Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике 2 том

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

27.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6047 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

no 3aMKHYToil: KPRBOil: I, RCnOJIb3YH cP0PMYJIbI (3.4)-(3.6) (06xo,a;
KPRBOil: ocyru;eCTBJIHeTCH npOTRB qacOBOil: CTpeJIKR).
a) I:	Iz - 21	= 1;	6) I: Izl = 1;
B) I:	Iz + 21	= l.

a a) TaK KaK no,a;bIHTerpaJIbHaH cPYHKD:RH

aHaJIRTRqHa Ha Bceil:

+ 2)

KOMnJIeKcHoil: nJIOCKOCTR C, 3a RCKJIlOqeHReM TOqeK (-2) R 0, KOTopble He

JIe)l{aT BHyTpH OKPY)l{HOCTH Iz - 21

= 1 R Ha 9TOil: OKPJ)KHOCTR, TO no TeopeMe

KOllm nOJIyqRM:

-0

(z +

2)3 Z

•

Iz-21=1

6) TaK KaK cPYHKD:HH j (z)

3 aHaJIRTHqeCKaH Ha Bceil: KOMnJIeKC-

(z + 2)

HOil: nJIOCKOCTH C, 3a RCKJIlOqeHReM TOqKR (-2), KOTOPaH He JIe)l{RT BHYTPR

OKPJ)KHOCTH Izl = 1 R Ha 9TOil: OKPJ)KHOCTR, a TOqKa Zo = 0 JIe)l{HT BHYTPH

9TOil: OKPY)I{HOCTR, TO no RHTerpaJIbHoil: cPopMYJIe KOllm nOJIyqRM:

(z + 2)3

j(zo = 0) = -2.

dz,

7rZ

Izl=l

oTKy,a;a

J (z :~)3Z = 27ri· j(zo = 0) = 27ri· (0: 2)3

= 27ri· ~ = ~.

Izl=l

= i

B) TaK KaK cPYHKD:HH j(z)

aHaJIRTRqHa

Ha Bceil: KOMnJIeKcHoil:

nJIOCKOCTH C,

3a RCKJIlOqeHReM HYJIeBoil: TOqKR, KOTOPaH He JIe)l{RT BHYTPH

OKPY)I{HOCTR

Iz + 21

= 1 R Ha 9TOil: OKPY)I{HOCTH, a

TOqKa Zo = -2 JIe)l{RT

BHYTPH 9TOil: OKPJ)KHOCTR, TO no cPopMYJIe (3.6) nOJIyqRM:

= -

= 27ri

2)3

1Z+21=1

= 27ri /"(zo = -2) = 7ri· (1)" 1

(z + 2)3 z

zo=-2

Iz+21=1

= 7ri· (-1..)' 1

= 7ri· .1.1

= 7ri. _2_ = _7ri..

•

zo=-2

(_2)3

B'bt"tuC.ltUmb u1tmezpa.lt'bt:

I -

OTpe30K

npHMoil: OT TOqKH Zl

o ,a;o TOqKH

7.3.8.

Re z dz,

r,a;e

Z2 = i.

460

7.3.9.jIrnzdz, r)1.e:

a) l	-	OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl =	2	)1.0 TO'IKHZ2	=	3;
6) l	-	OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl =	0	)1.0 TO'IKHZ2	=	1 +	i;
B) l - .rryra napa60JIbI y = x 2 OT TO'IKHZl				= 0)1.0 TO'IKHZ2 =			1 +i.
7.3.10. jcz +		z) dz, r)1.e:
I
a) l	-	OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl =	0	)1.0 TO'IKHZ2	=	-1 + i;

6)l - .rryra napa60JIbI y=x2 OT TO'IKHZl =0)1.0 TO'IKHZ2 = -1 +i.

7.3.11.jlzl dz, r)1.e:

.rryra OKPY:>KHOCTH Izl = 1 OT

TO'IKH Zl =

1 )1.0 TO'IKH

= -1;

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl

1 )1.0 TO'IKHZ2

-1;

B) l

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl

0 )1.0 TO'IKHZ2

2 - 2i.

