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Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Сборник задач по высшей математике 2 том

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3	1
4.2.23.2.4.2.24. "2.4.2.26.62.4.2.27.1. 4.2.28.	"4 +in2. 4.2.29. 56.

4.2.30. 2rra(a + b). 4.2.31. -rrR2 cos Q. 4.2.32. -2. 4.2.33. abc - 1. 4.2.34. 5v'2.

x 3 + y3

4.2.36. -3".4.2.37. -3-.4.2.38.

Y )

.4.2.39. in Ix + YI- x

+ y'

J x 2 + y2 + 1

4.2.40.

.4.2.41. in Ix -

x _ y +

2 - 3'4.2.42. O. 4.2.43. O.

rra3

.4.2.46.

.4.2.49. 6rra

4.2.44. -S·4.2.45. -

4 . 2.48 . Srra

4.2.50. ~a2. Y1Ca3anue. IIoJIolKHTb y = tx. 4.2.51. ~~. 4.2.52.				2~0' 4.2.53. 2a2.
		1			2
Y1Ca3anue. IIoJIolKHTb y = x tg t. 4.2.54. 30'			Y1Ca3anue. IIoJIolKHTb y = xt .
4.2.56. 1008. 4.2.57. 25271". 4.2.58. 48. 4.2.59. 12rr. 4.2.60. a)				28; 6)	30;
0)	16; r) 26;)1,)	2		1	2; 0) 10;
		283".4.2.61. a) 814,5; 6)	702.4.2.62. a) -"2; 6)
r)	1	a) 28; 6) 22. 4.2.64. O. 4.2.65. 271"ab. 4.2.66. O. 4.2.67. in 2.
	-193"' 4.2.63.
4.2.68. 3a2. 4.2.69. -6rra2. 4.2.70. U = xy + C.
4.2.71. U = x 3y -		~y3 + sin x + C. 4.2.72. U = Jx 2 + y2 + C.

4.2.73.U = x 2 + y2 + Z2 + xy + xz + yz + C.

4.2.74.U = x 3 + 2xy2 + 3xz + y2 - yz - 2z + C.

4.2.75. U = x 2yz -

3xy 2z +4x2y2 + 2x +y + 3z + C. 4.2.76. U = ~ + ~ + ~ + C.

4.2.77. a)

_b2

3"; 6)

12.

4 .2 .78. a) - 2 - ; 6) 0.4.2.79.62.4.2.80.1.

, 4.2.85.

4.2.81. "4

+ in 2. 4.2.82. 1 + v 2. 4.2.83.

O. 4.2.84. 73 3

4.2.86. in 10.4.2.87. O. 4.2.88. 1 -l4.2.89. 8. 4.2.90. 12. 4.2.91. -~.

4.2.92. 9. 4.2.93. rr + 1. 4.2.95. in(x 2 + y2) + C. 4.2.96. in tg ¥ + C.

2x + 3y

-4.

4.2.97. -- +

C. 4.2.98. 35.4.2.99.

x-y

§ 3. nOoepxHOCTHbliii MHTe"pan

4.3.2. V3

.4.3.3. 4y'6I. 4.3.6.

2rra2Ja 2

+b2

112

( in2 -"2

.4.3.8. 9rr. 4.3.10.

rra4

. 4.3.14.

. 4.3.1

4.3.11. 3"a c. 4.3.12.

T'4.3.13.

rra

'"2 rr

4.3.17. -3-.4.3.18. - 4 - . 4 .3.19. -8-.4.3.20. O. 4.3.22. 9. 4.3.23. 4'

4.3.24.

25V5 + 1

rrv'2

4.3.25. -2- h

. 4.3.26. -9 -

12' 4.3.27.

",'

1O(5V5 -

2v3

rra(3a2 + 2b2)~

4.3.28. 3"rrR . 4.3.29.

. 4.3.30. Xc = Yc =

2v'2'

Tc = %(v'2 + 1).4.3.31. 40a2. 4.3.32. '{;. 4.3.33. rrR (R(R + H)2 + iR3).

550

a2 0!		1). 4.3.35. 2a2(7r -		2). 4.3.36. 4a7r(a -	";a2 - b2).
4.3.34. 3(2..;2 -
27ra2	In	1).4.3.38.	77r..;2a	3	7r	In
4.3.37. -3-(2V2 -			2	.4.3.39. O. 4.3.40. 2(1 + v2).

4.3.41. 7r2(a";1 + a2 + Ina +";1 + a2). 4.3.42. ~a4sin2 O!cos2 O!. 4.3.43. 64'{;a4 .

4.3.44. ~7rR3(a + b + c).

rnaBa 5. Teop....H nonH

§ 1. CKamlpHble 101 BeKTopHble noml. nOBepxHoCTb YPOBHSI. BeKTopHble n Io1H 101101

5.1.2. (yz, xz, xy). 5.1.3. (2x, 2y, -2z). 5.1.4. (ye xy , xexy									-	Z2, -2yz).
5.1.5. ( 2	2x	2'	2	2y		2' 2	2Z)		(	1, -12, -5	)	.
	2				2		2	2· 5.1.6.
x	+y +z x		+y +z			x	+y +z
1	1..;3)							(1 1 )
5.1.7. ( 2'-2'2.5.1.8. (1,1,-2). 5.1.9.								10'5,0.5.1.11. BTO'IKaX
OKPY)KHOCTH: ( x -		1)2	+ y	2	1			1
		2			= 4·	5.1.12. <p = arccos .,;5. 5.1.13. a) Ha OCH Ox;

6)Ha nJIOCKOCTH yOz; B) Ha nJIOCKOCTH x - y + Z = 0; r) B TO'IKaxnpHMoit,

rrpOXO,ll;HID;eit 'Iepe3Ha'IaJIOKOOp,ll;HHaT C HanpaBJIHIOID;HM BeKTopOM l(l, -3,2);

.u.) B TO'IKe0(0,0,0); e) B TO'IKaxc<l>epbI x 2 + y2 + Z2 = 4.

