Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

tvims_3

.pdf

Скачиваний:

1828

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

676.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

fY3 (y)

2√−y · e−5√−y, y < 0;

0, y > 0.

10.49. а)

fY (y) =

;

1 + 3

3π

(y − 2)2

б)

fZ (y)

π√y (1 + y) , y > 0;

0, y 6 0.

10.50. а)

, y (0, 1) ;

(y)

1 − y2

0,py / (0, 1) ;

б)

, y (0, 1) ;

(y)

1 − y2

0,py / (0, 1) .

дискретным распределением.

§ 11. Случайные векторы с

11.2. а)

−2

;

−1

;

2 X=

б) P (Y

1 , P (X 1

1) 1 ;

1/2

P (X

xi)

1 / 3 1 / 3

1/3

P Y

= | = =

= | = − =

X + Y

−4

−1

−3

1/6

в)

−1

1/6

;

1/6

г)

−3

−1

;

P (X + Y = xi)

1/3

1/6

111

			xi											−4				−1			0								2				;
		P (XY = xi)												−4				−1			1/3								1/3				;
		P (XY = xi)										1/6					1/6				1/3								1/3

	max (X, Y)															min (X, Y)

										−2						−1				0									1
д)			−1							1/6							0			0									0			.
д)			−1							0						1/6				0									0			.
		0								0						1/6				0									0
		1								0						1/6				0									0

		2								1/6							0			1/6					1/6


																															X						Y

																																	0				2	8
			yj										0					2				8											0				2	8

11.3.																													;		0		1/2				0	0	.
11.3.			P Y				yj						1/2					1/6				1/3							;		0		1/2				0	0	.
			P Y				yj						1/2					1/6				1/3
				=																											2		0				0	1/3
11.4. а) EX = −								1	, DX =									14	; б) EY =									1		,	1		0				1/6	0

																															DY		=	9	; в)		cov (X, Y) = 0;
								3										9										2			DY		=	4	; в)		cov (X, Y) = 0;
г) E (X − 2Y) = −											4			, D (X − 2Y) =									95			.
г) E (X − 2Y) = −											3			, D (X − 2Y) =									9			.							4007					193
		EX =		1						107										35													4007					193
11.5.						,	DX =										, EY			= −							,			DY =						, ρ(X, Y) = −				√				≈
					2										144									48									2304
					2										144									48									2304								107	·	4007
																																										·

−0, 29, E (X − 3Y + 1) = 15748 , D (X − 3Y + 1) = 424072304 ≈ 18, 4.

11.6. ESn = 0, DSn = 2 n.

735

11.7.ESn = 2 n, DSn = 12 n.

11.8. 1)

−5

;

−3

;

P (X = xi)

3/17

5/17

9/17

Y = yj

10/17

7/17

−

P (X + Y = xi)

5/17

;

2/17

5/17

−15

−10

;

P (XY = xi)

4/17

1/17

5/17

2/17

EX = 3017 , DX = 4200289 , EY = − 1617 , DY = 1750289 , cov (X, Y) = 650289 , ρ (X, Y) =

14√

−2

;

−2

;

P (X = xi)

7/18

P Y = yj

2/9

5/9

4/9

112

			xi								−4				−2						0						2				4			;
P (X + Y = xi)											−4				−2																			;
P (X + Y = xi)										1/9			2/9						1/3						1/6					1/6

						xi						−4			0							4						;
	P (XY = xi)											−4																;
	P (XY = xi)										1/3				7/18							5/18													4				4
	1				7										2							77													4				4
EX =				,	DX =				, EY = −									, DY =								,	cov (X, Y) = −									, ρ (X, Y) = −			7√		.
			3					3									9							81											27
			3					3									9							81											27					33
			X																	Y

