ridsolomon

10722 22205 77232 20662 56312 41730 02353 47420 17657 47501

54441

9923 10656 66725 34731 74222 74141 62015 74332 25241 10764

32303 431

9125 67502 65030 32744 41727 23631 72473 25110 75550 76272

07243 44561

7927 66700 03563 76575 00020 27034 42073 66174 62101 53267

11766 54134 2355

7129 24024 71052 06443 21515 55417 21123 31163 20544 42503

62557 64322 17060 35

6330 10754 47505 51635 44325 31521 73577 07003 66611 17264

55267 61365 67025 43301

5531 73154 25203 50110 01330 15275 30603 20543 25414 32675

50105 57044 42603 54736 17

4742 25335 42017 06264 65630 33041 37740 62331 75123 33414

54460 45005 06602 45525 43173

4543 15202 05605 52341 61131 10134 63764 23701 56367 00244

70762 37303 32021 57025 05154 1

3745 51363 30255 06700 74141 77447 24543 75304 20735 70617

43234 32347 64435 47374 03044 003

11

В таблице 4.3.2 приведены параметры кодов с нечетными конструктивными расстояниями 2t +1. Порождающие полиномы строились по совокупности корней

ε,ε2 ,...,ε2t . Четное расстояние 2t + 2 может быть получено присоединением корня 1.

Другимисловами, порождающийполиномБЧХ-кодасчетным расстоянием получается из порождающего полинома с нечетным расстоянием в результате умножения этого полинома на x +1 .

4.3.3 Двоичные непримитивные циклические коды

Если длина кода n является делителем 2m −1 , но не совпадает с этим числом, то код называют непримитивным.

В таблице 4.3.3 приведены параметры некоторых непримитивных двоичных циклических кодов и приведены их порождающие полиномы в восьмеричной форме.

Табл.4.3.3

В случае примитивных кодов действительное кодовое расстояние весьма часто совпадаетсконструктивнымрасстоянием. Однако, вслучаенепримитивныхкодовтакого совпадения чаще всего нет. Дело в том, что наличие d −1 последовательных степеней средикорнейпорождающегополиномаявляетсядостаточнымусловием того, чтовкоде нет слов веса l ≤ d −1. Существуют другие формы условий, вытекающие из свойств симметрических функций корней, которые можно использовать для уточнения границ минимального расстояния циклических кодов.

Для иллюстрации метода уточнения минимального расстояния циклических кодов рассмотрим знаменитый плотно упакованный двоичный код Голея, открытый в 1949 г. еще до появления теории кодирования. Это код с длиной n=23, k=12, исправляющий

следующих 11 элементов (приведены их логарифмы): {1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12}. В ряду корней имеются только 4 последовательные степени β : {1, 2, 3, 4}. Поэтому

конструктивное расстояние этого кода равно 5. Покажем, что действительное значение минимального расстояния равно 7.

Имеетсямногодоказательствэтогофакта. Мыприведемодноизних, основанноена свойствах т.н. симметрических функций корней и на их связи с коэффициентами

12

t

полиномов. Пусть σ(x) = xt +σ1 xt −1 +... +σt −1 x +σt = ∏(x − X i ) -полином, корнями

i=1

которого служат элементы некоторого поля X1 , X 2 ,..., X t . Известно, что коэффициенты

этого полинома являются элементарными симметрическими функциями корней. Связь между ними устанавливается с помощью известных в алгебре тождеств Ньютона:

Мыбудемсчитать, что X1 , X 2 ,..., X t - этолокаторыненулевыхсимволовнекоторого

t

кодового слова c(x) = xi1 + xi2 +... + xit и σ(x) = ∏(x − X i ) - полином степени t, корни

i=1

которого – локаторы ненулевых символов этого слова. Каждому кодовому слову веса t соответствует полином σ(x) . Коэффициенты σ1 ,σ2 ,... ,σt икорни X1 , X 2 ,..., X t связаны

уравнениями (4.3.2). Кроме того, для всякого кодового слова имеют место равенства:

В коде нет слов с весом t, если система уравнений (4.3.2) не имеет ненулевых решений относительно σ1 ,σ2 ,... ,σt при выполнении условий (4.3.4).