5.1.14. a)	PaBHo6o'IHblerHnep60JIbI y = ~, KpOMe Toro, 06be,D;HHeHHe ,ll;BYX
KOOp,ll;HHaTHbIX oceit, o6pa3yIOID;Hx OT,ll;eJIbHYIO JIHHHIO ypOBHH; 6)			OKPY)KHOCTH
x 2 + y2 =	R2; B) npHMble x + y = C, npH'IeMICI ~ l.
5.1.15. a)	KOHIIeHTpH'IeCKHec<l>epbI C IIeHTpOM B Ha'IaJIe·KoOp,ll;HHaT;6) OCb Oz
Ii KpyroBble IIHJIHH,ll;PbI C OCbIO cHMMeTpHHOCbIO anTIJIHKaTj B)			OCb Oz 6e3
	2	y2
TO'IKH0(0,0,0) H KpyroBbIe KOHYCbI x2 + "2 = Z2 6e3 TO'IeK0(0,0,0).
	c	c
5.1.16. a)	C<l>epbI x 2 + y2 + Z2 = R2; 6)	nOBepxHocTb YPOBHH -	9TO

06be,ll;HHeHHe c<l>ep x 2 + y2 + Z2 = RL x 2 + y2 + Z2 = R~, ... , r,ll;e {R;} -

MHO)KeCTBO KopHeit ypaBHeHHH f(t) = c npH <l>HKcHpoBaHHoM c. 5.1.18. y = Cx. 5.1.19. x 2 - y2 = C. 5.1.20. x 2 + y2 = C. 5.1.21. IIpHMble C HanpaBJIHIOID;HM

BeKTopOM l(a, b, c). 5.1.22. IIpHMbIe, nOJIY'IaIOID;HeCHnpH nepeCe'IeHHH ITJIOCKocTeit x - y = C1(y - z) C nJIOCKOCTHMH x - y = C2(Z - x).

Y7Ca3axue. MHTerpHpyeMble KOM6HHaIIHH HMeIOT BH,ll;:

d(x - y)	d(y - z)	d(z - x)	. 5.1.23. BHHToBble JIHHHH, napaMeTpH'IeCKHe
y-x	---"-''-----'- =	x - z
	z-y
		X = C 1 cost + C2 sint,
ypaBHeHHH KOTOPbIX {		y = C1 sin t - C2 cos t, Y7Ca3axue. COCTaBbTe H peIIIHTe
		z = at + C3.

1I0PMaJIbHYIO cHcTeMY ,ll;H<l><l>epeHIIHaJIbHbIX YPaBHeHHitr .

5.1.27. (u· <p'(u) + <p(u»· gradu. 5.1.31. f'(r)· 5.1.32. c.

551

5.2.6. div F

= 0, rot F

au = - 1

5.1.34. al r 2 ' YICa3a"ltUe. MCrrOJIb3yitTe 3a,n;a'lY5.1.31. 5.1.35. 9JIJIHrrCOH.n;bI

222

~ + ~ + ~ = 1 (t > 0) H TO'lKa0(0,0,0). 5.1.36. U;HJIHH.n;PbI x 2 + y2 = R2.

ta tb tc

5.1.38. arccos ~. 5.1.39. B TO'lKax,JIe)KaIIIHX Ha KOHyce x 2 = y2 + z2.

3vlO

5.1.40. C¢epbI x 2 + y2 + z2 = R2. 5.1.41. YICa3a"ltUe. PaccMoTpHTe rpa.n;HeHTbI 3THX rroJIeit. 5.1.42. JlHHHH rrepeCeqeHH:iI rHrrep6oJIH'IeCKHXIIHJIHH.n;POB:

x 2 -	y2 = C1	H x 2 - z2 = C2. 5.1.43. IIp:ilMbIe, o6IIIHe ypaBHeHH:iI KOTOPbIX:
X	= C1 y,	5.1.44. O. 5.1.45. ,IJ;a. HarrpHMep, eCJIH U = V + C. 5.1.46. HeT.
{	= C2 z.
y		rrOJIeit U = x 2 + y2 + Z2 H V = v'x 2 + y2 + Z2 O.n;HH H TOT )Ke Ha60P
HarrpHMep, y

rrOBepxHocTeit YPOBH:iI. 5.1.47. HeT. 5.1.48. ,IJ;a. HarrpHMep, eCJIH F1 = C . F 2, r.n;e C - KOHCTaHTa. 5.1.49. HarrpHMep, U = x + y + z H V = X + y - 2z.

5.1.50. B.n;OJIb JIY'Ieit,HCXO.n;:ilIIIHX H3 Ha'laJIaKoop.n;HHaT. 5.1.51. IIepece'leHHe rrJIOCKocTeit mx + ny + lz = C1 co c¢epaMH x 2 + y2 + z2 = C2.

