Сборник задач по высшей математике 2 том

N

6.8.32. I-+-+---+--+----t--+----N--+-----i

(N _ l)p2q

-2

qN + NpqN-I. 6.8.33.

Zi

03

05

Pi

,

,

6.8.35. a) c =

2j 6)

1

6.8.36. a)

HeTj 6) HeTj B) HeTj r)

.n;aj A) .n;aj e) HeT.

21'

Yi

°

{2

1

2

, r.n;e k = 1,2,3, ...

6.8.37. HeT. 6.8.38. HeT. 6.8.39.

1

Pi

1

1

24k

-- --

22k - 1

2 4k - 2

§ 9. HenpepblBHble cnyyaMHble Bem1YMHbi

1

1

5

a) a =

1

6.9.2. k = 3,b

= 3j

6.6.9.3.

2'c = Ij

B) PI = 4"j

P2 = 0.

6)f(X)

={-~Sinx, xE[-7r,O]j

1

0,

B OCTaJIbHblX C.J1YQaHX;

6.9.4. A = 4, B = 16j P(C) :::::

0,118,

6.9.8. b

=

50

841 j

O,

x < 0,

F(x) = { 25x

2

°~ x < 5,8,

a)::::: 0,324j 6)

2

::::: 0,676, 6.9.9. a = 7r j

841

'

1,

5,8 ~ Xj

F(x) = *arctg eX, x E lR.

6.9.10. a)

~j

O,

x ~ -2,

B) P = 3'6.9.11. BepoHTHee B

6)F(x)= { ~+~arCSin~,

-2<x<2,

1

1,

x ~ 2j

0,

x<-fi.

V3'

-2- + 3' -~~x<0,

_x 2

1

(1,6j 1,8), 6.9.12. A = ~j F(x) =

2 + 3'1

o~x<~,

p=1.

x

1,

fi.

'

V3

~ x,

6) lex) = {

COS(x+~),

XE(-~;i]'

B) P = 0,5. 6.9.17. a) 1; B)

9

(

7r 7r]

16·

0,

x ¢

-"6; 3" ;

0,

x< -4,

3

3x2

-4 ~ x < 0,

F(x) = 5 - so'

7

13

°~ x < 4,

P =

1

q

16·

5 + 20 vx~,

1,

4 ~ x;

0,

x~-...L

'"

)5'

-...L<x~O

6.9.22. F(x) =

)5

"',

P = ~~. 6.9.23. ReT. 6.9.24. a) ,I1;a;

4

°< x ~ )5'

1,

...L .

)5 < x,

6) ReT, B) ReT, r) ReT, )1.) .n;a. 6.9.25. a) a =

1

1

2'b = 2'c = 1;

.!.cos(x-:!i.) XE[-:!i.·~7r]

6.9.26.a)a=-1,b=4,

6)!(x)= {2

4'

4'4'

0,

B OCTa.J1bRhIX CJIyqaHX.

3

A

c = -3; 6) P(A) = 0, PCB) = 1, peE) = 4·6.9.27.

A = 2'

F()

0,5eAX,

x ~ 0,

= {

-AX

6.9.28. P :::::

0,816;

x

0,5e

1 -

,

x > 0.

O,

x<va,x>2,

f(x) = { 3x5

_ 2x3

va ~ x ~ 2.

15

'

1\) LliupUlI1\ lo.l.J,.1'1 110 HblcweA NBTeNBTHlCe. 2 KypC

561

x

1

(t+2)2

1

+ ~o

(X+2)

, I',!l;e

6.9.29. F(x) = J3~' e--1-s-

dt = 2

- 3 -

- 00

0,

x ~ -1,

1

JX

_Z2

dz. 6.9.30. A = 1; F(x) =

(x+ I?

-1 < x ~ 0,

2

'

~o(x) = ~

e

2

1)2

(x -

o

1-

2

' 0< x ~ 1,

1,

1 < x;

§ 10. l.JlllcnoBble xapaKTeplilCTIIIKIII cnY'"IaiiiHblXBenlll'"lIllH

7

67

575

5)23 3

. '"

6.10.3. 24; 24; 576; 24; S' 6.10.4. 1,3; 2,5; 0,81; 0,9. 6.10.5. 1,8; 0,6y2.