Вначале покажем, что в коде Голея (23,12) нет слов веса 5. Это будет сделано, если мыубедимсявтом, чтосистемауравнений(4.3.2) неимеетненулевыхрешенийпри t = 5 . Заметим, чтодлякодаГолеяимеетсявсего2 циклотомическихклассадлины11. Поэтому Sk ≠ 0 для всех других индексов k, отличных от указанных в (4.3.4). Иначе

конструктивное расстояние было бы равно n. Из уравнений 1, 3 и 5 в (4.3.2) получим,

имеетрешенийпри t = 5 . Такимжеобразомдоказывается, что(4.3.2) неимеетненулевых решений при t = 6 . Действительно, из уравнений 1, 3 и 5 в (4.3.2) снова получим, что

S5σ2 +S7 = 0 , что противоречит найденному σ2 = 0 . Таким образом, (4.3.2) не имеет

решенийпри t = 6 . ЗначитминимальноерасстояниекодаГолеянеменьше7. Оноравно7, поскольку порождающий полином является одним из кодовых слов и имеет вес 7.

Аналогичный анализ применим ко многим двоичным циклическим кодам и дает улучшенную оценку минимального расстояния.

13

4.3.4 Недвоичные БЧХкоды, граница Синглтона и коды Рида-Соломона

Теорема 4.3.1 верна для любых конечных полей. Она приводит к кодам с конструктивным расстоянием d, если среди корней порождающего полинома найдется серия d-1 подряд идущих степеней некоторого элемента поля. Однако, теорема 4.3.2 о количествеизбыточныхсимволоввнедвоичномслучаедолжнабытьпереформулирована.

Теорема 4.3.3. Количество избыточных символов r в p-ичном БЧХ-коде, p ≠ 2 , с минимальнымрасстоянием d = 2t +1 идлинойn , где n = pm −1 илиявляетсяделителем

этого числа, удовлетворяет неравенству r ≤ 2mt . Количество избыточных символов в недвоичном коде с минимальным расстоянием d = 2t + 2 не превосходит 2 mt +1.

Рассмотримтроичныйплотноупакованный(11,6)-кодсминимальнымрасстоянием 5, которыйтакжебылоткрытГолеемв1949 г. Этоткодпорождаетсянеприводимым над полем GF(3) полиномом g(x) = x5 + x4 + 2x3 + x2 + 2 , который делит x11 −1 . Следова-

тельно, корень β этого полинома имеет порядок 11, а циклотомический класс, порожденный β состоит из следующий элементов (в логарифмическом представлении) {1, 3, 9, 5, 4}. Порождающий полином имеет среди своих корней β3 , β4 , β5 , поэтому по

БЧХ-границе минимальное расстояние кода больше или равно 4. Покажем, что минимальное расстояние этого кода равно 5. Для этого воспользуемся тождествами Ньютона и тем, что S1 = S3 = S9 = S5 = S4 = 0 . Заметим, что элементы порядка 11

образуют еще один циклотомический класс, состоящий из 5 элементов поля: {2, 6, 7, 10, 8}. Очевидно, что ни одна из величин S2 , S6 , S7 , S10 , S8 не равна нулю. В противном

случае все слова по БЧХ границе имели бы вес 11 и порождающий полином имел бы степень10. Итак, мы хотим показать, что в коде нет слов веса 4, т.е. система (4.3.2)

неразрешима для полинома локаторов позиций σ(x) = x4 +σ1 x3 +σ2 x2 +σ3 x +σ4 . Изпервогоуравнения(4.3.2) получаем σ1 = 0 . Изпоследнегоуравнениядля k = 7

получим S7 + S6σ1 + S5σ2 + S4σ3 + S3σ4 = S7 = 0 , что невозможно. Поэтому слов веса 4 нет. Минимальное расстояние равно 5, поскольку порождающий полином имеет вес 5.