7.3.12.

j~Z, r)1.e l - .rryra OKpY:>KHOCTH Izi =

2 OT TO'IKHZl

2)1.0 TO'IKH

= 2e27ri •

7.3.13.

jlzI 2dz,

r)1.e l -

OTpe30K np.aMoti

OT TO'IKH Zl =

)1.0 TO'IKH

Z2 = V2ei i.

7.3.14.

jCz2 -

z) dz, r)1.e l

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl

0 )1.0 TO'IKH

= i.

7.3.15.

jC2i -

z) dz, r)1.e l

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl

)1.0 TO'IKH

+ i.

Z2 = 1

7.3.16.

j ReCz 2 -

z) dz, r)1.e l

- )1.yra napa60JIbI y = 2X2 OT TO'IKHZl = 0

)1.0 TO'IKHZ2 = 1 +

2i.

7.3.17.

Jciz 2 +

2z) dz, r)1.e l -

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl =

0 )1.0 TO'IKH

+ i.

= 1

7.3.18.

jCz2 -

3iz) dz, r)1.e l -

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl

1 )1.0 TO'IKH

= i.

7.3.19.

jCz3 -

1) dz, r)1.e l -

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl

0 )1.0 TO'IKH

+i.

= 1

7.3.20.

jCiz3 + 3) dz, r)1.e l -

OTpe30K np.aMoti OT TO'IKHZl

1 )1.0 TO'IKH

= i.

461

7.3.21.

e Z dz,

r)1.e l

OTpe30K rrpHMoit OT TOqKH Zl = i

)1.0 TOqKH Z2 =

= 1 +i.

7.3.22.

IZ eZ dz,

r)1.e l

OTpe30K rrpHMoit OT TOqKH

o )1.0

TOqKH

7r.

Z'J

= 2"z.

7.3.23.

ISinzdz, r)1.e l

OTpe30K rrpHMoit

OT TOqKH

0)1.0

TOqKH

= i.

o )1.0

7.3.24.

Ichzdz,

r)1.e

OTpe30K rrpHMoit

TOqKH

= 7r -

7ri.

HCnOJI,'b3YJI

aHaJl.Umu"tHOCm'b

nOa'btHmeZpM'bHoiJ. tjiYH'X:V,UU,

6'bt"tUCJl.Um'b UH-

mezpaJl.'bt:

7.3.25.

l(iz3 + 3) dz, r)1.e l - OTpe30K rrpHMoit OT TOqKH Zl = 1 )1.0 TOqKH

Z2 = i (CM. TaIOKe 3a)1.aqy 7.3.20).

7.3.26.

IChzdz,

r)1.e

OTpe30K rrpHMoit

TOqKH

0 )1.0

TOqKH

Z2 = 7r -

7ri (CM. TaK:>Ke 3a)1.aqy 7.3.24).

7.3.27.

IZ3 dz, r)1.e l

= 1 OT TOqKH Zl = 2i )1.0

qacTb 9JIJIHrrCa ~ + '4

= -3 (06xo)1. ocyrn;eCTBJIHeTCH rrpOTHB qaCoBoit CTpeJIKH).

TOqKH Z2

B'bt"tucJl.um'b UHmeZpaJl.'bt:				- OTpe30K rrpHMoit OT TOqKH Zl = I )1.0 TOqKH
7.3.28.	I(z - z) dz, r)1.e l			- OTpe30K rrpHMoit OT TOqKH Zl = I )1.0 TOqKH
	I
	Z2 = 27r.		OTpe30K rrpHMoit OT TOqKH Zl = 0 )1.0 TOqKH Z2 =
7.3.29.	Ilzl dz, r)1.e l -		OTpe30K rrpHMoit OT TOqKH Zl = 0 )1.0 TOqKH Z2 =
	I
	= 3 + 2i.			)l.yra OKPY:>KHOCTH Izl	= 1 OT TOqKH		= 1 )1.0
7.3.30.	I zlzl dz,	r)1.e l	-	)l.yra OKPY:>KHOCTH Izl	= 1 OT TOqKH	Zl	= 1 )1.0
	I
	TOqKH Z2 = e21ri				TOqKH Zl = 0
7.3.31.	IIzl2 dz,	r)1.e l		OTpe30K rrpHMoit OT	TOqKH Zl = 0	)1.0	TOqKH

Z2 = J3 + i.