YICa3a"ltUe. MHTerpHpyeMbIMH KOM6HHaIIH:ilMH :ilBJI:ilIOTC:iI m dx + n dy + I dz = 0 H

. xdx+ydy+zdz=O. 5.1.52. I 1	·gradU·gradV. 5.1.53. OHH
grad VI

rreprreH.n;HKyJI:ilPHbI B TO'lKaXHX rrepeCe'leHH:iI.5.1.54. HeT.

§ 2. AIltBepl'eH4I"S!lit POTOP BeKTOpHOI'OnonS!. OnepaTop raMlltnbTOHa

5.2.2. div F = O. 5.2.3. div F = 3, rot F = O. 5.2.4. div F = 0, rotF = 0.5.2.5. divF = 0, rotF = (y - z)i+ (z - x)j + (x - y)k.

= 2(xy + yz + xy), rot F = _y2 . i - Z2 . j - x 2 . k.

5.2.7.div grad U = U;:", + U;'y + U~'z = 6.U, rot grad U = O. 5.2.9. 4r.

5.2.10.3f(r) + r . f' (r). 5.2.14. div(U . grad V) = grad U . grad V + U .6.V.

5.2.19.	}(r x c). 5.2.20. (-1, -1,	-1)	.5.2.21. (2x + 1,z2,2yz).
5.2.23.	a) V· (VU); 6) V· (V x	F);	B) V X (V x F); r) V x (V(V . F».

5.2.24.YICa3a"ltUe. BOCrrOJIb3yitTecb pe3YJIbTaTaMH 3a,n;a'l5.2.7 H 5.2.18.

5.2.25.YICa3a"ltUe. CpaBHHTe C 3a,n;a'laMH5.1.25, 5.2.12, 5.2.16.

5.2.26.YICa3a"ltUe. CpaBHHTe C Y)Ke .n;OKa3aHHbIMH CBOitCTBaMH rpa,n;HeHTa CKaJI:ilpHOrO rrOJI:iI H .n;HBepreHIIHH H pOTopa BeKTopHoro rrOJI:iI. 5.2.27. div F = 0,

rot F = -i - j - k. 5.2.28. div F = x + y + z, rot F = -y . i - z . j					- x . k.
5.2.29. div F = 3(x2 + y2 + Z2), rot F			= (1 -	2z) . i + (1 - 2x) . j -	(1 - 2y) . k.
5.2.30. div F = _ (z~ + x~ + x~),
x	y	z
rot F = :y(y - z)· i + '1x (z -		x) . j -	;y(x -	y) . k. 5.2.31. 7r. 5.2.32. 2.
5.2.33. Ha rrJIOCKOCTH z	= y.	5.2.34. B.n;OJIb rrp:ilMbIX, rrpoxo.n;:ilIIIHX Qepe3 Ha'laJIO

Koop.n;HHaT, C HarrpaBJI:ilIOIIIHMH BeKTopaMH (1,1,1), (1, -1, 1), (1,1, -1) H

(1, -1, -1).5.2.35. B.n;OJIb rrp:ilMoit, rrpoxo.n;:ilIIIeit Qepe3 Ha'laJIOKoop.n;HHaT, C HarrpaBJI:ilIOIIIHM BeKTOpOM l(1, 1, 1). 5.2.36. O. 5.2.37. a·h. 5.2.38. 4r . a.

. f'(r)

5.2.39. 2c. 5.2.40. a x r. 5.2.41. a x h. 5.2.43. d1V F = - r - . (r . c),

552

f' (r)

rotF = -r-(r x c). 5.2.44. YICa3axue. BOCrrOJIb3yi!:Tecb 3a,rJ;aqei!: 5.2.10.

5.2.45. J"(r) + ~. f'(r)jf(r) = C2 _	~l.
f'(~	1

5.2.46. 2f(r) . C + -r-[c . (r·r) - r(c·r)]. 5.2.49. V'F= 2"(r·c)j r

V'x F = \ (r x c)j V'2F= ~c.

r			r
§ 3. nOTOK BeKTopHoro noml
								3
5.3.2. 1. 5.3.3. O. 5.3.4. ~. 5.3.5. 27rR3. 5.3.6. O. 5.3.7. O. 5.3.8. 16 7rR4.
5.3.12. 7rR2 H. 5.3.13.			112 . 5.3.14.				1
5.3.12. 7rR2 H. 5.3.13.			112 . 5.3.14.				24. 5.3.15. 2. 5.3.16. 87r. 5.3.17. O.
5.3.19. -37rR2. 5.3.20. ~7r.				YICa3axue. IIpH BblqHCJ1eHHH Tpoi!:Horo HHTerpaJIa
rrepei!:TH K c<pepHqeCKHM Koop,n;HHaTaM. 5.3.21. 7rR2 H. 5.3.22. -1. 5.3.23. O.
5.3.24. ~7rR3. 5.3.25. ~. 5.3.26. 367r. 5.3.27. O.								YICa3axue. IIoKa3aTb, 'ITO
F· n = O. 5.3.28. V'5..5.3.29. -					2;. 5.3.30. O. 5.3.31. 12. 5.3.32. -12. 5.3.35. O.
7r	5.3.37. a	)	127rR2		6	)	7r	..h
5.3.36. 5·	5.3.37. a		-5-	j	6		5· YICa3axue.	BOCrrOJIb30BaTbCH '¥OPMYJIOi!:

raycca-OcTporpa,rJ;cKoro. 5.3.38. O,87rabc. YICa3axue. BOCrrOJIb30BaTbcH

<P0PMYJIOi!: raycca-OcTporpa,rJ;cKOrOj rrepei!:TH K 9J1J1HrrTHqeCKHM Koop,n;HHaTaM.