11.9.						1			2					3									. . .						n				. . .		;
11.9.		2				1/5			3/25					9/125									. . .				3n−1/5n						. . .		;
		2				1/5			3/25					9/125									. . .				3n−1/5n						. . .
		4				1/5			3/25					9/125									. . .				3n−1/5n						. . .

	xi						2					4				;
P (X = xi)							1/2					1/2				;

					yj				1					2							3								. . .					n			. . .	, т. е. случай-
	P Y = yj								2/5					6/25							18/125								. . .			2 · 3n−1/5n					. . .	, т. е. случай-

ная величина Y имеет геометрическое распределение с параметром p = 25 ; случайные величины X и Y независимы;

EX = 3, DX = 1, EY = 52 , DY = 154 , cov (X, Y) = 0,

		Y		X
11.10.			20		25		;		xi	80	90
11.10.		80	0		1/2		;	P (X = xi)		1/2	1/2
		90	1/4		1/4


		yj		20			25		;
	P Y = yj			1/4		3/4			;

EX = 954 , DX = 7516 , EY = 85, DY = 25, cov (X, Y)

случайные величины X и Y зависимы.

ρ(X, Y) = 0.

;

= −	25	, ρ(X, Y)	= −	1		,
	4			√
					3

11.11.

;

1/4

P (X = xi)

1/4

3/4

;

1/4

3/4

P Y = yj

15, DX =

75, EY

= 50, DY = 300, cov (X, Y) = 150, ρ (X, Y) = 1, слу-

113

чайные величины X и Y линейно зависимы, Y = 2X + 20.

100

200

300

11.12.

0, 4

;

0, 4

0, 2

100

200

300

;

P (X = xi)

0, 2

0, 4

P Y = yj

0, 4

0, 2

, cov (X, Y)

= −

220 DX

5600 EY

5, 6 DY

2, 24

ρ(X, Y)

случайные величины X и Y зависимы.

11.13.

1/4

;

1/2

1/4

= xi)

Y = 57, 5 DY

1/4

= 7, 5

P (X

1/4

1/2 1/4

;

P Y = yj

1/2 1/4

;

2, DX

118, 75, cov (X, Y)

ρ (X, Y) = −

7, 5

≈ 0, 97, случайные величины X и Y зависимы.

√

59, 375

§ 12. Случайные векторы с абсолютно непрерывным распределением.

12.6.

fX (x)

1, x−

[

1, 0],

fY (y)

1, y

[

1, 0],

/ [

1, 1],

[−1, 1],

−

X и Y зависимы. −

1, x

[0, 1];

−

[0, 1];

12.7.

fX (x) = (

, x

[−

1, 1];

fY (y) =

(

, y

[− 1, 1];

x /

[

1, 1],

y /

[

1, 1],

−

X и Y независимы.

114

12.8.

0, x / [−1, 1],

fX (x) = x + 1, x [−1, 0],

−x + 1, x [0, 1];

(

fY (y) =

0, y / [0, 1],

2 − 2y, y [0, 1];

EX = 0, DX =

, EY =

, DY =

, cov (X, Y) = 0, ρ (X, Y) = 0; X и Y зави-

симы.

12.9.

, (x, y) D;

;

X,Y

(x, y)

P (X 6

−

1, Y > 1)

(0, (x, y) / D;

x2 x

−2,

F (x)

F (y)

X =

4 + x + 1, −2 < x 0,

2 −

16 , 0 < y 4,

1, x > 0;

1, y > 4;

0, x / [

2, 0],

fY (y) = (

fX (x) = ( x2 + 1, x [−2, 0];

21 − y8 , y [0, 4];

−

0, y / [0, 4],

EX = −

, DX =

, EY =

, DY =

, cov (X, Y) =

, ρ(X, Y) =

12.10. C =

, P (X > 0, Y > −1) =

;

(

y) , y

[

4, 0];

fX (x) =

(

1) , x

[0, 1];

fY (y) =

[0, 1],

y /

[−4, 0],

−

EX =

, DX =

, EY =

, DY =

, cov (X, Y) = −

869

162

5184

648

ρ (X, Y)

= −

869√2

455

√

12.11. C =

, P (X 6 0, Y > 2) =

;

160

fY (y) = (

(6y

1) , y

[0, 5];

fX (x) = (

, x

[ 1, 1];

x /

[−1, 1],

y /

[0, 5],

−

115

EX = 0, DX =

, EY =

105

DY =

4525

, cov (X, Y) = 0, ρ (X, Y) = 0.