462

7.3.32.	!(iz2 + z) dz, r)1.e l -			OTpe30K rrpjlMoit OT TO'lKH Zl	= i )1.0 TO'lKH
	I	= 1.
	Z2	= 1.
7.3.33.	!	Re z· Irn(z2) dz, r)1.e l - .rr.yra rrapa60JIbI Y = 2x3 OT TO'lKH Zl = 0
	I
	)1.0 TO'lKH Z2 = 1 + 2i.
7.3.34.	!Irnzdz, r)1.e l -		.rr.yra OKPY:>KHOCTH Izl = 3 OT TO'lKH			Zl	= 3)1.0
	I
	TO'lKH Z2 = 3e27ri .
7.3.35.	!	eZ dz, r)1.e l -	OTpe30K rrpjlMoit OT TO'lKH Zl		0	)1.0	TO'lKH
	I	= 7r + 7ri.
	Z2	= 7r + 7ri.
7.3.36.	!Re(sinz) coszdz, r)1.e l - OTpe30K rrpjlMoit OTTO'lKH Zl					= ~(7r-i)
	I
	)1.0 TO'lKH Z2 = ~(7r + i).
7.3.37.	!	z sin 2z dz, r)1.e l	-	oTpe30K rrpjlMoit OT TO'lKH Zl	= 3 )1.0 TO'lKH
	I
	Z2 = 1 + i (<pYHKIJ;HjI z sin 2z aHaJIHTH'IHa B q.

B'bt"tuc.IIum'b u'ttmezpa.ll'bt no 3a.M'IC'ttymoti 'lCPU60ti, UCnO.ll'b3YSl rjjoPMY.ll'bt (3.4), (3.5) U.!IU (3.6) (o6xoiJ 'lCpU60ti oCY'lll,ecm6.!tS1emCSl npomU6 "taco6oti cmpe.!l'ICu).

7.3.38.	f	sin z . sin(z -			1) dz.
	Izl=2		z(z - 1)
	Izl=2
7.3.39.	f	sinz2		dz
	(Z2	+ 7r )2 .
	I					Iz - 7ril		= 1;
	a) l:	Izl	= 1;	= 1.	6) l:	Iz - 7ril		= 1;
	0) l:	Iz + 7ril		= 1.
7.3.40.	f Z5 dz- Z3'
	I
	a) l:	Izl	= ~;		6) l:	Iz	- 11	= 1;
		Iz		1				2
	0) l:			1
	0) l:		+ 11 = 2'
7.3.41.	f z ~1 dz.
	I
	a) l:	Izl	= ~;		6) l:	Izl	= 2.
7.3.42.	f cos z		dz.
	Z-7r
	I	Iz - 7r1		= 1;			= 1.
	a) l:	Iz - 7r1		= 1;	6) l:	Izl	= 1.

463

7.3.43.	f	zdz
7.3.43.	f	(z - 1)2·
	I			= ~;			Izl
	a) 1:		Izl	= ~;		6) 1:	Izl	= 2.
7.3.44.	f	Sinz dz			.
7.3.44.	f		z		.
	I		Izl =				Iz	-	11	= ~.
	a) 1:		Izl =		1;	6) 1:	Iz	-	11	= ~.
7.3.45.	f	Sinz dz
			z3 .
	I		Izl = 1;				Iz	-	11	1
	a) 1:					6) 1:				1
	a) 1:					6) 1:				= '2.
7.3.46.		dz
7.3.46.	f Z2		-1·
	f Z2		-1·
	I		Iz -				Iz + 11
	a) 1:		Iz -		11 = 1;	6) 1:	Iz + 11			= 1;
	n) 1:		Izl		1
	n) 1:		Izl	= '2.
7.3.47.	f		dz
7.3.47.		(Z2 + 1)3·
		(Z2 + 1)3·
	I		Iz -		il = 1;		Iz + il
	a) 1:		Iz -		il = 1;	6) 1:	Iz + il			= 1;
	n) 1:		Izl		1
	n) 1:		Izl	= '2.
7.3.48.	f (z			dz
7.3.48.			+ 1)3(z - 1)2·
			+ 1)3(z - 1)2·
	I		Iz - 11 = 1;				Iz + 11
	a) 1:		Iz - 11 = 1;			6) 1:	Iz + 11			= 1;
	n) 1:		Izl	= ~.