5.3.40. YICa3axue. BOCrrOJIb3yi!:Tecb paBeHcTBoM ~~ = grad U . n H <POPMYJIOi!:

raycca-OcTporpa,rJ;cKoro. 5.3.41. YICa3axue. BOCrrOJIb30BaTbcH <P0PMYJIOi!: raycca-OcTporpa,rJ;cKoro H 3a,rJ;aqei!: 5.2.11.

7
5.4.3. 7r. 5.4.4. 1. 5.4.5. 24. 5.4.6. 2. 5.4.7. 27ra. 5.4.8. O. 5.4.9. -24.
	1		-~.
5.4.10. 47r. 5.4.12. 0.5.4.13. -27rR2. 5.4.14. -27rR2. 5.4.15. -20. 5.4.16.			-~.
3	3	O.
5.4.18. O. 5.4.19. O. 5.4.20. 2. 5.4.21. a)	27rj 6) O. 5.4.22. 2. 5.4.24.	O.

YlCa3axue. BbIqHCJ1eHHe rrOTOKa CBeCTH K Bbl'IHCJIeHHIOrrOTOKa qepe3 Kpyr x 2 + y2 ~ 1, pacrrOJIO)KeHHbli!: B rrJIOCKOCTH xOy. 5.4.25. 7r. 5.4.26. 2w7r.

5.4.27. 5. 5.4.28. 127r. 5.4.30. a) 27r HJIH -27r B 3aBHCHMOCTH OT HarrpaBJIeHHHj

6)	v'6	35
	0.5.4.32. -T. 5.4.33. 2·5.4.34. O. YICa3axue. BOCrrOJIb3yi!:Tecb
3a,rJ;aqei!: 5.2.75.4.35. a)		BHYTpeHHocTb TOpaj 6) map 6e3 BHYTpeHHei!: TOqKHj
B)	BHYTpeHHOCTb Topa 6e3 BHYTpeHHei!: TOqKH. 5.4.36. ReT, 9TO BepHO, TOJIbKO

eCJ1H n - rrOBepxHOCTHO O,n;HocBH3HaH 06JIacTb (CM. 3a,rJ;aQy 5.4.21 a).

5.4.37. ReT, OHH MoryT OTJIHqaTbCH 3HaKOM, ,n;~e eCJ1H rrOJIe F HerrpepbIBHO ,n;H<p<pepeHIJ;HpyeMO.

553

5.5.2. ,Il;a. 5.5.3. HeT. 5.5.4. HeT. 5.5.5. HeT. 5.5.6. ,Il;a.

5.5.7. U = i(X3 + y3 + z3) + C. 5.5.8. U = xyz + C.

5.5.9. U = zx + yz - x 2 - y2 + C. 5.5.10. U = xy2z3 + yz2 + z + C.

5.5.11. U = X 2 y3 - cos(x 2 y) + C. 5.5.13. Y7Ca3a'ltUe. BOCilOJIb3yi!:Tecb 3a,I1,a'Iei!:5.5.12 H TeopeMoi!: CToKca. 5.5.14. O. 5.5.15. O. 5.5.17. 8. 5.5.18. 2.

5.5.19. ,Il;a.	5.5.20. ,Il;a. 5.5.21. ,Il;a. 5.5.22. HeT. 5.5.23. a) HeT; 6)	~a.
5.5.24. a)	,Il;a; 6) HeT. 5.5.25. O. 5.5.26. ,Il;a. 5.5.27. HeT. 5.5.28. HeT.
5.5.29. U = x 2yz + xy2 Z + xyz2 + C. 5.5.30. U = 3x2y - 2yz - x 2 + z.
		343
5.5.31. ,Il;a. 5.5.32. HeT. 5.5.33. ,Il;a. 5.5.34. -2. 5.5.35. 1. 5.5.36. 3'
5.5.37. O. 5.5.40. a) F(l, 1, 1) = grad (x + y + z) = rot (z, x, y); 6)		F(x, y, z);
	T
B) F(z,x,y); r) F(x,z,O). 5.5.43. ,Il;a. 5.5.44. U = jf(r)rdr.
	TO	= r . f(r).
Y7Ca3a'ltUe. BOCilOJIb3yi!:Tecb 3a~a'Iei!: 5.1.31 H IIOJIY'IHTeypaBHeHHe U'

5.5.45. 06paTHoe He BepHO, c(l, 0, -1), F(z, x, y); F~ He IIOTeHIJ;HaJIbHO, HO ex F = xi - (z + y)j + xk ~ COJIeHOH~aJIbHO. 5.5.46. HeTj 9TOMY YCJIOBHIO He y~OBJIeTBOpHIOT IIOJIH Fl = r H F2(1, 1, 1). 5.5.47. HeT; 9TOMY YCJIOBHIO He y~OBJIeTBOpHIOT IIOJIH FI(l, 1, 1) H F2(Z,X,y). 5.5.49. HeT; paccMoTpHTe

Fl (z, x, y), F2(1, 1, 1).

rlla8a 6. TeopMH BepOHTHOCTeiii

§ 1. 3neMeHTbi KOM6MHaTopMKM

6.1.3. 3360. 6.1.4. 372. 6.1.5. 216. 6.1.6. 84. 6.1.7. 12. 6.1.8. 34. 6.1.11. 27216. 6.1.12. 60. 6.1.13. 32760. 6.1.16. 5040; 210. 6.1.17. 48; 72. 6.1.18. a) 720;

6)60; B) 6; r) 3. 6.1.19. 576. 6.1.23. 35. 6.1.24. 8. 6.1.25. a) 21; 6) 4620;

B)420; r) 792. 6.1.26. 255. 6.1.27. 25225200. 6.1.28. 1260. 6.1.33. 512.