Особое место среди недвоичных БЧХ-кодов занимают коды Рида-Соломона (РСкоды), открытые еще до изобретения БЧХ-кодов. Эти коды обладают уникальными свойствами, которые будут рассматриваться ниже. Они лежат в основе многих кодовых конструкций (например, в основе каскадных кодов) и используются во многих прикладных задачах (например, в контроллерах магнитных дисков, оптических дисков, накопителей на магнитных лентах, а также во многих системах передачи данных).

Дляпримитивных q -ичныхРС-кодовдлинакода n = q −1 икодовыйалфавитэто поле GF(q) . Определим порождающий полином кода следующим образом. Пусть ε - примитивный элемент GF(q) и

где εl0 ,εl0 +1 ,εl0 +2 ,...,εl0 +d −2 - серия подряд идущих степеней ε , задающих код. Кодовыми словамиРС-кодаявляютсявсеполиномывида m(x)g(x) , гдеинформационныйполином

m(x) = m0 + m1 x +... + mk −1 xk −1 имеет коэффициенты mi GF(q) и степень k −1 = n − d . Конструктивное расстояние кода согласно теореме 4.3.1 равно d.

Покажем, что РС-коды принадлежат классу кодов с максимальным достижимым расстоянием (классу МДР-кодов). Для этого докажем вначале неравенство, называемое границей Синглтона.

14

Теорема 4.3.4 (Граница Синглтона). Для любого q -ичного кода с длиной n и минимальным расстоянием d количество кодовых слов удовлетворяет неравенству

Доказательство: Любые два кодовых слова отличаются по меньшей мере в d позициях. Еслимыудалимнекоторые d −1 позицийизвсехкодовыхслов, толюбыедва

слова, укороченные до длины n − d +1 по-прежнему будут различаться. Имеется qn−d +1

различных q -ичных слов длины n − d +1 , поэтому M ≤ qn−d +1 .

Коды, у которых число кодовых слов равно правой части неравенства (4.3.6) называются кодами смаксимальным достижимым расстоянием (или МДР-кодами). При заданных q, n и M на этих кодах достигается наибольшее возможное минимальное

расстояние. Нетрудноувидеть, чтодляРС-кодовчислокодовыхслов M = qk = qn−d +1 , т.е. на них достигается граница Синглтона и, следовательно, они являются МДР-кодами.

Пример4.3.1. ПостроимРС-кодсрасстоянием d = 5 надполем GF(23 ) . Дляэтого кода q = 8, n = q −1 = 7 . Предположим, чтодлязаданияэтогополявыбранпримитивный, неприводимый над GF (2) полином f (x) = x3 + x +1 . Обозначим через ε его корень. В

последующих вычислениях мы будем учитывать, что ε7 =1 и что ε3 +ε +1 = 0 . Код с расстоянием 5 задается полиномом

g(x) = (x −1)(x −ε)(x −ε2 )(x −ε3 ) = x4 +ε2 x3 +ε5 x2 +ε5 x +ε6 .

Здесь выбрано l0 = 0 иследующая совокупность корней ε0 =1,ε,ε2 ,ε3 . Числоинформа-

ционныхсимволовравно k = n − r = 3 . Имеется q3 = 83 = 29 = 512 кодовыхслов. Каждое

кодовое слово это последовательность из 7 восьмеричных символов. Любые два слова различаютсяпоменьшеймерев5 позициях, следовательнолюбыеошибкикратности1 и 2, где ошибка - это любое искажение восьмеричного символа, могут быть исправлены.

§ 4.4 Декодирование БЧХ-кодов

Теперь мы перейдем к центральному вопросу теории БЧХ-кодов, а именно, к их алгебраическому декодированию. Этот вопрос оказывается центральным, так как построение и декодирование многих других кодов так или иначе к этому сводится. Исторически первый метод декодирования был найден Питерсоном (1960) (двоичный случай), а также Горенстейном и Цирлером (1961) (недвоичный случай), практически одновременно с открытием БЧХ-кодов (1959, 1960). Существенное продвижение в сторону упрощения алгоритма было найдено Берлекэмпом (1968) и в дальнейшем усовершенствовано Месси (1969). Концептуально более ясный метод декодирования, основанный на использовании алгоритма Евклида, был предложен в работе Сугияма, Касахара, Хирасава и Намекава (1975).