KOHTponbHble BonpOCbl M 60nee CnO)l(Hbie 3aAaHMH

7.3.49. IIycTb h - .rryra HeKoTopoit KPHBOit 1 C HaqanbHoit TOqKOit ZI H KOHeqHoit TOqKOit Z2, a 12 - .rryra TOit JKe KPHBOit C HaqanbHoit TOqKOit Z2 H KOHeqHoit TOqKOit ZI (MHOJKeCTBa TOqeK Ha 11 H 12

COBna,n,aIOT). qTO MOJKHO CKa3aTb 06 HHTerpanax

!J(z) dz H	!J(z) dz?
h	12

7.3.50. qTO MOJKHO CKa3aTb 06 HHTerpane

!ReJ(z) dz,

r)1;e 1- OTpe30K Ha MHHMOit OCH, a ¢YHKII;HjI J(z) HenpepbIBHa Ha

9TOM OTpe3Ke?

7.3.51. ECJIH

fJ(z)dz = 0,

464

(4.3).

	CJIe.rr.yeT JHI M3 9TOrO, 'ITOf Cz) - aHaJUITM'IeCKruI<PYHKUM.a BHYTPM
	3aMKHYToit KPMBOit l?
7.3.52.	,ILoKa3aTb paBeHcTBo:
	f afCz) dz = a f		fCz) dz.
	I	I
7.3.53.	Bbl'lMCJIMTb f	ctg z dz.
	Izl=l
7.3.54.	BepHO JIM, 'ITO)1;JI.a JIlo6oit <PYHKUMM fCz) M JIlo6oit KPMBOit l Bbl-
	IIOJIH.aeTC.a HepaBeHCTBO:
	a) flfCz)ldz ~ 0;		6) f j2Cz)dz ~ O?
7.3.55.	I		I
7.3.55.	BepHO JIM paBeHCTBO

j(hCz) + hCZ))2 dz = f /fCz) dz + 2 f hCz)hCz) dz + f /iCz) dz?

I I I I

§4. P~AbI1l0PAHA. Lil301lLilPOBAHHbiE OC06blE

TOYKLiI

~PSIiJOM JIopa'H,a Ha3blBaeTCH pH,lJ; BH,lJ;a

+00
L cn(z-zot = ...+	C-k	k +.. .+~+CO+C1(Z-ZO)+...+Cn(Z-zot+·.·,
n=-oo	(z - zo)	z - Zo
		(4.1)

r,lJ;e Zo - <pHKcHpoBaHHaH TO'lKaKOMllJIeKcHoit llJIOCKOCTH C, a Cn ('1w3g}(jjuu,ue'H,m'bl.

pH,lJ;a JIopaHa) -

3a,lJ;aHHble KOMllJIeKCHble '1HCJIa.

PH,lJ; JIopaHa IIpe,lJ;CTaBJlHeT c060it CyMMy ,lJ;ByX PH,lJ;OB: pH,lJ;a

-1

(

C 1

C-2

C- n

Z - Zo

2 + ... + (

)n + ...

(4.2)

L..J

= -- +

(Z -

ZO)

n=-oo

Z - Zo

H pH,lJ;a

+00

ZO) + C2(Z -

ZO)2 + ... + Cn(Z -

zot +....

L Cn(Z - zot = Co + C1(Z -

(4.3)

n=O

PH,lJ; JIopaHa Ha3blBaeTCH CXOORU!UMCR B HeKoTopoit TO'lKeZ E C, eCJlH B 9TOit TO'lKeCXO,lJ;HTCH o6a 9THX pH,lJ;a (T. e. pH,lJ;bl (4.2) H (4.3)), IIpH 9TOM cyMMa pH,lJ;a (4.1) no ollpe)1;eJIeHHIO paBHa cyMMe ,lJ;ByX CJlaraeMblX - CYMMbl pH,lJ;a (4.2) H CYMMbl PH,lJ;a

465

(0).