6.1.34.729. 6.1.35. 126; 6; 15. 6.1.36. 56. 6.1.37. 1260. 6.1.38. 420; 210.

6.1.39.6561. 6.1.40. a) 24; 6) 60. 6.1.41. 112500. 6.1.42. 380. 6.1.43. 729.

6.1.44.a) 48; 6) 100; B) 60; r) 12. 6.1.45. 172800. 6.1.46. 18. 6.1.47. 2520.

6.1.48.	1036800. 6.1.49. 70560. 6.1.50. 125. 6.1.51. 371. 6.1.52.	36!
		-- 4'
		(9!)
6.1.53.	96. 6.1.54. 7920. 6.1.55. 240. 6.1.56. 572. 6.1.57. 729. 6.1.58. 11880.

6.1.59. a) 7; 6) 462. 6.1.60. 277 200. 6.1.61. 96. 6.1.62. 12348. 6.1.63. 62; 20.

6.1.64.	570. 6.1.65. 512. 6.1.66. 30. 6.1.67. 28800. 6.1.68. 190. 6.1.69. 15368.
6.1.70.	19. 6.1.71. 512.6.1.72. 9	15'	3.	6 .1.73.46080.6.1.74.126.
		3'
	2	·3	·5

§2. CnY"IaMHble C06bITMH. AeMcTBMH HaA C06blTMHMM

6.2.3.n = {1,2,3,4,5,6}; Al = {2,4,6}; A2 = {4,5,6}; A3 = {0}.

6.2.4.a) n = {II,H,B}; 6) n = {rrr, rrp, rpr, rpp, PPP, ppr, prp, prr};

554

B) rl = {n: 0:::;; n :::;; N, n E Z}, N - 'IHCJIO cTy.n;eHTOB B rpyrrrre.

6.2.5.HecoBMecTHMble: A3 H A4, As H A6j COBMeCTHMble: Al H A 2, A7 HAs.

6.2.6.a) ));aj 6) HeTj B) .n;aj r) .n;a. 6.2.9. a) )KeJITaH HJIH 6eJIaH p03aj

6)KpaCHaH HJIH )KeJITaH p03aj B) 0j r) 6eJIaH p03aj ,lI.) JIIo6oit IIBeTOKj e) 6eJIaH p03a. 6.2.10. a) Al . A2 . A3j 6)

A1·A2·A3+A1·A2·A3+A1·A2·A3+A1·A2·A3+A1·A2·A3+A1·A2·A3+A1·A2·A3 = = Al + A2 + A3 = Al + A2 + A3 - A1A2A3 = Al . A2 . A 3.

6.2.11. a) A + B = {1, 2, 3, 4, 5, ... , 12} = rlj 6) A· D = {1, 3, 5}j B) C - D = {1,2,3,4,5,6}j r) A· B - C = {1,2,3}j

,lI.) A·[5 = {1, 2,3,4,5,6,8,10, 12}j e) A· B = 0. 6.2.12. a) ABCj 6) ABCj

B) A+ B +Cj r) AB+ AC+BC = ABC+ ABC + ABC + ABCj

,lI.) ABC + ABC + ABCj e) ABCj:>K) ABC = A+B+C = ABC + ABC + +ABC+ABC+ABC+ABC+ABC = A+B+C -ABC. 6.2.13. a) Dj 6) Cj

B) 0j r) 0. 6.2.14. a) {3, 4}j 6) {2,5}j B) {5}. 6.2.15. B = Al + A2 + A3j

B = Al . A2 . A3. 6.2.16. B = Al . A2 . A3j B = Al + A2 + A 3. 6.2.20. A· B. 6.2.21. A + A . B + A + B = ... = rlj A· AB = 0j A· (A + B) = 0j

A· B . (A + B) = 0. 6.2.22. a) 0j 6) A + Bj B) rl. 6.2.24. Aj Bj B + C. 6.2.25. a) HeBepHOj 6) BepHOj B) HeBepHO. 6.2.26. HeT. 6.2.27. a) .n;a, eCJIH A = 0, B = rlj 6) HeT. 6.2.28. a) rl = {r, pr, ppr, PPP}j

6) rl = {1, 2,3,4,5,6, P, r}. 6.2.29. rl = {(a1,a2,a3,a4)}, r.n;e ai rrpHHHMaeT JII060e 3Ha'IeHHe H3 MHO)KeCTBa {O, 1, 2, ... ,9}j rrpocTpaHcTBo rl co.n;ep)KHT

A~o = 104 = 1000 2}JIeMeHTOB.

6.2.30.a) rl = {12, 13, 14,23,24,34,21,31,41,32,42, 43}j 6) rl = {3, 4, 5, 6, 7}.