Мы начнем с алгоритма Питерсона-Горенстейна-Цирлера, который имеет ясную алгебраическуютрактовку. Онсводитзадачудекодированияк решениюсистемлинейных уравнений подобно тому, как это делалось в разд. 4.1.1 и 4.1.2, и позволяет ввести основные объекты, связанные с декодированием, – синдромный полином, полиномы локаторов и величин ошибок, и изучить их основные свойства. Затем мы опишем метод декодирования, основанный на алгоритме Евклида. Этот метод использует матричное представление алгоритма Евклида и также достаточно прост в понимании. Он применяется для решения т.н. ключевого уравнения декодирования и позволяет существенноуменьшитьсложностьтойчастиалгоритмадекодирования, которая связана с решением системы линейных уравнений.

15

Замечательно красивой оказывается спектральная трактовка БЧХ-кодов и их алгоритмовдекодирования. СпомощьюпреобразованийФурьевконечныхполяхможно представлять операции кодирования и вычисления синдромных компонент. При этом можноиспользоватьразличныевариантыбыстрыхпреобразований(БПФ), упрощающих вычисления. Если полином локаторов ошибок найден, то исправление ошибок можно представить как вычисление некоторой рекурсии, которая непосредственно находит информационный полином. Декодированное кодовое слово получается в результате обратного преобразования Фурье из информационного полинома.

В заключение этого раздела мы приведем алгоритм декодирования БерлекэмпаМесси, который является наиболееупотребительным вмногочисленных приложениях. К сожалению, этот алгоритм не является столь же простым в обосновании, поэтому мы дадим только краткое его обсуждение.

4.4.1 Основное уравнение декодирования БЧХ кодов

БЧХ-код над GF (q) с длиной n и конструктивным расстоянием d задается последовательностью корней βl0 , βl0 +1 ,..., βl0 +d −2 , где β GF(qm ) -элементпорядка n , βn =1 и l0 - некоторое целое, которое в приложениях часто выбирается как 0 или 1.

ошибки, k=1,2,…,t. Тогда компоненты синдрома можно выразить через величины и локаторы ошибок следующим образом:

Задача заключается в том, чтобы, зная синдром S = (S1 , S2 ,..., Sd −1 ) , определить число ошибок, их локаторы X1 , X 2 ,..., X t и их величины Y1 ,Y2 ,...,Yt .

Теперь введем полином локаторов ошибок:

Корнями этого полинома являются величины, обратные локаторам ошибок. Положим j1 = l0 + j −1. Тогда из (4.4.2) вытекает следующее равенство,

справедливое при всех l и j :

16

Λ(x)Yl Xl j1+t =Yl Xl j1+t +Λ1Yl Xl j1 +t x +...+ΛtYl Xl j1+t xt .

Еслиположить x = X l−1 и затем просуммировать левые и правые части получающихся равенств по l =1,2,…,t, то получим

0 = ∑t (Yl X lj1 +t + Λ1Yl X lj1 +t−1 +... + ΛtYl X lj1 ) = i=1

= ∑t Yl X lj1 +t + Λ1 ∑t Yl X lj1 +t−1 +... + Λt ∑t Yl X lj1 .

Учитывая определение синдромных компонент (4.4.1), а также равенство

S j+k = ∑t Yl X lj1 +k , окончательно получим следующие уравнения, связывающих

l=1

синдромные компоненты и коэффициенты полинома локаторов ошибок:

Выражение (4.4.3) носит название основного уравнения декодирования БЧХ кодов. Его можно представить в виде следующей системы линейных уравнений для коэффициентов полинома локаторов ошибок:

Решая эту систему уравнений, мы получим коэффициенты полинома локаторов ошибок Λ(x) . Локаторы ошибок, по которым можно определить позиции ошибок,

находятсякак элементыполя GF (qm ) , обратнымкорнямполинома Λ(x) . Послетого, как определены локаторы X1 , X 2 ,..., X t , величины ошибок Y1 ,Y2 ,...,Yt определяются из системы линейных уравнений (4.4.1).