1024

12.12. C =

, P X 6

6 Y 6

3π

;

π2

(

1 , y

[0, π];

fX (x) = (

, x

[0, π];

fY (y) =

0, x /

[0, π],

y /

[0, π],

			2
EX =	π	, DX =	π	, EY =			π	, DY =
EX =	2	, DX =	12	, EY =			2	, DY =
12.13.		fY (y) =			(n y2				8y
		fY (y) =			(n y2				8y
					0,	y / [3, 4],
								−	+

π2 , cov (X, Y) = 0, ρ (X, Y) = 0.

16 n−1 · (8 − 2y) , y [3, 4].

12.14.

(1 e−α(z+ √z), z > 0;

α 1

e−α(z+ √z), z > 0.

FZ (z)

0, z 6

fZ (z)

6 0,

−

+ 3√z2

12.15.

FZ (z)

1 ln z

, 0 < z 6 4,

z 6

−

12.16.

1, z > 4.

z − 8

, 8 < z 6 11,

112

fZ (z)

, 11 < z 6 12,

12− , 12 < z 6 15,

0, z > 15.

12.17.

, z > 0.

fZ (z) = ( 1 e−z/5 1 e−2z/15

−

12.18.

fZ (z) =

−

√

4π

116

12.19. а)

0, zz2

F (z)

z − 4 , 0 < z 2,

б)

1, z > 2;

F (z)

√z

z√z

0, z

6 0,

2 +

2 − 4 , 0 < z 8,

в)

1, z > 8;

f (z) = (

2 − z

, z [0, 2];

0, z

[0, 2],

f (z) =

√z

, z

[0, 8];

z /

[0, 8],

+ 6√z2 − 3

(z + 6)2

−

0, z / [−6, 2],

0, z 6

, −6 < z −4,

z + 6

, 6 6 z 6 4,

F (z)

, 4 < z 6 0,

f (z)

−

− 2

, 4 6 z 6 0,

−

1 −

, 0 < z 2,

−

, 0 6 z 6 2;

1, z > 2;

−

г)

z√z

6 0,

F (z)

f (z)

0, z / [0, 4],

3√z , z

[0, 4];

, 0 < z

д)

1, z > 4;

z√z

6 0,

, 0 < z

√

F (z)

f (z)

[0, 6];

√

, 6 < z

, z

(6, 8];

1, z > 8;

6√z2

117

е)

−1

(−z) , −4 < z −2,

F (z)

(2 pz)

, 2 < z 6 0,

( z)

−

z)3

< z 6 2,

−

, 0

> 2;

1, z

1 √− z, z

[

2];

0, z / [

4, 2],

−

− −

−

f (z)

√

√ z, z

(

2, 0];

− −

−

√2 − z, z (0, 2].

12.20.

fZ (z) =

4π 1

−

1)2

4π 1

−

2)2

§ 13. Предельные

теоремы.

13.10. P (|X − EX| > 2σ) 6

. 13.11. P (|X − EX| < 0, 2) > 0, 9.

13.12. а) P (|X − 16| < 3) > 0, 64; б) P (|X − 16| > 3) 6 0, 36.

13.13. P (|X − 200| < 50)

0, 94. 13.14. P

X − 0, 44|

√

0, 909.

