ridsolomon
.pdfГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО
ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем
В.Д.КОЛЕСНИК
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ
«КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ
(Алгебраическая теория блоковых кодов)»
Глава 4. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема (БЧХ-Коды)
Санкт-Петербург
2005-2006
1
Содержание:
Гл.4 Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема (БЧХ-Коды)
§4.1 Алгебраическое декодирование циклических кодов
4.1.1Алгебраическое декодирование циклических кодов с минимальным расстоянием 3
4.1.2Алгебраическое декодирование циклических кодов с минимальным расстоянием 5
§4.2 Матрица Вандермонда
§4.3 Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема
4.3.1 Определение БЧХ-кодов
4.3.2Двоичные примитивные БЧХ-коды
4.3.3Двоичные непримитивные циклические коды
4.3.4Недвоичные БЧХкоды, граница Синглтона и коды Рида-Соломона
§4.4 Декодирование БЧХ-кодов
4.4.1 Основное уравнение декодирования БЧХ кодов
4.4.2Алгоритм декодирования Питерсона-Горенстейна -Цирлера
4.4.3Исправление ошибок и стираний
4.4.4Метод Форни вычисления величин ошибок и стираний
2
Гл.4 Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема (БЧХ-Коды)
§4.1 Алгебраическое декодирование циклических кодов
Вэтом параграфе мы начнем рассмотрение алгебраического декодирования циклических кодов, которое сводит задачу определения положений и величин ошибок к решению некоторой системы уравнений, в общем случае нелинейных. Несмотря на кажущуюся сложность алгебраического подхода, часто оказывается, что он существенно упрощает задачу декодирования. Более того, на основе этого подхода оказывается возможным сформулировать алгебраические требования к порождающему полиному, при выполнении которых код будет иметь заданное минимальное расстояние.
4.1.1 Алгебраическое декодирование циклических кодов с минимальным расстоянием 3
Начнем с задачи декодирования двоичных циклических кодов Хемминга с минимальным расстоянием 3. Порождающий полином g(x) такого кода
является неприводимым примитивным делителем двучлена xn −1, n = 2m −1 .
Обозначим через α корень этого полинома и воспользуемся тем, что каждое кодовое слово с(x) делится нацело на g(x), и, следовательно, c(α) = 0 для
любого c = (c0 , c1 ,..., cn−1 ) . Это свойство позволяет представить проверочную матрицу кода Хемминга следующим образом:
|
H = [1 |
α |
|
α2 ... |
|
αn−2 αn−1 ] . |
(4.1.1) |
||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
c HT = (c |
, c |
,..., c |
n−1 |
) |
|
α |
|
= c |
0 |
+ c α +... + c |
αn−1 |
= c(α) = 0 . |
|
o |
1 |
|
|
.... |
|
|
1 |
n−1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае однократной ошибки на позиции i принятое слово r(x) = c(x) + e(x) , где e(x) = xi . Синдром этого слова будет равен
S = r HT = r(α) = e(α) =αi .
Длятого, чтобынайтипозициюошибкиповычисленномусиндрому, мыдолжнырешить следующее уравнение
αi = S , |
(4.1.2) |
отыскивая то значение i, которое доставляет равенство в (4.1.2). Напомним, что соответствующее i называется логарифмом S и записывается как i = logα S . Поэтому
декодирование циклического кода Хемминга состоит из следующих шагов: (1) найти синдром S = r(α) ; (2) найти позицию ошибки i = logα S ; (3) инвертировать символ на
позиции i.
3
4.1.2 Алгебраическое декодирование циклических кодов с минимальным расстоянием 5
Пусть f1 (x)- примитивный полином, порождающий поле GF(q), q = 2m , и его корень α - это примитивный элемент этого поля. Рассмотрим декодирование
двоичного циклического кода С с длиной n = 2m −1 и минимальным расстоянием 5. Как мы убедимся позже, проверочная матрица для такого кода может быть взята в виде:
|
α |
α |
2 |
... |
α |
n−1 |
|
|
|||
1 |
|
|
. |
|
|||||||
H = |
α |
3 |
α |
3 2 |
... |
α |
3 (n−1) |
(4.1.3) |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из условия c HT =0 вытекает, что для любого кодового слова |
c(x) C |
c(α) = 0, c(α3 ) = 0.