B HeKOTopOM KOJIbIJ;e 0 ~ B TO'lKeZOo

TeopeMa 7.3 (.nopaH). ECIlIil cl>YHK~lIIfI	J(z) aHallIllTIII'fHa B KOllb~e 0 ~ r <
< Iz - zol < R, TO B 3TOM KOllb~e OHa npeACTaBIilMa CXOAfI~IIIMCfI PflAOM nOpaHa
+00
J(z) = L	Cn(Z - zot,
n=-(X)

nplII'feM3TO npeACTaBlleHllle eAIIIHCTBeHHO; K03c1>cI>lII~lIIeHTbl Cn OAH03Ha'fHbIMo6pa30M OnpeAellfilOTCfI paBeHCTBaMIil

1	f	J(z)dz
Cn = 27ri		(z _ zo)n+1 ' r < p < R, n = 0, ±1, ±2, ...

Iz-zol=p

liHOr,ll;a pH,lI; JIopaHa, CXO,ll;Hm;~dI:cH K q,YHKIJ;HH J(z)

~ r < Iz - zol < R, Ha3blBaeTCH PH,lI;OM JIopaHa ,lI;JlH J(z)

ECJIH q,YHKIJ;HH J(z) aHaJIHTH'lHaB Kpyre Iz - zol < R, TO pa3JIOJKeHHe J(Z) B

pH,lI; JIopaHa B ::ITOM Kpyre rrpe,ll;CTaBJIHeT co6oit pa3JlOJKeHHe J(Z) B pH,lI;, Ha3blBaeMblit PH,lI;OM TeitJIopa - B ::ITOM pa3JIOJKeHHH OTCYTCTBYIOT CJIaraeMble, CO,ll;epJKam;He OTpHIJ;aTeJIbHble CTerreHH (Z - ZO):

+00

J(Z) = L Cn(Z - zot = Co + C1(Z - ZO) + C2(Z - ZO)2 + ... + Cn(Z - zot + ...

n=O

~IIycTb O,ll;H03Ha'lHaH q,YHKIJ;HH J(Z) aHaJIHTH'lHa B HeKoTopoit rrpOKOJIOTOit

OKpeCTHOCTH TO'lKH Zo i= 00 (T. e. B HeKOTOpOM KOJIbIJ;e 0 < Iz -	zol < R), HO
He aHaJIHTH'lHaB TO'lKeZOo B 9TOM CJIY'laeTO'lKaZo Ha3bIBaeTCH U30JlUpOaa'H'Hoit
oco6oit mO"l,1Coit (O,ll;H03Ha'lHOrOXapaKTepa) ,lI;JIH q,YHKIJ;HH J(z).	~

AHaJIOrH'lHO, 6eCKOHe'lHO Y,lI;aJIeHHaH TO'lKa(o603Ha'laeTCH3Ha'lKOM(0) Ha-

3blBaeTCH U30J1UpOaa'H'Hoit oco6oit mO"l,1Coit ,lI;JIH q,YHKIJ;HH J(z), eCJIH J(z) - O,ll;Ho-

3Ha'lHaHaHaJIHTH'leCKaHq,YHKIJ;HH B HeKOTopOM KOJIbIJ;e r < Iz - zol < +00 (zo -

HeKOTopaH TO'lKarrJIOCKOCTH C).

,n:aJIee B ::ITOM rraparpaq,e 6Y,lI;eM paCCMaTpHBaTb TOJIbKO O,ll;H03Ha'lHbleq,YHKIJ;HH.

~ rJlaa'Hoit "I,aCmb1O pH,lI;a JIopaHa B OKpeCTHOCTH H30JIHpOBaHHoit oco6oit TO'lKH (KOHe'lHoitHJIH 6eCKOHe'lHoit)Ha3blBaeTCH CYMMa Bcex Tex H TOJIbKO Tex 'lJIeHOB pH,lI;a JIopaHa, KOTopble CTpeMHTCH K 6eCKOHe'lHOCTHrrpH CTpeMJIeHHH z K oco6oit TO'lKe(T.e. pH,lI; (4.2) B CJIY'laeZo i= (0). IIpaauJlb'Hoit "I,aCmb1O pH,lI;a JIopaHa Ha3blBaeTCH cYMMa Bcex OCTaJIbHblX 'lJIeHOBpH,lI;a (T. e. pH,lI; (4.3) B CJIY'laeZo i=