6.10.6. 7. 6.10.9. 77. 6.10.10. a;

~. 6.10.11. 0,5. 6.10.12. P{X = 3} = 0,3;

..;n

P{X = 2} = 0,1. 6.10.13. 01 = 3; 02 = 10; 03 = 35,4; 04 = 130; 1-£1

= 0; 1-£2

= 1;

8

8

20

1

1

1

3

1-£3 = -0,6; 1-£4 = 2,2.6.10.15. 3;

9;

-3-' 6.10.16. ~;

A2 ;

):.6.10.11. 4; l.

'"

71"

71"2

= 0;

6.10.18.0; 50; 5y2. 6.10.19. 2; "4 - 2.6.10.21. 0; 0; XO,25 = -a; XO,5

XO,75 = a. 6.10.22. M(X) = Ii: ~2,57; Mo(X) = 3; Me(X) = V¥~ 2,60.

6.10.23. 2;

3ri

3

3",

Xi

-1

5

6.10.25. 2,5; 1,25.

y4;

2;

y 2. 6.10.24.

Pi

0,4

0,6

1

51

, 6.10.21. 0,75; 0,4375; ~ 0,66. 6.10.28. a) 0,7 H 0,21;

6.10.26. 1 49 ; 1

2500

6) 6,0475 H

3

.../2+2

~ 2,46. 6.10.29. 1,73; 3,109; 0,1161; ~ 1,353. 6.10.30. 471";

- 8 - '

Xi -3 -1 1 3

6.10.31. 3,3; 1,82; 0,45; 1,5876.

6.10.32. 0,32. 6.10.33.

1

3

3

1

Pi

8

8

8

8

M(X) = 0; D(X) = 3.6.10.34. A = -0,6; E = -0,8.6.10.35.01 = M(X) = 3,

2

19

3

317

1

1

3

02 = M(X ) =

2'03 = M(X ) =

10; D(X) =

2'6.10.36. 'Y

= 2; 2;

4'

71"

71"2

1

3

3

J3

5

1

B)

1

6.10.31. 2;

12 -

2'6.10.38. 2;

4;

4'6.10.39. a)

3; 6)

18;

30'

6.10.40. a)

1

6) +; B) O. 6.10.41. a) 2; 6) 2; B) .../2. 6.10.42. a) 0; 6) 0;

-- 13;

n

In 3

25

6) 0; r) O. 6.10.43.0; O. 6.10.44.5;

3; 5; 2,5; 5; 7,5. 6.10.45. 4. 6.10.46.0,601;

2

~ 0,432; 0; ~ 0,724. 6.10.41.6,16; 11,3344; 292,69; -0,722. 6.10.48. p'

6.10.49. np; npq. 6.10.53. 1-£2 = 02 -

oi; 1-£3

= 03 - 30102 + 20~;

1

M(X) :::::: 1,88;

02 :::::: 3,55; /-II :::;: 0;

10

4'6.10.56.

/-12 :::;: 0,02. 6.10.51. A:::;: 3;

_

35.

_

275

_

M(X) -

9'D(X) -

81 - 3,40. 6.10.58. He cyrn:eCTByeT.

()

~+ 1

x < -1,

1

x E [4,7),

6.11.16. F

{

~ 5,

6.11.11. a)

f(x)

{-3,

x:::;:

-- ,

-1 ~ x

:::;:

x ¢ [4,7);

6

5 < x.

0,

1,

6

)

5,5;

v'3)

0,27.6.11.18. f(x

)

:::;:

{~'

XE[-2,6),

()

()

16

2; B

.

M X :::;: 2,

D X

:::;: 3'

0,

x ¢ [-2,6),

6.11.20. F(t) :::;:

1 - e-O,2t;

M(T) :::;:

5; D(T) :::;: 25; :::::: 0,451.