Другими словами, величины α и α3 являются корнями каждого кодового слова и, следовательно, корнямипорождающегополинома. Очевидно, чтоэтидвевеличиныполя
GF(q), q = 2m , порождают два различных циклотомических класса. Следовательно, полином f3 (x), корнем которого является α3 , неприводим над полем GF (2) и отличен от полинома f1 (x). Поэтому порождающий полином кода С равен
g(x) = f1 (x) f3 (x) .
Теперь опишем алгебраический метод определения позиций ошибок. Введем в рассмотрение локаторы позиций, с помощью сопоставления
n = 2m −1 позициям кодового слова различные ненулевые величины поля GF (2m ) , например, сопоставляя i ↔ αi для всех i = 0,1,…n - 1. Если при передаче произошли две ошибки на позициях с номерами i и j, то этим двум ошибкам соответствуют два локатора X1 =αi , X 2 =α j . Эти локаторыоднозначноопределяют позицииошибок, i = logα X1 и j = logα X 2 . Поэтомузадачудекодированиядвоичногокода можно трактовать, как задачу отыскания соответствующих локаторов ошибок.
В случае двойной ошибки слово на входе декодера имеет следующий вид: r(x) = c(x) + xi + x j . Декодеру при этом известно, что с(α) = 0, с(α3) = 0. Введем
в рассмотрение две величины S1 = r(α) =αi +α j , S3 = r(α3 ) =α3 i +α3 j , которые назовем компонентами синдрома. Их можно вычислить по полиному r(x) , поэтому
они считаются известными к началу декодирования. Нетрудно видеть, что локаторы ошибок и компоненты синдрома связаны между собой следующими уравнениями:
S1 = X1 + X 2 , . |
(4.1.4) |
S3 = X13 + X 23. |
|
Введем в рассмотрение полином локаторов |
ошибок, σ(x) = x2 +σ1 x +σ2 , |
обладающий по определению тем свойством, |
что локаторы X1 , X 2 являются |
корнями σ( x) . По теореме Безу многочлен локаторов ошибок можно представить следующим образом:
4
|
|
σ(x) = (x − X1 )(x − X 2 ) = x2 −( X1 + X 2 )x + X1 X 2 . |
(4.1.5) |
||||||||||||||||||||||
Согласно (4.1.4) S1 = X1 + X 2 и поскольку поле GF (q) |
имеет характеристику 2 |
||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 3 |
= ( X |
1 |
+ X |
2 |
)3 = X 3 |
+ X |
2 X |
2 |
+ X |
1 |
X |
3 |
+ X |
3 . |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
Отсюда имеем σ |
2 |
= X |
1 |
X |
2 |
= (S 3 |
− S |
) / S |
и σ |
1 |
= −S . Учитывая эти соотношения, |
||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(x) = x2 |
− S x + |
S 3 |
− S |
3 |
. |
|
|
|
|
|
(4.1.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, зная компоненты синдрома S1 , S3 , мы можем вычислить
коэффициенты полинома локаторов ошибок. Декодирование происходит следующим образом. Мы рассмотрим 3 случая.
А) Пусть |
|
S1 = 0, S3 = 0 . В этом случае предполагается, что ошибок не было и |
||||||
результатом декодирования служит принятое слово r( x) . |
||||||||
В) Пусть S |
1 |
≠ 0, S |
3 |
= S 3 . Такое имеет место при одиночных ошибках. Если ошибка |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
находится на |
i -м месте, |
то S =αi |
и S |
3 |
=α3 i = S 3 . Тогда из (4.1.6) следует, что |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
σ(x) = x2 − S1 x = x(x − S1 ). Локатор ошибки это корень полинома σ( x) . В данном случае ненулевой корень равен S1 и он единственный, поэтому позиция ошибки
~
i = logα S1 . Выходом декодера является слово r(x) , в котором символ на позиции i инвертирован.
С) Предположим, что S1 ≠ 0, S3 ≠ S13 . Мыможемвычислитькоэффициенты полинома
σ( x) как это указано в (4.1.6). Для отыскания позиций ошибок нужно найти корни этого полинома. Корни можно найти, например, перебирая все ненулевые
элементы X GF (2m ) и находя те Х, для которых σ( X ) =0. При двух ошибках будут найдены два локатора ошибок X1 , X 2 . Позиции ошибок будут найдены как i1 = logα X1 , i2 = logα X 2 . Выходомдекодераявляетсяслово y(x) , в котором символы на позициях i1 , i2 инвертированы.
