Сборник задач по высшей математике 2 том

2.7.17S.y=

(

3)

3x

x 2

X

1

1- xe

+9+27+'3.

2.7.176. Y =

27r cos 2x + l

sin 2x + x(sin 2x - cos 2x).

2.7.177. Y =

-(7r cos x + (7r + 1 - 2x) sin x)ex .

2.7.178. eX(0,16 cos 3x + 0,28sin3x) + x 2 + 2,2x + 0,84.

2.7.179.y=(I+x)e

_2x

+2e

_2x

.2.7.180.y=e

x

(e

x

- x

2

-x+l)-2.

2

2

2.7.182. YOH =

(C1 + C2x)e-X + xe- x In Ix!-

2.7.183. YOH = C 1cos x + C2 sin x -

xcosx + sinxin Isinxl·

2.7.186. YOH = C1 sin x + C2 cos X - ";cos 2x. 2.7.187. Y1 = x, Y2 =

Ixl.

2.7.189. p

2

-

4q < 0.2.7.190. /1 (x) =

{sin2 x,0:::;x:::;7r,

0,

7r < X :::;

27r;

°:::; x :::;

h(x) = {

o,

2

7r,

[a,b

]

[

]

(x -

7r < X :::;

27r;

= 0,27r.

7r),

{O,

1:::; Ixl7r,

Sin3 7rX,

-7r:::; X :::; -1,

2.7.191. /1 (x) = { °

-

1 . / .

h(x) =

cos

21!:

-1 < x < 1.,

,

< x ""

7r,

2 x,

h(x) = {o,

2

-7r :::; x:::;

1

[a, b]

= [-7r, -1] U [-1, 1] U [1, 7r].

(x -

1),

1 < x :::;

7r;

2.7.192. cos4x - 4 cos 2x + 3 -

8sin4 x == 0.

2.7.193. cos4x + 4cos2x + 3 -

8cos4 X == 0.

2.7.194. -5lnx +lnx2 + Inx3 +

°·ln2 x +

°·ln3 x == 0, x> 0.

2.7.195. sin (x - ~) + sin (x +

~) - .,f2sinx == 0.

2.7.196. y... = eX + 2cosx + 3sinx. 2.7.197. Y = eX + 2e2x + 3e3x .

2.7.198. YOH = C 1ex + C2X -

x 2 -1. 2.7.199. Y = C 1 cos x + C2X cos X - sin x cos x.

2.7.202. Y = C1 + C2X + C3X2 + e3x (C4 + Csx).

2.7.203. Y = (C1 + C2x)e2X + (C3 + C4x)e- 2X .

2.7.204. Y =

(C1 + C2X + lx2Inx - ~X2) e- 2x .

2.7.206. Y =

l(eX

-

e- X) + x 2. 2.7.207. Y = cos x + 2sinx + e- x -

3ex + 2xex .

2.7.208. Y =

l(eX

-

e- X). 2.7.209. Y =

~ex - le3X •

2.7.210. Y = C1X + ~2.

2.7.211. Y = C1 + C2X 2 + C3X4. 2.7.212. Y =

C 1

3 + C2(X + 2).

(x

+ 2)

2.S.35. {

y = G2 X ,

2

2

= G1X -

2

X

+ y

t .

/

2 dy (;3 + 2YX) 1:= /2 (1 + 2y) dy =4~. 3.1.12. in ~~. 3.1.13. 50,4.

o

0

3.1.16. 1.

4

71"

1

77

35

371".

3.1.17. in 3· 3.1.1S. 6·

3.1.19. 2"

in 65·

3.1.21. S· 3.1.22.

3

3-x

3.1.23. 71". 3.1.24. 32a 3. 3.1.27. /

dx

/

f

dy.

9

o

0

1

x

2

2-x

3

y

3.1.2S. /

dx /

f

dy + / dx

/

f

dy. 3.1.29. / dy

/ f dx.

o

0

1

0

x

-y

../2/2

x

1

>/1-x 2

3.1.30.