TaKHM o6pa30M:

1) B oKpecTHocTH oco6oit TO'lKHZo i= 00:

-1	+00
J(z)= L Cn(Z-zot+Co+LCn(Z-Zoti
n=-(X)	n=l ..
rJIaBHaH ~aCTb	npaBHnbH&H ~acTb

466

(Zo -

2) B oKpecTHocTH 6eCKOHe'lHOY)J;aJIeHHoi!: oco6oi!: TO'lKH00:

-1	+00
J(z) = L cn(z -	zot + Co + L cn(z - zot;
n=-(X)		n=1
	-----------
		rJl8BHaB ~aCTb

(zo - HeKOTOpaH TO'lKanJIOCKOCTH C).

~IhoJIHpoBaHHaH oco6aH TO'lKaZo (KoHe'lHaHHJIH 6eCKOHe'lHaH)<PYHKIJ;HH J(z)

Ha3bIBaeTCH
1)	ycmpaH,UMoi1. oco6oi1. mo'l,'lCoi1., eCJIH cYIIJ;eCTByeT KOHe'lHbli!:npe)J;eJI lim	J(z);
	Z~Zo
2)	nO.ll70COM, eCJIH lim J(z) = 00;
	z-+zo
3)	cYUjecmt;leH,H,o oco6oi1. mo'l,'lCoi1., eCJIH npe)J;eJI lim J(z) He CYIIJ;eCTBYeT.	~
	z--+zO

IhoJIHpoBaHHaH oco6aH TO'lKa(KOHe'lHaHHJIH 6eCKOHe'lHaH)HBJIHeTCH YCTpaHHMOi!: oco6oi!: TO'lKOi!:)J;JIH <PYHKIJ;HH J(z) Tor)J;a H TOJIbKO Tor)J;a, Kor)J;a rJIaBHaH '1acTbpH)J;a JIopaHa <PYHKIJ;HH J(z) B OKpeCTHOCTH oco6oi!: TO'lKHpaBHa HYJIIO (T.e. paBHbI HYJIIO Bce K09<P<PHIJ;HeHTbI Cn rJIaBHoi!: '1aCTH),T. e.:

1) )J;JIH oco6oi!: TO'lKHZo i= 00:

+00

J(z) = L cn(z - zot = Co + C1(Z - zo) + C2(Z - ZO)2 + ... ; n=O

2) )J;JIH 6eCKOHe'lHOY)J;aJIeHHoi!: oco6oi!: TO'lKH00:

		o
J()	=	,,()n		C-1	C-2	2 + ...
Z	=	L...J	Cn Z-Zo	=Co+---+	(z - zo)	2 + ...
		n=-oo		Z - Zo	(z - zo)

HeKOTopaH TO'lKanJIOCKOCTH C).

M30JIHpOBaHHaH Oco6aH TO'lKaZo HBJIHeTCH YCTpaHHMoi!: oco6oi!: TO'lKOi!:)J;JIH <PYHKIJ;HH J(z) B TOM H TOJIbKO B TOM CJIY'Iae,Kor)J;a 9Ta <PYHKIJ;HH aHaJIHTH'IeCKaHH

OrpaHH'IeHHaHB HeKoTopoi!: npOKOJIOToi!: OKpeCTHOCTH TO'lKHZo (T. e. B HeKOTopOM KOJIbIJ;e 0 < Iz - zol < R).

M30JIHpOBaHHaH oco6aH TO'lKaHBJIHeTCH nOJIIOCOM <PYHKIJ;HH J(z) Tor)J;a H TOJIb-

KO Tor)J;a, Kor)J;a rJIaBHaH '1aCTbpH)J;a JIopaHa <PYHKIJ;HH J(z) B OKpeCTHOCTH 9TOi!: TO'lKHCO)J;ep)KHT KOHe'lHOe(OTJIH'IHOeOT HYJIH) '1HCJIOHeHYJIeBbIX 'lJIeHOB,T. e.:

1) )J;JIH oco6oi!: TO'lKHZo i= 00:

+00

J ( Z)

= (

C-m

)m + (

C- m +1

C - 1" (

Z -

;

) -1 + ... + - _ - + L...J Cn

z -

Zo m

Z Zo

n=O

2) )J;JIH 6eCKOHe'lHOY)J;aJIeHHoi!: oco6oi!: TO'lKH00:

-1

J(z) = L cn(z -

zot + Co + C1 (z -

zo)m-1 + cm(z - zo)m

zo) + ... C -1 (z -

n=-(X)

(Zo - HeKOTOpaH TO'lKanJIOCKOCTH C).