§4.2 Матрица Вандермонда
Воснове теории циклических кодов с произвольным минимальным расстоянием лежат свойства одной замечательной матрицы, известной под названием матрицы Вандермонда. Матрицей Вандермонда называется квадратная матрица следующего вида:
|
|
X1 |
X1 |
2 |
... |
|
m−1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
X1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
m−1 |
|
|
|
V |
= 1 |
X 2 |
X 2 |
|
... |
X 2 |
|
, |
(4.2.1) |
|||
m |
. . |
|
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
2 |
... |
X |
m−1 |
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
где X1 , X 2 ,..., X m−1 - элементы произвольного поля.
5
Теорема 4.2.1 Определитель матрицы Вандермонда можно вычислить следующим образом:
detVm = ∏( X j − X i ) . |
(4.2.2) |
i, j {1,....,m}, j>i
Доказательство: Будем доказывать по индукции. Очевидно, V1 =1 . При m=1 множествоиндексовв(4.2.2) пусто. Произведениепустогомножествасомножителей принимается равным единице. Легко найти, что detV2 = X 2 − X1 , следовательно, (4.2.2) верно в этом случае. Предположим, что равенство (4.2.2) верно для матрицы порядка
(m −1) ×(m −1) , т.е. |
|
detVm−1 = ∏( X j − X i ) . |
(4.2.3) |
i, j {1,....,m−1}, |
|
j>i |
|
Докажем, чтоприэтомравенствобудетвернымидляматрицыпорядка m ×m . Дляэтого
~
рассмотрим матрицу V m (x) , которая получается из Vm заменой X m на переменную х:
|
|
X1 |
|
2 |
... |
X |
m−1 |
|
|
|
1 |
X1 |
1 |
|
|||||
|
|
X 2 |
X 22 |
|
X 2m−1 |
||||
~ |
1 |
... |
|
||||||
V m (x) = . . |
. |
. |
|
. |
. |
||||
|
|
X |
|
X 2 |
... |
X m−1 |
|
||
|
1 |
m−1 |
|
||||||
|
|
|
m−1 |
|
|
m−1 |
|||
|
|
|
x |
x |
2 |
... |
x |
m−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
~
Определитель этой матрицы detV m (x) представляет собой полином степени m −1, коэффициенты которого являются произведениями и суммами величин X1 , X 2 ,..., X m−1 .
Коэффициентпри xm−1 равен c |
m−1 |
= detV |
. Очевидно, X |
1 |
, X |
2 |
,..., X |
m−1 |
являютсякорнями |
|
|
m−1 |
|
|
|
|
|
||||
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
совпадет с последней |
||
полинома detV m (x) , так как в матрице V m (x) строка с номером j |
||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
и, следовательно, detV m ( X j ) =0, |
j=1,2,…,m-1. Выписывая полином detV m (x) |
через его |
||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
корни, получим detV m (x) = cm−1 |
(x − X1 ) ... (x − X m−1 ) . |
|
Учитывая (4.2.3) и |
то, что |
||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
detVm = detV m ( X m ) , получим утверждение теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Определитель матрицы Вандермонда (4.2.1) не равен нулю, если все величины X1 , X 2 ,..., X m различны, и равен нулю, если хотя бы две величины из
X1 , X 2 ,..., X m совпадают.
§ 4.3 Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема (БЧХ-коды) – это широкий класс циклических кодов, способных исправлять многократные ошибки. Эти коды играют заметную роль в теории и практике кодирования. Интерес к ним определяется следующим:
1)среди БЧХ - кодов присутствуют весьма хорошие коды;
2)для этих кодов известны относительно простые методы кодирования и декодирования;
3)коды Рида-Соломона, являются широко известным подклассом недвоичных БЧХ - кодов, которые обладают определенными оптимальными свойствами;
6
4) полное понимание кодов БЧХ, по-видимому, является наилучшей отправной точкой для изучения многих других классов кодов.