4.4.2 Алгоритм декодирования Питерсона-Горенстейна -Цирлера

Для решения системы уравнений (4.4.4) предварительно нужно выяснить сколько ошибок в действительности произошло. В следующей теореме проясняется важность этого обстоятельства, а также то, как число ошибок может быть определено.

Теорема 4.4.5. Матрица

невырождена( имеетненулевойопределитель), есливеличины Si (см.(4.4.1)) образованы точноизt пар(Yl , X l ), длякоторых Yl ≠ 0 . Матрица M t вырождена, если Si образованы менее, чем из t таких пар (Yl , X l ). Другими словами, матрица M t не вырождена и имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда число ошибок в точности равно t.

17

Доказательство: Используя уравнения(4.4.1), можнопроверить, чтоприt ошибках

Матрица M t не вырождена тогда и только тогда, когда каждая из этих трех матриц не

вырождена. Перваяипоследняяматрицы– этоматрицыВандермонда, ониневырождены, когда все локаторы различны. Средняя матрица диагональная, она не вырождена, когда все локаторы и величины ошибок не равны нулю. При t ошибках все эти условия

очевидным образом выполняются.

Таким образом, система уравнений (4.4.4) может быть решена только в том случае, когдапорядоксистемы(размерностьматрицыичислоуравнений) равнодействительному числу ошибок. Число ошибок в свою очередь может быть определено с помощью следующей процедуры:

Положить t равным максимальному значению tmax = [(d −1) / 2] , а именно целой части (d −1) / 2 ; вычислить определитель det M t . Если он отличен от нуля, то принять t = tmax . В противном случае уменьшить t на единицу и повторить проверку. Остановиться на том значении t, для которого впервые det M t ≠ 0 .

ДлядекодированияпоПитерсону-Горенстейну-Цирлерунужновыполнитьследую- щие действия:

1.Определить действительное число ошибок t.

2.Решить систему уравнений (4.4.4) и построить полином локаторов ошибок Λ(x) .

3.Найти корни полинома Λ(x) , например, перебирая по всем ненулевым элементам циклической группы {1, β, β2 ,..., βn−1} и отыскивая такие значения, что Λ(βk ) = 0 .

Найти локаторы ошибок X1 , X 2 ,..., X t , беря значения обратные корням полинома Λ(x) . В двоичном случае исправить ошибки на позициях, соответствующих локаторам ошибок, и закончить декодирование. В недвоичном случае перейти к п.4.

4.Решить систему уравнений (4.4.1), рассматривая величины ошибок Y1 ,Y2 ,...,Yt как неизвестные. Исправить ошибки, вычитая из принятого на позиции ik найденную величину ошибки Yk , k =1, 2,..., t . После этого закончить декодирование.

Пример 4.4.1. Мы продемонстрируем эту процедуру декодирования на примере кодаРида-Соломона, построенноговпримере4.3.1. Напомним, чтоРС-кодэтогопримера имеет длину 7, минимальное расстояние 5. Порождающий полином задается корнями

18

Предположим, чтопередаваемоеслово c(x) = x4 +ε2 x3 +ε5 x2 +ε5 x +ε6 иошибки произошли на второй и шестой позициях, так что принятое слово r(x) = εx6 + x4 +ε2 x3 +ε3 x2 +ε5 x +ε6 . Декодированиеначинаетсясвычисления четырех синдромных компонент:

1.Определение числа ошибок. Положим t = tmax = [d −1 / 2] = 2 и найдем определитель матрицы M 2 :

Таким образом, число ошибок в y(x) равно 2.

2.Вычисление полинома локаторов ошибок. Найдем решение следующей системы уравнений

Решением этой системы является Y1 = ε, Y2 = ε2 . Следовательно, полином ошибок e(x) = εx6 +ε2 x2 . Исправление ошибок достигается вычитанием

r(x) −e(x) = (εx6 + x4 +ε2 x3 +ε3 x2 +ε5 x +ε6 ) −(εx6 +ε2 x2 ) =

= x4 +ε2 x3 +ε5 x2 +ε5 x +ε6 .

19