467

~qHCJIO m (HaH6oJIbllI3J'IH3 CTerreHeit CJlaraeMblX B rJIaBHoit '1aCTHpH.n;a JIopa-

Ha) Ha3blBaeTCH nopRf}7(;OM nO.II1Qca. ~

TO'lKaZo i= 00 HBJIHeTCH rrOJIIOCOM m-ro rropH.n;Ka (HJIH rropH.n;Ka m) q,YHKIJ;HH fez) Tor.n;a H TOJIbKO Tor.n;a, Kor.n;a <PYHKIJ;HH fez) rrpe.n;CTaBHMa B BH.n;e '1aCTHOro

<p(z) fez) = (Z - Zo )m'

r.n;e <PYHKIJ;HH <p(z) aHaJIHTH'IHaB TO'lKeZo, <p(zo) i= O.

ECJlH TO'lKaZo - rrOJIIOC rropH.n;Ka m <PYHKIJ;HH fez), TO zo- HYJIb KpaTHOCTH m <PYHKIJ;HH ftz). KpOMe Toro, TO'lKaZo- rrOJIIOC rropH.n;Ka m q,YHKIJ;HH fez), eCJIH

lim (z - zo)m fez) = C i= o.

z-+zo

BeCKOHe'lHOy.n;aJIeHH3J'ITO'lKa00 HBJIHeTCH rrOJIIOCOM m-ro rropH.n;Ka <PYHKIJ;HH fez) Tor.n;a H TOJIbKO Tor.n;a, Kor.n;a <PYHKIJ;HH fez) rrpe.n;CTaBHMa B BH.n;e rrpOH3Be.n;e- HHH

fez) = <p(z)(z - zo)m,

r.n;e <PYHKIJ;HH <p(z) aHaJIHTH'IHaB 6eCKOHe'lHOy.n;aJIeHHoit TO'lKe00, <pc00) i= O.

H30JIHpOBaHHaH oco6aH TO'lKaZo HBJlHeTCH cyw:eCTBeHHO oco6oit TO'lKOit<PYHKIJ;HH fez) TOr.n;a H TOJIbKO Tor.n;a, Kor.n;a maBHaH '1aCTbpH.n;a JIopaHa q,YHKIJ;HH fez) B OKpeCTHOCTH TO'lKHZo co.n;ep)l{HT 6eCKOHe'lHOe'1HCJIOHeHYJIeBbIX '1JIeHOBC OTpHIJ;a- TeJIbHblMH CTerreHHMH (z - zo) (.n;JIH oco6oit TO'lKHZo i= 00) HJIH C rrOJIO)l{HTeJIbHblMH CTerreHHMH (z - zo) ():\JlH 6eCKOHe'lHOy.n;aJIeHHoit TO'lKH00).

7.4.1.	RaitTH pa3JIO:>KeHHe <PYHKI.J;HH \ sin Z B P.HJ.I: JIopaHa
		Z
	a) B oco6oit TOqKe Zo = 0;	6) B oco6oit TOqKe 00.
	YKa3aTb rJIaBHYIO H IIpaBHJIbHYIO qaCTH pH,ll;a Hero 06JIaCTb CXO-
	,ll;HMOCTH.
a a) BOCIIOJIb3yeMcH H3BeCTHbiM pa3JIO:>KeHHeM <PYHKI.J;HH
	00	(-l)n
	sin Z = L	z2n+1

n=O (2n + I)!

B pH,ll; (TeitJIopa) B 06JIaCTH 0 ~ Izl < +00, T. e. BO Bceit KOMIIJIeKcHoit IIJIOCKOCTH C:

rJlaSHaB qaCTb

npaBHJlbHaH ..aCTb

06JIaCTb CXO,ll;HMOCTH pH,ll;a - BCH KOMIIJIeKCHaH IIJIOCKOCTb C 3a HCKJIIO'ieHHeM TOqKH z = 0, T. e. KOJIbI.J;O 0 < Izl < +00.