4.3.1 Определение БЧХ-кодов
q-ичные БЧХ-коды задаются следующим образом. Пусть ε - примитивный элементполя GF (qm ) и β =εs - элементпорядкаn, т.е. βn =1, причемn естьнаименьшее
ненулевоецелоестакимсвойством. Напомним, что {1,ε,ε2 ,...,εq m −2}- сутьвсеразличные ненулевые элементы поля GF (qm ) , а β - порождает циклическую подгруппу
порядка n, {1, β, β2 ,..., βn−1}. |
Предположим, что {β1 , β2 ,..., βd −1} |
- различные |
||||||
ненулевые элементы поля GF (qm ) , |
причем |
β1 |
= βl0 , β2 = βl0 +1 ,..., βd −1 = βl0 +d −2 . |
|||||
Рассмотрим матрицу размера (d −1) ×n следующего вида: |
|
|||||||
|
|
β1 |
2 |
|
n−1 |
|
|
|
|
1 |
β1 ... |
β1 |
|
|
|||
|
|
β2 |
2 |
|
n−1 |
|
||
H = |
1 |
β2 ... |
β2 |
. |
(4.3.1) |
|||
|
. |
|
. |
. |
. |
. |
|
|
|
1 |
β |
d −1 |
β2 |
... |
βn−1 |
|
|
|
|
|
d −1 |
|
d −1 |
|
|
Будем предполагать, что Н является проверочной матрицей некоторого линейного кода длины n, т.е. c HT = 0 для любого слова c = (c0 , c1 ,..., cn−1 ) этого кода.
Теорема 4.3.1. Линейный код C с проверочной матрицей (4.3.1) является циклическим кодом с длиной n. Порождающий полином этого кода имеет среди своих
корнейd–1 последовательныхстепеней β , аименно, β1 = βl0 , β2 = βl0 +1 ,..., βd −1 = βl0 +d −2 . Минимальное расстояние кода не меньше, чем d.
Доказательство: Покажем, что вес w(c) любого ненулевого кодового слова c C не меньше, чем d. Для этого предположим противное, а именно, что
нашлось ненулевое слово c = (c |
, c |
,..., c |
n−1 |
), c |
i |
GF(qm ), с весом меньшим, чем d, |
0 |
1 |
|
|
|
||
для которого c HT = 0 . Это означает, |
что в матрице Н нашлись менее, чем d |
столбцов, линейная комбинация которых равна нулю. Другими словами, в матрице Н можно выделить квадратную (d −1) ×(d −1) подматрицу Р с нулевым
определителем. Выпишемэтуподматрицу, обозначивчерез i1 , i2 ,..., id −1 номерастолбцовв Н, которые образуют Р:
|
βi1 |
βi2 |
... |
βid −1 |
|
|
|
βl0i1 |
|
βl0i2 |
... |
|
βl0id −1 |
|
|
||||
|
1 |
1 |
... |
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
β(l0 |
+ |
|
|
|
P = |
β2i1 |
β2i2 |
β2id −1 |
|
= |
β(l0 1)i1 |
β(l0 1)i2 ... |
1)id −1 |
|
|
|||||||||
. |
. |
. |
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
. |
. |
|
|
. |
|
|
|
|
i |
i |
... |
β |
d |
d −1 |
|
|
β |
(l |
+d −2)i |
β |
(l +d −2)i |
2 ... |
β |
(l +d −2)d |
− |
|
|
|
β 1 |
β 2 |
d |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
d |
1 |
|
|||||||
d −1 |
d −1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицу Р можно представить в виде следующего произведения:
7
|
|
1 |
|
1 |
... |
|
|
βi1 |
|
βi2 |
... |
P = |
|
|
|
. |
. |
. |
|
||||
|
β |
(d −2)i |
β |
(d −2)i |
2 ... |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
βl0i1 |
β |
id −1 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
. |
|||
|
|
. |
||
β(d −2)dd −1 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 ... |
0 |
|
|
|
l |
i |
|
|
|
β 0 2 ... |
0 |
|
= P P . |
|
. |
. |
. |
|
1 2 |
0 ... |
|
|
|
|
βl0dd −1 |
|
|||
|
|
|
|
|
Матрица P1 |
есть |
транспонированная матрица Вандермонда, построенная для |
||||
X |
1 |
= βi1 |
,..., X |
d −1 |
= βid −1 . Матрица P - диагональнаяматрица, определителькоторой равен |
|
|
|
|
|
2 |
произведению диагональных членов. Определитель матрицы Р равен произведению определителей сомножителей. Поскольку {i1 , i2 ,..., id −1} - различные числа из множества
{0,1,..., n −1}, то βi1 ,..., βid −1 - различныененулевыеэлементы GF (qm ) . Отсюдавытекает,
что det P ≠ 0 . Это противоречит исходному предположению о том, что в матрице Н имеются d −1 линейнозависимыхстолбцови, следовательно, тому, чтоимеетсякодовое слово с весом меньшим, чем d .