/ dx /

f

dy +

/

dx

/

f dy. 3.1.32. 3. 3.1.33. 12~.

o

-x

../2/2

->/1-x2

2

< 471". 3.1.37. 0 < I < 486.

3.1.34. 3R. 3.1.35. O. 3.1.36. -471" < I

3.1.3S. 4 < I

< 8(5 -

2V2). 3.1.39. 471" < I

< 2271". 3.1.40. OTpHn;aTe.JIbHhIit.

3.1.41. OTpIUl;aTeJlbHblit. 3.1.42. IIoJIo)KHTeJlbHblit.

5

'"

5

5

1

2",+1

2

-7",+10

3.1.43. Idx I I dy = I dy I I dx. 3.1.44. Idx

I

I dy + Idx

I

Idy.

o

0

0

y

-1

-",-2

1

-",-2

4y+ 2

4

- 3 -

4

3+v'4",-",2

5

3.1.45. Idy

I

I dx. 3.1.46. Idx

I

I dy = I dy

Idx.

5y -

14

0

3-v'4",-",2

2-v'6y- y 2_S

3

1

'"

1

vY

3

y+4

8

lO-y

3.1.47. Idx Ildy= Idy Ildx. 3.1.48. Idy

I Idx+ Idy

Ildx.

o

",2

0

y2

0

vY

3

vY

3.1.49. I2 dy

IY

I dx + I4 dy

I2

I dx. 3.1.50. I1 dy

1+v'I- y 2

I

Idx.

o

y/2

2

y/2

0

2-y

1

vY

1

e

3.1.51. I dy

I

I dx.

3.1.52. I dy II dx.

o

vY

0

e Y

o

v'1- y 2

1,;r=y

3.1.53.

Idy

I

I dx + Idy

I

I dx.

-1

_~

O _ ,;r=y

1

3.1.54·ldy

o

a

a-Ja 2 _

y 2

a

2a

2V2<l

2a

3.1.56. Idy

I

I dx + I dy

I

I dx +

I

dy

Ildx.

o

y2

0

a+v'a 2 _ y 2

o

y2

4a

4a

2

y/2

3

1

0

v'1-",2

1

1-",

3.1.57. Idy

I I dx + I dy I I dx. 3.1.58.

Idx

I

Idy+ Idx

Ildy.

o

y/3

2

y/3

-1

o

0

0

a

Ja2 _ y 2

a

v'a L

y2

3.1.59·ldy

I

Idx+

I dy

I

Idx.

o

v'a 2 -2ay

a/2

o

1/2

v'2X

v'2

1

V3

v'3-",2

Idx I

3.1.60.

I dy + I dx I I dy + I dx

I

Idy.

o

0

1/2

0

v'2

o

av'3

a

a

a

-2-

3.1.61.

I

dy I

I dx +

I

dy

I

I dx. 3.1.62. 11" -

2. 3.1.63. -~.

o

5!

av'3

a-v'a2_y2

2

-2-

752

4

3.1.70.

1

3

5

2

.3.1.73.0,25.3.1.74.

7

4

24.

.1.71. 12.3.1.72. (e-l)

12. 3 .1.75. - 71"2'

v'2

J4-2 y 2

1

2-J2y- y 2

3.1. 79.

! dy

!

f dx. 3.1.80. !dy

!

fdx.

-v'2

-J4-2y 2

0

#

o

4

2

2+J4-y2

1

arccos x

3.1.81. !dy

! f dx + !dy

!

f dx. 3.1.82. !dx

!

fdy.

-4

-y

0

2-J4- y 2

-1

",-1

27

4

27

3 + v'9 -

4y

9

16

3 Y

16

2

4

_",2+ 3",

3.1.83.

! dy

!

fdx+

!dy

!

fdx= !dx

!

fdy.