6.2.31.a) HeBblHrpblIIIj 6) Bce rrpOMaXHj B) XOTH 6bI O.n;HH rrpOMaXj r) 60JIee .n;ByX

IIorra.n;aHHitj ,lI.) He CTapIIIe. 6.2.32. a) Yj 6)		X + Y + Z. 6.2.35. a) 0j 6) A + Bj
B) AB + AC + BC. 6.2.37. a) A = Al . A3 + A2 . A4j
6) A = A1(A2 + A3) + (A4 + As), A = (AI + A2A3)· A4· As.
6.2~39. rl1 = {6, 7, ... , 10, B, ));, K, T}, rl2		= {II, q, T, B}, rl3	= {K, K},
rl2	= {W1,W2} ... , r.n;e B - BaJIeT,)); - .n;aMa,... j II - rrHKH, q		- 'IepBH, ... j
K -	KapTHHKaj WI - KpacHoit MaCTH, W2 -	'IepHoit MacTH. 6.2.40. 8 (0 E rl).

6.2.41. 8j A = {rrr, rrp, rpr, prr}j B = {rrp, rpr, prr}. 6.2.42. a) HeT;

6).n;aj B) HeT. 6.2.43. a) A ~ B . Cj 6) B ~ A, C ~ A.

6.2.44.B = Al . (A2 + A3 + A4) . ASj B = Al + A2A3A4 + As.

6.2.45.B = (AI + A4) . A3 . (A2 + As). 6.2.47. a) X = Aj 6) X = C.

6.2.48. a) BepHO, eCJIH A = rlj 6) BepHo, eCJIH A = 0j B) A = B. 6.2.49. AB = 0.

§ 3. BepoHTHOCTb cnyyaMHOrO C06blTIo1H
6.3.4. a)	12 j 6)	ij B) 12 j r) ~~. 6.3.5. l·lO-		s	.	6.3.6.lo. 6.3.7. ~.
	7	5		s
6.3.8. a)	~j 6)	5				2	j ~ 0,39. 6.3.11. a)		~ 0,41j
6.3.8. a)	~j 6)	28. 6.3.9. !. 6.3.10. ~ 0,21 . 1O-					j ~ 0,39. 6.3.11. a)		~ 0,41j
6 ) ~ 0,44j B) ~		1	1		21			1	l
6 ) ~ 0,44j B) ~		0,14.6.3.12. a) 64 j 6)	512 j B)		32· 6.3.13.			66· 6.3.17. 1- I·

555

6.3.18. ~ 0,41. 6.3.19. !. 6.3.20. ~. 6.3.21. ~ 0,1. 6.3.22.0,6. 6.3.23. ~ 0,37.

6.3.30.6. 6.3.31. ~ 0,33. 6.3.32. a) ~ 0,0002; 6) ~ 0,69; B) ~ 0,21. 6.3.33. ~.

6.3.34. ~ 0,21. 6.3.35. a)

i; 6)

4~' 6.3.36. a) 0,125; 6) 0,875.

6337

365!

. 6)

_1_. B) _1_. r) 0')1.) _1_. e) ~

.. .

36530

• 335! '

36529 '

36530 '

1230 '

36530 •

. 6.3.41.

)

6.3.38. ~ 0,94. 6.3.39. a) ~ 0,13; 6) ~ 0. 6.3.40. -3

nn - l

6.3.42.

45 ;60' 6.3.43. ~

0,077. 6.3.44. a) ~ 0,02; 6) ~ 0,35. 6.3.45. 13'

992

128

6.3.46. 190' 6.3.47. a) 1140; 6)

95' 6.3.48. a) 58905;

19635; 6)

6561;

2187'

aV3

6.3.49. 0,64. 6.3.50. ~ 0,6. 6.3.51. 16' 6.3.52. 32' 6.3.53. °IIpH r

~ -6-;

2V3. r)2

IIpH °< r

aV3

n -

( 1 - - a -

< -6-' 6.3.54.

4'6.3.56. ~ 0,015. 6.3.57. Tn'

6.3.58.

n· n! .6.3.59. ~

0,0001. 6.3.60. ~

0,2. 6.3.61. -4 . 6.3.62. -6 .

2'n

1l'a2

6.3.63. ~ 0,03. 6.3.64. {

4'IIpH °< a ~ 1;

IIpH 1 < a ~ V2;

J a 2 - 1 + a 2 (~ - arccos ~) ,

1, IIpH a > V2.

139

RV2

6.3.65. 1152' 6.3.66.

1l'L' 6.3.67. 0,25. 6.3.68. -2-' 6.3.69. 0,6.

§ 4. YcnOBHaSi aepOSITHOCTb

6.4.2. 16' 6.4.3. 27; 0. 6.4.4. 6'6.4.5. 3. 6 .4 .8 . a) ,n;a; 6) HeT. 6.4.9. HeT.

6.4.10. YlCa3a'ltUe. llCIIOJIb30BaTb <P0PMYJIbI A = AB + AB;

A = A(B + B) = AB + AB. 6.4.11. P(A I )

= P(A2 )

= P(A2 1

Ad = ~b'

P( Al . A 2 )

= (a: b) 2, P( Al I A 2 ) = a: b' 3aBHCHMbI, COBMeCTHMbI.

6.4.14. ~ 0,69. 6.4.15. 1~0' 6.4.16. ~ 0,11. 6.4.17. 0,79. 6.4.21. a) 0,48;

6)0,32; B) 0,44; r) 0,92. 6.4.22. U' 6.4.23. 3' 6.4.24. 0,999. 6.4.25. 0,127.

6.4.26.a) ~ 0,33; 6) ~ 1. 6.4.27. a) 0,25; 6) 0,9744. 6.4.28. 0,5. 6.4.29. 3; 5'

6.4.30.1. 6.4.31. ,n;a. 6.4.32. 0; ~. 6.4.33. ~. 6.4.34. ~ 0,98. 6.4.35. ~ 0,47.

