ridsolomon

модифицированныевеличины E1 , E2 ,..., Et . Этузадачуможнорешитьспомощьюлюбого

метода декодирования БЧХ-кода, например, с помощью алгоритма Питерсона- Горенстейна-Цирлера или алгоритма Берлекэмпа-Месси, который будет рассмотрен ниже. В результате будут получены локаторы ошибок X1 , X 2 ,..., X t . Для того, чтобы

найти действительные значения ошибок на позициях, соответствующих локаторам, мы можем воспользоваться вторым соотношением в (4.4.10) и получить:

4.4.4 Метод Форни вычисления величин ошибок и стираний

Какбылопоказановыше, вычислениевеличиношибокистиранийпроисходитпосле того, как определен полином локаторов ошибок на основе знания синдрома или модифицированного синдрома. Если стираний нет, то модифицированные и исходные синдромные компоненты совпадают. Мы видели, что как величины ошибок, так и величины искажений на стертых позициях, находятся посредством решения системы линейныхуравнений. Впервомслучаесистемасостоитиз t уравнений, вовторомслучае

– из s уравнений. Количество операций для решения общей системы линейных уравнений порядка t пропорционально t3 . Оказывается, что число операций можно

уменьшитьпримернодовеличины, пропорциональной t2 , есливоспользоватьсяметодом, предложенным Форни (1965) для алгоритма Питерсона-Горенстейна-Цирлера.

Предположим, чтопринятоесловосодержитошибкиистиранияиобозначимчерез T (x) синдромный полином, T (x) = ∑dj=−1s−1 Tj x j−1 . Определим также полином

Ω(x) = T (x)Λ(x) mod x d −s−1 , называемый полиномом величин ошибок. Очевидно, что

21

полиномвеличиношибокполучаетсяизобычногопроизведениясиндромного полинома иполиномалокаторовошибок Λ(x) = ∏it=1 (1 − xX i ) засчетотбрасываниявсехслагаемых

состепенями d − s −1 ивыше. Используяопределениемодифицированныхсиндромных компонент (4.4.10),

Сумму в фигурных скобках можно вычислить, используя следующее равенство для любого поля при α ≠1

1 +α +α2 +... +αd −2 = 1 −αd −1 , 1 −α

которое проверяется простым перемножением знаменателя в правой части на сумму в левой. В результате, учитывая, что Ω(x) представляет остаток от деления на xd −s−1 , получим

Здесь произведено сокращение на 1 − xX l поскольку переменная х будет в дальнейшем принимать значения отличные от Xl−1 . Кроме этого, мы воспользовались тем, что 1 −(xX l )d −s−1 =1mod xd −s−1 . Заметим, что степень полинома Ω(x) равна t-1, где t ≤ (d − s −1) / 2 .

t

Рассмотрим значение полинома Ω(x) в точке X k−1 . Произведение ∏(1 − xX i )

i=1,i≠l

обращается в 0 при подстановке X k−1 , если только k ≠ l . Поэтому

t

Ω( X k−1 ) = Ek X kl0 ∏(1 − X k−1 X i ) . i=1,i≠k

С другой стороны, вычисляя формальную производную полинома Λ(x) по x, получим

Отсюда

t

Λ' ( X k−1 ) = −X k ∏(1 − X k−1 X i ) .

i=1,i≠k

Окончательно мы можем записать для модифицированных величин ошибок следующее соотношение:

Наэтапевычисления величиношибокполиномлокаторов Λ(x) =1 + Λ1 x +... + Λt xt уже вычислен, поэтому формальную производную

22

можно легко вычислить. Кроме этого, можно вычислить полином ошибок как произведение по модулю xd −s−1 синдромного полинома T (x) и полинома локаторов ошибок. Поэтому соотношение (4.4.13) можно применить для вычисления величин модифицированных ошибок Ek , k =1,..., t .

Если стираний нет, т.е. s = 0 , то модифицированные и обычные величины ошибок совпадают и на этом декодирование заканчивается. Если же стирания присутствуют, то вычислениянужнопродолжитьстем, чтобыопределитьвеличиныстираний V1 ,V2 ,...,Vs .

Это делается следующим образом. Определим новую тройку полиномов:

Далее R(x) будет играет роль синдромного полинома, P(x) - полинома локаторов

Пример 4.4.2. Для иллюстрации приведенных выше вычислений продолжим рассмотрение примера 4.4.1. Напомним, что РС-код этого примера имеет длину 7, минимальноерасстояние5 ипорождающийполином g(x) = = x4 +ε2 x3 +ε5 x2 +ε5 x +ε6 ,

где ε - корень полинома f (x) = x3 + x +1 и задается корнями 1,ε,ε2 ,ε3 . Предположим,

23

что передаваемое слово c(x) = x4 +ε2 x3 +ε5 x2 +ε5 x +ε6 и произошла одна ошибка на шестой позиции и два стирания на нулевой и второй позициях. Стертые символы

Затем нужно решить задачу декодирования БЧХ-кода для заданных синдромных компонент T1 ,T2 . Для этого выполняются следующие шаги.

1.Находитсячислоошибок; tmax =1, M1 = [T1 ], det M1 = T1 ≠ 0 . Следовательночисло ошибок равно 1.

2.Находится коэффициент Λ1 полинома локаторов ошибок. Для этого решается уравнение T1Λ1 = T2 , откуда Λ1 = T2 / T1 =ε6 .

3.Отыскивается корень полинома Λ(x) = Λ1 x +1. Локатор ошибки это величина, обратнаякорню: X1 = Λ1 =ε6 . Таким образом, позицияошибкиопределена – это шестая позиция.

4.Для вычисления величины ошибки найдем Ω(x) = T (x)Λ(x) mod xd −s−1 и

уравнения (4.4.10): Y1 = E1 / p( X1 ) = ε3 /(ε12 +ε6 ε6 +ε2 ) = ε. Таким образом,

величина ошибки на шестой позиции равна ε .

5. Далеевычисляютсяискажениянастертыхпозициях, нанулевойинавторой. Для этогоопределяютсяполиномы, указанныев(4.4.14). Имеем, R j = S j − ∑t Yl X ll0 + j−1 ,

24

6.Таким образом, мы получили e(x) = εx6 +ε5 x2 +ε6 . Результат декодирования совпадает с исходным кодовым словом:

r(x) − e(x) = εx6 + x4 +ε2 x3 +ε5 x +εx6 +ε5 x2 +ε6 =

=x4 +ε2 x3 +ε5 x2 +ε5 x +ε6 = c(x)

25