0

3 -

y'9"=4y

9

3 -

v'9 -

4y

0

3

2

4

2

4'"

2,..

l+sin",

0

1T+arcsin(y-l)

3.1.84. !dx

!

fdy= !dy

!

fdx+

o

-1

1

o

1

,..+arcsin(y-l)

0

2,..

0

21T

+ !dy

!

fdx+ !dy

!

fdx+ !dy!fdx.

2

arcsin(y-l)

1 2,..+arcsin(y-l)

-1

0

a

J2a 2

-",2

a,jaY

av'2

J2a 2 - y 2

3.1.85. !dx

!

fdy = !dy

!

fdx+

! dy

!

fdx.

-a

",2

O - ,jaY

o

-J2a 2 - y 2

a

a.

-Vax

- x2

20,

0

3.1.86. !dx

!

f dy + !dx

!

fdy=

o

-J2ax-x2

a.

-V2ax-x2

a+Ja 2

-~

a+Ja 2 -y2

a-~

-y2

I

-a

!

fdx+

!

dy

!

fdx+

fdx.

a-Ja2 _ y 2

o

a + v'''':;a2;;-_----,-4y.,2

a-Ja2 _ y 2

208

4

3

2

121

13

7I"a

3.1.87. 15'3.1.88. 3. 3

.1.89. -"2'3.1.90. 486.

3 .1.91. T'3.1.92. 3'

3.1.93. 4071" < I

< 18471". 3.1.94. 138,24 < I < 384. 3.1.95. 5 < I < 12.

3.1.96. -2(.J2 + 1)71" < I

< 2(.J2 -

1)71". 3.1.97. IIo,ll;blHTerpaJIbHaJI <PYHKn:IU1 He

3.2.48.

7~(rcos cp, r sin cp) r dr + J~cp c7c~(rcos cp, rsin cp) r dr =

o

,,/4

0

1

,,/2

v'2

.

1

arCSin r

= !rdr

! f(rcoscp, rsin cp)dcp + !rdr

!

f(rcoscp,rsincp)dcp.

o

0

1

arccos

1

r

,,/2

1

3.2.49.

!dCP

!

f(rcoscp,rsincp)rdr=

o

~cosec(<p+i)

1!. +arccos _1_

1

4

!

rv'2

! r dr

f(r cos cp, r sin cp) dcp.

1

1T

1

v'2

"4 -arccos rv'2

,,/2

2sec <p

rv'2

4

3.2.50.

! dcp

!

r f(r) dr

=;; ! r f(r) dr + ! ('!J- arccos nr f(r) dr.

,,/4

0

0

rv'2

,,/2

a

3.2.51. 4 !sin3 vcos3 vdv !uf(ucoS4 v,usin4 v)du. 3.2.52. 7I"~b (~: + ~:).

o

0

§ 3. npMMeHeHMe ABoMHoro MHTerpana

3.3.4.

13

15

-

81n2. 3.3.6.

a2

8a

2

-

7I"a

2

16 I«

3 .3.3.5. 2

3

.3.3.7. 3

-2-.3.3.8. 3v15.

3

3

571"a2

1

71"

S

=

3

71".

3.3.9. 471"

+ S· 3.3.10. -8-' 3.3.11.

2

+ 4· 3.3.13.

YICa3axue. {

X+~-l =u,

{X=U+~V-1'

_

208

X _ Y + 3

= v,

Y = u -

3

PI -

3. 3.3.14. 16971"·

3

2v + 2,

1

+

71"

2

71" + 2 ( 2

-

a

2)

.3.3.20. 7I"ab.

3.3.16.6.3.3.17. 2

4· 3.3.18. 3· 3.3.19. - 4 -

b

3.3.21. ( a

2

-

b2) I

m

971"

abc

7

.

1

7I"r4

n n-.