6.4.36. ~ 0,43. 6.4.37. a) 0,375; 6) 0,46; B) 0,18. 6.4.38. a) ~ 0,77; 6) ~ 0,99. 6.4.39. a) ~ 0,19; 6) ~ 0,56; B) ~ 0,70. 6.4.40. 0,1924. 6.4.41. a) ~ 0,28;

6) ~ 0,011. 6.4.42. a) ~; 6) 11' 6.4.43. Be3 B03Bpam;eHHx: a)	50~0' 6) 0; C
6
B03Bpam;eHHeM: a) 10- 4,6) 10-4.6.4.44.0,8.6.4.45. a) ~; 6)	~; B) ~.

556

6.4.46. a) ~ 0,86; 6) ~ 0,13. 6.4.41. n ~ 9. 6.4.48. a)									1~8; 6)	g~.
6.4.49. a)		1		1		1
6.4.49. a)		180; 6)		360; B)		360' 6.4.50. He Hait.n;eT. 6.4.51. 0,82. 6.4.52. 0,625.
6.4.54. He Bcer.n;a. 6.4.55.						1	1			1
6.4.54. He Bcer.n;a. 6.4.55.						a) 4; 6)	3'6.4.56.	a) .n;a; 6) .n;a. 6.4.58. a) 945;
8			5							Ig(l - Pl)
6) 63' 6.4.59. 12' 6.4.60. 0,5. 6.4.62. 3aBHcHMbI. 6.4.63. n ~										Ig(l _ p) .
6.4.64. ~. 6.4.65. 1 -					(P5(1 - qlq2)(1 - q3q4) + q5(PlP3 + P2P4 -					PlP2P3P4)).
§ 5. Q)0pMyna nonHoiii aepOHTHOCTIo1. Q)opMyna 6eiiieca
29							25				1
6.5.3. 70.6.5.4. H =					0,8 = P2. 6.5.5. 48.6.5.6.0,6448.6.5.1.0,915.6.5.10.7'
								5
6.5.11. ~~~ ~ 0,997; ~ 0,9998. 6.5.12. 0,48. 6.5.13. 11' 6.5.14. 0,108; ~ ~ 0,44.
6.5.15. a)		7	~ 0,54;		6				~ 0,5; ~ 0,009.
6.5.15. a)		13	~ 0,54;		6) 13 ~ 0,46. 6.5.16. ~. 6.5.11.				~ 0,5; ~ 0,009.
					47		b		31
6.5.18. 0,3. 6.5.19. 12000' 6.5.20.							a' 6.5.21. 0,8402. 6.5.22. 84' 6.5.23. 0,334.
6.5.24. °816. 6.5.25. 0,946. 6.5.26. 0,7Pl + 0,3p2. 6.5.21. 0,0445.											7
6.5.28. 15 ~ 0,53. 6.5.29. ~ 0,59. 6.5.30. ~ 0,230. 6.5.31. IIepBa5I. 6.5.32. 18'
6.5.33. a) 0,41; 6) 0,619. 6.5.34. :6' 6.5.35. 0,043. 6.5.36. :~ ~ 0,817.
6.5.31. a	)	4	)	18				(Cl	C2	C3)	1
6.5.31. a		495; 6		55' 6.5.38. ~ 0,07. 6.5.39.				1 + Cl	+ 1 + C2	+ 1 + C3 .	3'

6.6.4. 0,027; 0,189; 0,441; 0,343. 6.6.5. ~ 0,055. 6.6.6. 7. 6.6.1. ~ 0,528.

~ 25 a) ~ a) ~

6.6.8. 0,64. 6.6.9. 32' 6.6.10. 0,324; 6) 4. 6.6.11. 0,007; 6) 1;

B) ~ 0,41. 6.6.12. a) ~ 0,383; 6) ~ 0,853. 6.6.13. a) O.n;HY H3 .n;BYX; 6) He MeHee

qeTblpex H3 BOCbMH. 6.6.14. 29. 6.6.15. ~ 0,20. 6.6.16. a) ~; 6) ~ 0,181. 3

6.6.11. ~ 0,121. 6.6.18. a) ~ 0,430; 6) ~ 0,149. 6.6.19. a) ~ 0,32; 6) ~ 0,394;

B)~ 0,168. 6.6.20. ~ 0,902. 6.6.21. ~ 0,038. 6.6.22. ~ 0,08. 6.6.23. ~ 0,35.

6.6.24.29 ~ n ~ 35. 6.6.25. a) ~ 0,35; 6) ~ 0,05.

6.6.26.(n - m + 1)· pm. qn-m. 6.6.21. a) ~; 6) ~. 6.6.28. 22Lm .C'!fn-m'

6.6.29.~; ~. 6.6.30. 0,135. 6.6.31. ~ 0,001.

6.1.3. a) ~ 0,168; 6) ~ 0,423 (e- 3 ~ 0,0498). 6.1.4. a) ~ 0,162; 6) ~ 0,998

(e- 6 ~ 0,0025).6.1.5. a) ~ 0,09; 6) ~ 0,270; B) e- 2 ~ 0,135.6.1.6. a) ~ 0,784;

6)~ 0,342 (e- 4 ~ 0,0183). 6.1.9. 10 H3 80. 6.1.10. ~ 0,016. 6.1.11. ~ 0,023.