Теперь докажем, что код с проверочной матрицей Н является циклическим и порождающийполиномимеетуказанныйвтеоременаборкорней. Пусть c = (c0 , c1 ,..., cn−1 )
- кодовое слово и c(x) = ∑ci xi - соответствующий этому слову полином. Рассматривая
i
произведение c HT = 0 , мы можем заметить, что
c HT = [c(β1 ) c(β2 ) ... c(βd −1 )] ,
т.е. полином c(x) удовлетворяетследующимусловиям: c(βi ) = 0, i =1,..., d −1 . Другими словами, каждоекодовоеслово, аследовательно, порождающийполином g(x) , должны иметьсредисвоихкорней d −1 последовательныхстепеней βl0 , βl0 +1 ,..., βl0 +d −2 GF(qm ) . Другими корнями полинома g(x) являются величины поля GF (qm ) , сопряженные с βl0 , βl0 +1 ,..., βl0 +d −2 . Такимобразом, корнипорождающегополиномаявляютсястепенями элемента β . Порядок β равен n, поэтому все корни порождающего полинома имеют порядокn, т.е. являютсякорнямидвучлена xn −1 . Следовательно, порождающийполином g(x) является делителем xn −1 и код является циклическим.
Наосноветеоремы4.3.1 строятсяразличныециклическиекоды, параметрыкоторых зависят от выбора полей и порождающих элементов. Эти коды были открыты Боузом и Рой-Чоудхури(1960) инезависимоотнихХоквингхемом(1959). Длинакодаопределяется порядкомn выбранногопорождающегоэлемента β . Кодназываетсяпримитивным, если
n = qm −1, т.е. если β является примитивным элементом GF (qm ) . Главное требование,
обеспечивающее минимальное расстояние d, это требование существования d −1 последовательных степеней элемента β среди корней порождающего полинома. Не
существенно с какого элемента βl0 начинается ряд последовательных степеней.
Действительноеминимальноерасстояниедлянекоторыхкодовравнопоменьшеймереd. Для некоторых кодов оно может оказаться большим, чем d. Поэтому параметр d
называется конструктивным расстоянием БЧХ-кода.
Число проверочных символов определяется для выбранного поля GF(q) суммарной степенью неприводимых сомножителей порождающего полинома.
8
4.3.2 Двоичные примитивные БЧХ-коды
Мыначнем изучение БЧХ-кодовс построения двоичных примитивных кодов. Для этого выберем q=2 и n = 2m −1 . Обозначим через ε -примитивный элемент GF (2m ) и через f1 (x) неприводимый над GF (2) полином, корнем которого является ε . Этот полином имеет степень m , поэтому его корнями служат элементы циклотомического
класса ε,ε2 ,ε22 ,...,ε2m−1 , порожденного ε . Длины циклотомических классов, |
которые |
|
порождаются другими элементами поля, |
являются делителями числа m. |
Выберем |
полином g(x) с коэффициентами из GF (2) |
так, чтобы εl0 ,εl0 +1 ,εl0 +2 ,...,εl0 +d −2 |
были его |
корнямипринекоторомзначениичисла l0 . Дляэтогопотребуем, чтобысреди элементов циклотомических классов, соответствующих корням g(x) , присутствовали указанные
d-1 величин поля. Поскольку каждый такой класс соответствует неприводимому над GF (2) полиному, степень которого равна длине циклотомического класса, и g(x)
должен быть произведением таких полиномов, то наилучшим будет такой выбор циклотомических классов, при котором суммарная степень полиномов – сомножителей минимальна.