6.11.21. F

()

:::;:

{

o,

x < 0,

(1

()

5

1

;

x

-04

X

:::;: -2; p:::::: 0,77.6.11.22.333-

1- e

'

"',

x ~ 0;

3

:::::: 0,30. 6.11.23. :::::: 0,95. 6.11.26. :::::: 0,067. 6.11.21. C::::::

1

0,4578; M(X) :::;: -3";

6.11.29. F(x) :::;: 0,5 + <I>o

(X ~~75); p:::;:

0,029. 6.11.30.4,2; 1,26.6.11.31. 8.

2

6.11.32.288; 3".6.11.33.2; :::::: 1,37. 6.11.34.40; 8. 6.11.35. 2,1; :::::: 0,79.

6.11.40. a) :::::: 2,5.10- 3 ; 6) :::::: 0,017. 6.11.41. 0,0384. 6.11.42.3,3616.

6.11.43. ~~. 6.11.44. a) 10, 90,

:::::: 9,49; 6) 0,271.

I

{o,

x ~ 0,

f(

)

{ 30

npH

x E [0; 30),

() -

~

°

30

6.11.45.

x:::;:

°

npH

x ¢ [0; 30);

F x

-

30

,

< x ~

,

1,

30 < x;

4

16

D(X) :::;: 0,0625; p:::::: 0,632.

6.11.50. M(X) :::;: 0,2; p::::::

0,98.

q - p

1 - 6pq

(nA)

(nA)

pq

6.11.61. A:::;: ..jnpq' E:::;: --npq' 6.11.62.

M n :::;: p;

D n

:::;: n'

(b-a)4

2

6.11.66. M(X) :::;: 5.6.11.68. /-14 :::;: 80

; E(X) :::;: -1,2.

6.11.69. a) /-13:::;: A3 ;

P,4

= 9 ;

; p,3 = 0;

4

A

p,4

= 30-4.6.11.73. a, a. 6.11.74. F(x) = 0,5 + <)0 (X ~ a).

o,

X ~ 0,

B) 0,25; 0,29.

6.12.3. a) F(x) = { 0,3

°< x ~ 1,

1,

1 < x.

6) F(x,y) ~{

IIpH

y~o

O<y~1

y>1

O<x~1x~O

°

0,12°

0,30° B) 0,72.

l<x

°

0,40

1

X\Y

°

1

°

6.12.4.

°1

0,25

;

0,75°

°

F(x,y) ~{

IIpH

y~O O<y~1 l<y

1

2

2,5

O<x~1x~O

°

°

0,25° 6.12.6.

Xi

Pi

1

1

2

l<x

°

0,75°

1

6

6

3

Yi 1

1,5

2

°

5

Pi

1

1

1 ; He3aBHCHMbI; 8. 6.12.7. 3aBHcHMbI.

2

4

4

X\Y

8

9

10

6.12.8.

8

0,02

0,03

0,05

;

9

0,06

0,09

0,15

10

0,12

0,18

0,30

X\Y

y~8

8<y~9

9 < Y ~ 10

10 < y

x~8

°

F(x,y)

{

8<x~9

0,02

0,05

0,10

;

0,08.

9 < x ~ 10

°

0,08

0,20

0,40

10 < x

°

0,20

0,50

1

Yi

-2

°

°3

1

Xi

-1

°2

1

6.12.10. a)

-1

; 6)

PX=-l

1

2

1

!\r=-2

1

°

-1

°1

7

7

7

7

10

20

3

3

B)

Xi

1

6.12.11. a)

Yi

30

;

Px=o

3

1

1

5

°

PX=lOO

4

4

4

8

8

Xi

50

100

6)

6

1

; OHH 3aBHCHMbI. 6.12.13. 0,7; 0,6;

0,21; 0,24;

::::: 0,46;

Py=20

7

7

3

11

v'IT

19

::::: 0,49.6.12.14.1 8;

64;

-8-· 6.12.16. a) 0,52; 6) 35; B) 0,58; r) 0,9.

3 . 1 . 3

.

1 .

9. 9. 255. 7.

6.12.17. -7' -3' -4· 6.12.19. 0, 0.6.12.20. -4' -16' 16' 256' 64'

7·v'205-01561223

)

-24.6)/( )_{12X(1-X)2,

XE[O,l],

765

- , . . . .

a

c - ,IX -

0,

X r¢ [0,1].

