1,5 , а для двутаврового сечения 1,15. Очевидно, что коэффициент

WWпл ,

характеризует степень увеличения несущей способности сечения стержня при учете пластических свойств материала согласно диаграмме Прандтля

(рис. 13.1).

На величину предельного изгибающего момента существенное влияние оказывают продольная и поперечная силы, которые появляются, если нагружение стержня отличается от чистого изгиба. В этом случае предельный изгибающий момент определяется по формуле

где Nпр0 Т A, Qпр0 Т A и, следовательно

Mпр Mпр0 .

134

13.3. Определение несущей способности ферм

Для определения несущей способности фермы необходимо выяснить, при какой наименьшей нагрузке произойдет выключение из работы некоторого числа стержней, превращающее ее в геометрически изменяемую систему. Поскольку в этом случае дальнейший рост нагрузки на ферму невозможен, то такое состояние фермы считается предельным. Действующие нагрузки на ферму считаются однопараметрическими.

В случае статически определимой фермы предельное состояние достигается при выключении из работы хоты бы одного стержня. В случае статически неопределимой фермы для достижения предельного состояния число стержней, которые должны выключиться из работы, равно числу лишних связей плюс один стержень. При этом следует иметь в виду, что при выключении из работы стержней, которые относятся к числу абсолютно необходимых связей, предельное состояние будет достигнуто раньше.

Рассматривая все возможные схемы превращения фермы в механизм, определяются нагрузки, при которых это происходит. Для их определения обычно используется кинематический способ, в основе которого лежит принцип возможных перемещений

В качестве предельного состояния фермы выбирается та схема превращения в механизм, которая достигается при наименьшей нагрузке.

13.3.1. Несущая способность статически определимой фермы

Рассмотрим определение несущей способности для симметричной простейшей статически определимой фермы (рис. 13.6).

Для заданной схемы нагружения продольные силы в обоих стержнях одинаковы и равны

135

где – перемещение узла фермы. Подставляя в (13.10) соотношение (13.3), получим следующую величину несущей способности фермы с учетом пластических деформаций

Pпр 2 Т Acos .

При расчете фермы без учета физической не- Рис. 13.7 линейности ее несущая способность согласно (13.1)

с учетом (13.9) может быть найдена из соотношения

Таким образом, в случае статически определимых ферм учет физической нелинейности не влияет на несущую способность. Это является следствием независимости продольных сил от деформаций системы.

13.3.2. Несущая способность статически неопределимой фермы

А теперь рассмотрим определение несущей способности для симметричной простейшей статически неопределимой фермы (рис. 13.8).

Данная ферма один раз статически неопределимая система. Используя метод сил, найдем продольные силы в стержнях фермы

136

где – перемещение узла фермы. Подставляя в (13.12) соотношение (13.3), получим следующую величину несущей способности фермы с учетом пластических деформаций

Pпр Т A 1 2cos .

При расчете фермы без учета физической нелинейности ее несущая способность согласно (13.1) с учетом (13.11) может быть найдена из соотношения

и, следовательно, она равна

Pпрлин Т A 1 2cos3 .

Сопоставление полученных величин показывает, что несущая способность фермы при учете пластических деформаций увеличивается

13.4. Определение несущей способности стержневых конструкций, работающих на изгиб

Для определения несущей способности изгибаемой стержневой конструкции необходимо выяснить, при какой наименьшей нагрузке произойдет выключение из работы некоторого числа сечений, вследствие образования в них пластических шарниров и превращения конструкции в геометрически изменяемую систему. Поскольку в этом случае дальнейший рост нагрузки на изгибаемую конструкцию невозможен, то такое ее состояние считается предельным. Действующие нагрузки на конструкцию, как и в случае фермы, считаются однопараметрическими.

В случае статически определимой изгибаемой конструкции предельное состояние достигается при образовании в ней хотя бы одного пластического шарнира. В случае статически неопределимой изгибаемой конструкции для достижения предельного состояния число образовавшихся в ней пластических шарниров должно быть на единицу больше числа лишних связей. Однако могут быть частные случаи перехода изгибаемой конструкции в предельное состояние при образовании иного числа пластических шарниров.

137

Водних случаях переход изгибаемой конструкции в предельное состояние может произойти при образовании меньшего числа пластических шарниров, чем величина Л+1, вследствие превращения в механизм не всей конструкции, а только отдельной ее части. В этом случае говорят о частичном разрушении изгибаемой конструкции. Но и в этом случае дальнейшее нагружение конструкции считается невозможным.

Вдругих случаях переход изгибаемой конструкции в предельное состояние может произойти при образовании большего числа пластических шарниров, чем величина Л+1. В этом случае говорят об избыточном разрушении изгибаемой конструкции.

Рассматривая все возможные схемы превращения изгибаемой конструкции в механизм, определяются нагрузки, при которых это происходит. Для их определения также используется кинематический метод, и уравнение работ в этом случае имеет вид

В качестве предельного состояния конструкции выбирается та схема превращения ее в механизм, которая достигается при наименьшей нагрузке.

13.4.1. Несущая способность статически определимой изгибаемой конструкции

Рассмотрим определение несущей способности для простой однопролетной балки при действии сосредоточенной силы в средине пролета

(рис. 13.10).

Поперечное сечение балки прямоугольное с размерами bxh.

Для заданной схемы нагружения наибольший изгибающий момент возникает в сечении балки посредине пролета

Поэтому достижение предельного состояния балки связано с образованием пластического шарнира в этом сечении (рис. 13.11).

138

С учетом этого уравнение (13.13) для рассматриваемой балки примет вид

Подставляя в (13.15) соотношение (13.7) получим следующую величину несущей способности балки с учетом пластических деформаций

Pпр Т bhl 2 .

При расчете балки без учета физической нелинейности ее несущая способность согласно (13.1) с учетом (13.14) может быть найдена из соотношения

Сопоставление полученных величин показывает, что несущая способность балки при учете пластических деформаций увеличивается

PPлинпр 1,5. пр

13.4.2. Несущая способность статически неопределимой изгибаемой конструкции

Определение несущей способности для статически неопределимой изгибаемой конструкции рассмотрим на примере статически неопределимой балки при действии равномерно распределенной нагрузки по длине всего пролета (рис. 13.12, а).

Поперечное сечение балки прямоугольное с размерами bxh.

Данная балка два раза статически неопределимая система. Используя метод сил, построим эпюру изгибающих моментов (рис. 13.12, б). Из построенной эпюры следует, что наибольшие по модулю изгибающие моменты возникают в опорных и среднем сечениях

139

Следовательно, предельное состояние балки достигается при одновременном образовании пластических шарниров в этих

Рис. 13.13 сечениях (рис. 13.13).

С учетом этого уравнение (13.13) для

рассматриваемой балки примет вид

Подставляя в (13.17) соотношение (13.7) получим следующую величину несущей способности балки с учетом пластических деформаций

qпр 4 Т bh2 .

l2

При расчете балки без учета физической нелинейности ее несущая способность согласно (13.1) с учетом (13.16) может быть найдена из соотношения

Сопоставление полученных величин показывает, что несущая способность балки при учете пластических деформаций увеличивается

qqлинпр 2 . пр

13.5. Резюме

Под несущей способностью конструкции понимается величина предельной нагрузки, которую она может выдержать, удовлетворяя требованиям прочности и устойчивости.

Определение несущей способности методом расчета по разрушающим нагрузкам основано на рассмотрении предельного состояния конструкции, которое достигается в упруго-пластической стадии работы. Поведение материала конструкции описывается диаграммой Прандтля.

140