3.3.24. T· 3.3.26. T·3.3.2

6·

3.3.28. Ta"".

88

a

3

abc

r2

3.3.29. 105· 3.3.30. 18· 3.3.31. -3 . 3.3.35. .

sma cos a

i'

3.3.36. ~va2b2 + a2c2 + b2c2. 3.3.37. 1~271"a2. 3.3.38. 2~ -

YICa3axue. nepexo,ll; K rrOJUlpHhIM KOOp,lI;HHaTaM rrpHBO,ll;HT K HHTerpaJIY

1T

"4

~

! dcp

!

VI + r2r dr = ~ - ~. 3.3.39. 7I"V2.

o

0

8

V2

2V2 (

1

7

)

. 3.3.42. 371". 3.3.44.

71"

3.3.40. 3 arctg 2

+ -3-

+ 'lIn 3

1. 3.3.45. 12'

45 4

2y2

4

e - 1

3.3.46. 2. 3.3.47. 64 rra

. 3.3.48. 15a

.3.3.49. -2-'

YICa3a'H.Ue. I1crrOJIb30BaTb 3aMeHY rrepeMeHHblx x

= u(1 -

v), y = uv.

3.3.50. ~;(3rr - 2). 3.3.52. Mo(3; 4,8). 3.3.53.

a

~). 3.3.54. Mo (0, ~!).

Mo C5 ,

3.3.55. Mo (0, 321~:)' 3.3.56.

1~5. 3.3.57. ~a2. 3.3.58. ab[2V3 -In(2 + V3)].

3

4 2

28a2

6

1.

a

2 (rr

)

. 3.3.

62

1 R2 (rr

V3)

3..59.

3"P .

3.3.60. -5-' 3.3.

2" -

1

. 2

"3 -""2 .

3.3.63. lOrr. 3.3.64. 45. 3.3.65. rra;c

2

7

. 3.3.66. 49 24' 3.3.67. 7,5. 3.3.68. 1~0

3.3.69.

41

4

.3.3.70.

4

3.3.71. a)

4

8

11

Xc

=

11

162 a

3"rrabc.

3"; 6)

3"'

6; B)

2, Yc = S·

9

67

1273

603

28

3.3.72. 20.3.3.73. 60G,

210

G, MG. 3.3.74. m = 8, Mx = My =

3'

Xc = Yc = i. 3.3.75. 4(m -

n)R2. 3.3.76. 4a 2. 3.3.77. 8a2 arcsin £.

3.3.81. Xc =

2

a

a 2 b

=

rr

rr2

5a , Yc =

2' 3.3.82. T' 3.3.83. Mx

24' My = 1 -

12'

3.3.84. Jx = 4, Jy = 4. 3.3.85.

lIb

3"(b - a)((3 - a).

3.3.86. 3"((3 -

a)

In 0;'

4rr

V

M

1

2 ()

ab

YICa3a'H.Ue.

3

aMeHHTb

3.3.87. 3"" -

3. 3.3.88'"4 a

8 - rr . 3.3.89. 12'

X

Y

X

Y

rra

3 (M)

32

3

3V3 -

2

.

0; + b = u,

0; -

b = v. 3.3.90.

3

6v3 -

5 .3.3.91. ga

.3.3.92.

2

3.3.93. rr;3. 3.3.94. ~1Ta3(y2-1).3.3.95. 8a 2. 3.3.96. a 2y2.

3.3.97. ~rra2(3V3- 1). 3.3.98. J x

= 112 , Jy = 12' 3.3.99. Jx = ;~rra\

7

49

4

,

T

35

4 33100

•

J

x

rrab3

J

y

rra3b

T

rrab(

a

2

+

b2)

.

Jy = 32 rra

"0

= 16 rra.

••

= -4-'

= -4-'

"0

= 4

rra4

2R3

3.3.101. 8'3.3.102. T'

§ 4.