468

6) ,I1;ml pa3JIOlKeHHH B pH,ll. JIopaHa B 6eCKOHeqHO Y,ll.aJIeHHoit TOqKH C,ll.e-

JIaeM 3aMeHY t =

H 6Y,ll.eM HCKaTb pa3JIO)KeHHe B TOqKe to

= 0:

. 1

2 (1

1 1

... +

(_I)n

+ ...

)

sm t = t

. t3

+ 51 . t5

(2n + I)!

. t2nH

=t_.!..l+l.l_ ... + (_1)n

._1_

(2n + I)!

t2n- 1'

OTKY,ll.a

sinz =

......,.."

npaBH.nbHa:H qacTb

06JIaCTb CXO,ll.HMOCTH pH,ll.a- KOJIblJ;O 0 < Izl < +00.

KaK BH,ll.HM, B cJIyqae, KOr,ll.a pa3JIO)KeHHe B pH,ll. JIopaHa no CTeneHHM z

CXO,ll.HTCH B KOJIbue 0 < Izl < +00, OHO HBJIHeTCH O,ll.HOBpeMeHHo pa3JIO)KeHH-

eM H B TOqKe Zo = 0, H B TOqKe 00.				•
7.4.2.	HaitTH pa3JIO)KeHHe <PYHKUHH -13 B PH)]. JIopaHa no CTeneHHM
		-z
	(z-l) B OKpeCTHOCTH TOqKH Zo = 1. YKa3aTb rJIaBHYIO H npaBHJIb-
	HYIO qaCTH pH,ll.a H era 06JIaCTb CXO,ll.HMOCTH.
Q CHaqaJIa BbI,ll.eJIHM Bblpa)KeHHe (z -		1) B 3HaMeHaTeJIe ,ll.p06H -13 :
				-z
	1 . 1	1	1	1
	3 - z = 2 - (z - 1) = 2 (1 _ z; 1) =		2· 1 _ z; 1 .
Tenepb BOCnOJIb3yeMcH pa3JIO)KeHHeM ,ll.p06H
		00
	_1_ = "zn			(4.4)
	l - z	~

n=O

B 6eCKOHeqHO y6bIBalOI.II.Y1O reOMeTpHqecKYIO nporpeccHIO co 3HaMeHaTeJIeM q = z B TOit 06JIaCTH, r,ll.e z - «MaJIO» (T. e. B OTKPbITOM Kpyre q = Izl < 1).

B CHJIY BbIlIIeCKa3aHHora, ,ll.P06b

1- z -1

rrpe,ll.CTaBHMa B BH,ll.e pH,ll.a JIopaHa, CXOMrn;erOCH B 06JIacTH, r,ll.e Iql = Iz ; 11

«MaJIO», T. e. B OTKPbITOM Kpyre Iz;	11 < 1, HJIH Iz -		11 < 2.
OTCIO,ll.a
1 z - 1	(z - l)n		~ (z - l)n
= 2 + ~ + ... +		2n +1 + ... = ~ 2n +1
,	...		' n=O
npaBH.nbHaH 1.faCTb			•
06JIacTb CXO,ll.HMOCTH - OTKPbITblit Kpyr Iz -		11 < 2.	•
06JIacTb CXO,ll.HMOCTH - OTKPbITblit Kpyr Iz -		11 < 2.

469

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6047 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025163.16 Кб0САПР_ЛЕК_C_0413.docx
#
01.07.202510.46 Mб0САПЭАиТ - М 1-6.rtf
#
04.09.2019147.46 Кб12сацо-30.doc
#
01.05.202575.66 Кб7Саша реферат.docx
#
01.04.20252.56 Mб0Сб.з.ТТСС1.doc
#
15.03.201527.38 Mб68Сборник задач по высшей математике 2 том.pdf
#
15.03.20151.11 Mб97сборник иб .doc
#
15.03.201513.6 Кб50сводная таблица налоги.docx
#
15.03.2015140.33 Кб24Связи с общественностью.docx
#
04.09.201995.23 Кб15СГП.doc
#
23.11.2019207.16 Кб4СДЭ.docx