6.1.12.~ 0,056. 6.1.15. a) ~ 0,002; 6) ~ 0,5. 6.1.16. ~ 0,91. 6.1.11. 133.

557

6.7.18.~ 0,993. 6.7.19. ~ 0,865. 6.7.20. ~ 0,762.6.7.21. a) ~ 3,8.10-5 ;

6)~ 0,865. 6. 7.22. ~ 0,012 (e- 3 ~ 0,0498). 6. 7.23. ~ 0,95. 6.7.24. a) ~ 0,097;

6)~ 0,76. 6.7.25. ~ 0,001. 6.7.26. ~ 0,944.6.7.27. a) ~ 0,025; 6) ~ 0,206.

6.7.28.a) ~ 0,019; 6) ~ 1; B) ~ 0,938.6.7.29. 15 ~ m ~ 45. 6.7.30. ~ 0,0029;

~ 0,0031; ~ 0,00012. 6. 7.31. ~ 0,503. 6.7.32. ,n;a. 6.7.33. n ~ 29. 6.7.34. 82. 6.7.35. 392. 6.7.36. a) 207 ~ m ~ 273; 6) 753.

§ 8. AMcKpeTHbie cnyyaMHble BenMYMHbl

Zi	0	1	2	3	4	5	6.8.
6.8.3.	1	5	10	10	5	1	6.8.
Pi	32	32	32	32	32	32
	32	32	32	32	32	32

		0,		x ~ 1,1,
		0,1,		1,1 < x ~ 1,4,
6.8.11. F(x) =		0,3,		1,4 < x ~ 1,7,		0,7 H	0,9.
6.8.11. F(x) =		0,6,		1,7 < x ~ 2,0,		0,7 H	0,9.
		0,6,		1,7 < x ~ 2,0,
		0,9,		2,0 < x ~ 2,3,
		1,		2,3 < x;
				x ~ 0,
6.8.12. F(x) =		0,25,		0< x ~ 1,		6.8.15.	a)
6.8.12. F(x) =		0,75,		1 < x ~ 2,		6.8.15.	a)
		0,75,		1 < x ~ 2,
		1,		2 < x.
		r					0,		..j2
							0,	Y~--
							1	'"	2'
	_i...2						1	..j2
Yi	_i...2		0	i...2	1		8'	- 2 <y~O,
6.8.16.		2		2	; F(y) =		3		..j2
6.8.16.		1	1		; F(y) =		3		..j2
Pi		1	1	3	1		8'	O<y< 2'
		8	4	8	4		8'	..j2
							3	..j2
							4'	2	<y ~ 1,
							1,	1 < y.
6.8.17. I----'-!-.,....-:-+-..".......,.-+--:-:-:---l									3
6.8.17. I----'-!-.,....-:-+-..".......,.-+--:-:-:---l

P{(Z < 4) I (Z > 2)} =						23							C = 0,05; 6) 0,2. 6.8.19. 6)
P{(Z < 4) I (Z > 2)} =						44. 6.8.18. a)							C = 0,05; 6) 0,2. 6.8.19. 6)
Xi	-5 -4 -3 -2 -1												0		1		2	3	4	5
Pi	1			2			3		4			5	6		5		4	3	2	1
Pi	36			36			36	36			36		36		36	36		36	36	36
	36			36			36	36			36		36		36	36		36	36	36
Xi	1		I 2			I 3							4		I
6.8.20.	0,4		I0,24			I0,144				0,63		= 0,216			I
Pi	0,4		I0,24			I0,144				0,63		= 0,216			I
Xi	5				4		3				2		1		0
6.8.21.	1				10		40			80			80		32
Pi	243			243			243			243			243		243
	243			243			243			243			243		243
Xi 1 2 ... 7
6.8.22.	1		1		...		1
Pi	7		7		...		7
	7		7				7
Xi	0			3	1			32	2				...		1500
6.8.23.	e- 3			3	·e	-3		32	·e		-3		...	31500 . e- 3				; ~ 0,353.
Pi	e- 3				·e				·e				...		1500!
					I!				2!						1500!
																			0,	X ~ 0,
																			0,04,	0< X ~ 1,
6.8.24. f----''-+-:::--:-:::-::-f--:::--:-='-+-:::-:::-:::-:-f--:::-~,__i														6.8.25. F (x) =					0,30,	1 < X ~ 2,
																			0,76,	2 < X ~ 3,
																			1,	3 < x.
																	0,	x ~ 0,
																	1		< X ~ 1,
			O,				X ~ 0,										7' 0		< X ~ 1,
			O,				X ~ 0,										2
		{ 0,09,					0< X ~ 1,										2		< x ~ 2,
6.8.26. F(x) =		{ 0,09,					0< X ~ 1,					6.8.27. F(x) =					.7' 1		< x ~ 2,
6.8.26. F(x) =			0,51,				1 < X ~ 2,					6.8.27. F(x) =					3
			0,51,				1 < X ~ 2,										3		< x ~ 3,
			1,				2 < x.										7' 2		< x ~ 3,
																	1,	7 < x.
		0		1		2							O,		x ~ 0,
Xi		0		1		2		F(x) =				{ 0,25,			0 < x ~ 1,
6.8.28.		1		2		1		F(x) =				{ 0,25,			0 < x ~ 1,
6.8.28.		1		2		1							0,75,		1 < x ~ 2,
Pi	4			4 4									0,75,		1 < x ~ 2,
													1,		2 < x.
												8		12

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