,

hey) = {

~~Y(l

2

[]

{O,

8x3 + 6x 2,

X ~ 0,

~ 1,

- y),

:: [~:~]:

; B) H(x) =

3x4 -

0 < X

1,

1 < X;

F2(Y) =

{

O,

8y3 + 6y2,

y ~ 0,

r) 16 6.12.24. a) c = :2;

3y4 -

0 < Y ~ 1,

5

1,

1 < y;

6) F(x,y) = G+ ~arctg V3x) . (! + ~arctg

~); B) /lex) =

(:

)'

v3

7I"V3 - + x 2

3

V3

2 ) ; r)

5

hey) = 71"(3 + y

-8· 6.12.26. 3aBHCHMbI.

6.12.28.

a) I(x, y) =

12e-<3X+411 ),

X ~ 0,

y ~ 0,

{

X < 0,

Y < 0;

0,

6) F(x, y) = {(I -

e- 3X )(1 -

e- 411 ),

X

~ 0,

y ~ 0,

0,

X < 0,

Y < O.

2y

X ~ 0 y ~ 0 x + y < 1

6.12.30. I(y I x) = { (1 _ X)2'

7,

7,

,

0,

B OCT8JIbHbIX CJIy'laHx;

2x

2'

X ~ 0, y ~ 0,

x + y < 1,

I(x I y) = { (1 - y)

0,

B OCT8JIbHbIX CJIy'laHx.

l+X,

-l~x<O,

{

2y,

0 ~ Y ~ 1,

6.12.31. /lex) = { 1 -

x,

0 ~ x ~ 1,

hey) =

0,

y

< 0, y> 1;

0,

x < -1, x> 1;

1 ! x' -1 < x ~0,

{ 1

0 < y ~ 1,

I(y I x) = { _1_,

0 < x < 1,

I(x I y) =

- ,

X

2y

H Y

1 -

x

0,

0 ~ y, y > 1;

0,

x ~ -1,

x ~ 1;

3aBHCHMbI. 6.12.34. a) 0;

211

c = 24;

2211

3;

6) 6;

18; B) O. 6.12.35.

a) 5; 5; 6)

25; 25;

2

2

1

1

B ) -75;

r) -3· 6.12.36.

a) rXY = -0,2; 6) /l (x) = 2; hey)

= 2;

x ~ 0,

y ~ 0,

>'2

1

x < 0,

Y < 0;

6 ) .------.--; B) M(X) = "

Al

+ A2

Al

1

X\Y

1

M(Y) =

6.12.38.

a)

°1

0,02° 0,18

>'2'

0,08

0,72

o,

x ~ 0,

o,

y ~ 0,

f--'<-''-+-::-::-+-:::~; F (X) = {

0,2,

°

=

{ 0,1,

°<

< x

~ 1,

F(y)

y

~

1,

1,

1 < x;

1,

1 < y.

IIpH

y~o

0<y~1

1<y

B) F(x,y) ~{0<x~1x~O

°

0,02°

0,20°

1<x

°

0,10

1

X\Y

-4

1

8 °

-4

1

8

6.12.39.

-2

1

1

1

;

Yi

;

12

6

3

1

1

5

Pi

3

1

1

1

4

3

12

6

6

12

X\Y

°1

1

2

°

1

°

6.12.40.

8

8

1

He3aBHCHM

2

1

1

2

1 ;

2.6.12.41.

hI;

3'

8

8

8

2

°

1

1

8

8

6.12.42. a)

Yi

1

1,5

2

1

1

2

1

1

1

1

PX=2,5

; 6) 6;

6;

3; B)

12

2

4

4

I

I

6.12.43. a)

Yi

-1

1

I

Yi

-1

-50-4---1; B) 0,75.

0,2

Pi

0,5° 0,3

I; 6)

Px=o I 0,25

I 0,°

X\Y

28°

1

°

8

8

8

1

13

11 v'IT

6.12.44.

8

1

; a)

45; 6) 9'9.6.12.45. 6';36; -6-'

45

45

1

45

45