В качестве примера выпишем циклотомические классы элементов поля GF (24 ) , используя логарифмическую форму представления, т.е. выписывая только показатели
степени примитивного элемента ε и используя тождество ε15 =1 , а также укажем соответствующие неприводимые полиномы, корнями которых являются элементы циклотомических классов:
|
I0 ={0}, |
f0 (x) = x +1, |
|
I1 |
={1, 2, 4,8}, |
f1 (x) = x4 |
+ x +1, |
I3 |
={3, 6,12, 9}, |
f3 (x) = x4 + x3 |
+ x2 + x +1, |
I5 ={5,10}, |
f5 (x) = x2 |
+ x +1, |
|
I7 ={7,14,13,11}. |
f7 (x) = x4 |
+ x3 +1. |
Отметим сразу, что в двоичном случае все циклотомические классы, исключая класс I0 ={0}, в логарифмическойформепорождаютсянечетнымичислами, поскольку четное
число 2l, l ≠ 0, принадлежиттомужеклассу, чтоичисло l . Поэтомуусловиетого, чтобы внекотором множествециклотомическихклассовнашласьсерия {l0 , l0 +1,...,l0 + d − 2},
состоящая из d −1 последовательных натуральных чисел, в двоичном случае эквивалентноусловиютого, чтобынашласьсерия, из [d −1/ 2] идущихподряднечетных
чисел. Отсюдаиизтого, чтодлиныциклотомическихклассовнепревышаютm , вытекает следующее утверждение, справедливое для двоичных БЧХ-кодов.
Теорема 4.3.2. Количество избыточных символов r в двоичном БЧХ-коде с минимальнымрасстоянием d = 2t +1 идлинойn , где n = 2m −1 илиявляетсяделителем этого числа, удовлетворяет неравенству r ≤ mt . Количество избыточных символов в двоичном коде с минимальным расстоянием d = 2t + 2 не превосходит mt +1.
Пример4.3.1. Пустьm=4 иn=15. Вследующейтаблицеприведеныпараметрывсех двоичныхБЧХ-кодовдлины15 сразличнымизначениямиконструктивногорасстояния d . Для кодов из табл.4.3.1 минимальное и конструктивное расстояния совпадают.
9
|
|
|
Табл.4.3.1 |
|
|
|
|
d |
{I} |
Корни |
Порожд. полиноом g(x) |
|
|
|
|
2 |
I0 |
{0} |
x +1 |
3 |
I1 |
{1, 2, 4,8} |
x4 + x +1 |
4 |
I0 , I1 |
{0},{1, 2, 4,8} |
(x +1) (x4 + x +1) |
5 |
I1 , I3 |
{1,2,4,8},{3,6,12,9} |
(x4 + x +1) (x4 + x3 + x2 + x +1) |
6 |
I0 , I1, I3 |
{0},{1,2,4,8},{3,6,12,9} |
(x +1) |
|
|
|
(x4 + x +1) (x4 + x3 + x2 + x +1) |
7 |
I1 , I3 , I5 |
{1,2,4,8},{3,6,12,9},{5,10} |
(x4 + x +1) (x4 + x3 + x2 + x +1) |
|
|
|
(x2 + x +1) |
8 |
I0 , I1 , I3 , I5 |
{0},{1,2,4,8},{3,6,12,9}, |
(x +1) (x4 + x +1) |
|
|
{5,10} |
(x4 + x3 + x2 + x +1) (x2 + x +1) |
15 |
I1 , I3 , I5 , I7 |
{1,2,4,8},{3,6,12,9},{5,10}, |
(x4 + x +1) (x4 + x3 + x2 + x +1) |
|
|
{7,14,13,11} |
(x2 + x +1) {x4 + x3 +1} |
В таблице 4.3.2 даны паметры некоторых двоичных примитивных БЧХ-кодов, n, k и t = (d −1) / 2 , где d конструктивное расстояние кода. Использована восьмеричное
представление порождающего полинома (например, 23 ↔ (010 011) или x4 + x +1)
|
|
|
Табл.4.3.2 |
|
|
|
|
n |
k |
t |
Порождающийполиномввосьмеричнойформе |
|
|
|
|
15 |
11 |
1 |
23 |
|
7 |
2 |
721 |
|
5 |
3 |
2467 |
|
|
|
|
31 |
26 |
1 |
45 |
|
21 |
2 |
3551 |
|
16 |
3 |
10765 7 |
|
11 |
5 |
54233 25 |
|
6 |
7 |
31336 5047 |
|
|
|
|
63 |
57 |
1 |
103 |
|
51 |
2 |
12471 |
|
45 |
3 |
17013 17 |
|
39 |
4 |
16662 3567 |
|
36 |
5 |
10335 00423 |
|
30 |
6 |
15746 41655 47 |
|
24 |
7 |
17323 26040 4441 |
|
18 |
10 |
13630 26512 35172 5 |
|
16 |
11 |
63311 41367 23545 3 |
|
10 |
13 |
47262 23055 27250 155 |
|
7 |
15 |
52310 45543 50327 1737 |
|
|
|
|
10