TpoiiiHOiii IIIHTe"pan. CBoiiiCTBa. BblYIIICneHllle. nplilMeHeHllle

3

1

2

1

(

5)

. 3.4.6.

1

3.4.2. 2' 3.4.3. 144' 3.4.4. 2423"' 3.4.5. 21n

2 -"8

O. 3.4.7. 48'

7

~). 3.4.13. 335.3.4.14. 24'

rra3

(3rr -

4)a3

rra3

3

8

4).

3.4.15. T'3.4.16.

12

.3.4.17. 4'3.4.19. 35' 3.4.20. 3"(3rr -

3.4.21. 4,5a2rr. 3.4.22. 5; (3 -

...15). 3.4.24. Mo (~,0, 0). 3.4.25. Mo (0,0, 1:).

6

7

2 (3

11"

-

4) 2

1I"a3

1I"a3

3.4.37. 24' 3.4.38."3

a. 3.4.39. T'3.4.40.

T'3.4.41. 16.

4Rs

4

3.4.45. 511".

3.4.46. 27611".

3.4.47. 28.

3.4.42. -- 3' 3.4.43. 12 21' 3.4.44. 311".

15a

19

16

4

8

tn'f

3.4.52.

3.4.48. 18. 3.4.49. 2411"· 3.4.50. 311"·

3.4.51. 1511"ah.

21 1I"V R-.

8

2

1

2

1

2

. 3.4.58. 5 - e

-4

.

3.4.53. ga

. 3.4.54. 105' 3.4.55. e -

. 3.4.56. 0. 3.4.57.

1

b(

a +

b

+ c

)

a3 h

211"

3.4.59. 2"ac

. 3.4.60.11".3.4.61. T'3.4.62. 2. 3.4.63. T'

49a

3

3 .4 .65 .

32

2

h. 3.4.66.

1I"abc. 3.4.67. Mo

(6

12

8)

3.4.64. 864.

ga

5' 5' .

18

15V6

12)

.3.4.69. Mo

(5a

'"

+ 5)

)

.

3.4.68. Mo ( 7'- 6 - ' 7

0,0, 83 (6v3

3.4.70. Mo (0, 0, ~R(l + COSet)). 3.4.71. Af (b2 + c2),

Af (a 2 + c2),

Af (a 2 + b2),

~(a 2 + b2 + c2). 3.4.72. ~MR2. 3.4.73. ~(b2 + c2),

~(a 2 + c2), ~(a 2 + b2).

11"

11"

1I"2a3

1

19

15

a3

3.4.76. 8

.3.4.77.2".3.4.78. 4y"2' 3.4.79. 2"'3.4.80.

6

11", 211"·

3.4.81. 360'

3.4.82. e

2

-

e

-2

-

2

1

411"abc (a 2

b2

c2 )

.

2. 3.4.83. 15' 3.4.84. 364' 3.4.85.

~ p2

+ q2

+ r2

4 1

1

3

. 3.4.88.

4

3

. 3.4.89.

64

3

1I"

2a3

3.4.86. "3

n 2. 3.4.87.

"311"a

2111"a

10511"a

. 3.4.90. -6-'

Jxz =

2ab3c(

10511" -

272

)

. 3.4.93.

8

bh (a 2

b2)

8 h

a

4

.

1575

21 a

5

+"3

. 3.4.94. 15

3)

(2 2 7 2)

.3.4.97.

55 + 9V3 3

3.4.95. Mo (0,0, 4c .3.4.96. Mo

5a, 5a , 30 a

65 c.

V5 + 3

y"2

3

. ~

256 3

.

4.1.5.0. 4.1.6.1n-- . 4.1.7. T1n2"' 4.1.8. v51n2. 4.1.9. 15a

2

4.1.10. 2;va2 + b2(3a 2 + 411"2b2). 4.1.11. a2y"2. 4.1.12. 27ra2n+1 •

4.1.13.

ab(a2 +ab+b2)

p2

.