0, 4

13.15. а) P (X 6 120) >

; б)P (X 6 120) >

; в) P (X > 180) 6 1

; P (X > 180) 6

. 13.16. а) 500000; б)

21000. 13.17. P (X < 500) > 0, 75. 13.18. P (X > 5) 6

0, 2. 13.19. P (A) 6

P (B) 6 0, 96. 13.20. P (X < 15) >

; P (X < 15) > 0, 96.

13.21. а) p 6 0, 0166

(p ≈ 0); б) P (X > 600000) 6 0, 5; P (X > 400000) > 0, 95;

P (X > 400000) ≈ 0, 9952. 13.22. Да. 13.23. 0, 4264. 13.24. а) 1397 6 Sn 6 1483; б) n > 648. 13.25. X (3, 42; 3, 98). 13.26. 554; 536. 13.27. (−83, 8; 83, 8).

13.28. p > 0, 9207. 13.29. n > 36. 13.30. 1, 333 · 10−5. 13.31. 1 − 13/e4.

13.32. 0, 0014. 13.33. 1) e−2 ≈ 0, 135; 2) 104. 13.34. 1) e−0,36 ≈ 0, 698; 2) 31980349.

118

Распределение Пуассона														.Приложение
Распределение Пуассона
Т а б л. 1. Значения функции pk(λ) =						λk	e−λ
Т а б л. 1. Значения функции pk(λ) =						k!	e−λ
	λ	0,1		0,2	0,3			0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
k		0,1		0,2	0,3			0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
k

0		0,90484		0,81873	0,74082			0,67032	0,60653	0,54881	0,49659	0,44933	0,40657
1		0,09048		0,16375	0,22225			0,26813	0,30327	0,32929	0,34761	0,35946	0,36591	Таблицы
2		0,00452		0,01638	0,03334			0,05363	0,07582	0,09879	0,12161	0,14379	0,16466
3		0,00015		0,00109	0,00333			0,00715	0,01264	0,01976	0,02839	0,03834	0,04940
4				0,00006	0,00025			0,00072	0,00158	0,00296	0,00497	0,00767	0,01112
5					0,00002			0,00006	0,00016	0,00036	0,00070	0,00123	0,00200
6									0,00001	0,00004	0,00008	0,00016	0,00030
											0,00001	0,00002	0,00004
Т а б л. 1.		(Окончание)	.

	λ	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
k		1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
k

0		0,36788	0,13534	0,04979	0,01832	0,00674
1		0,36788	0,27067	0,14936	0,07326	0,03369
2		0,18394	0,27067	0,22404	0,14653	0,08422
3		0,06131	0,18045	0,22404	0,19537	0,14037
4		0,01533	0,09022	0,16803	0,19537	0,17547
5		0,00307	0,03609	0,10082	0,15629	0,17547
6		0,00051	0,01203	0,05041	0,10419	0,14622
7		0,00007	0,00344	0,02160	0,05954	0,10445
8		0,00001	0,00086	0,00810	0,02977	0,06528

	λ	2,0	3,0	4,0	5,0
k		2,0	3,0	4,0	5,0
k

9		0,00019	0,00270	0,01323	0,03627
10		0,00004	0,00081	0,00529	0,0813
11		0,00001	0,00022	0,00193	0,00824
12			0,00006	0,00064	0,00343
13			0,00001	0,00020	0,00132
14				0,00006	0,00047
15				0,00002	0,00016
16					0,00005
17					0,00001

				k	λme−λ
	λ			P	λme−λ
Т а б л. 2. Значения функции					m!
				m=0	m!
				m=0
k		0,1	0,2	0,3		0,4	0,5	06
k

0		0,90484	0,81873	0,74081		0,67032	0,60653	0,54881
1		0,99532	0,98248	0,96306		0,93845	0,90980	0,80781
2		0,99984	0,99885	0,99640		0,99207	0,98561	0,97688
3		1,00000	0,99994	0,99973		0,99922	0,99825	0,99664
4			1,00000	0,99998		0,99994	0,99982	0,99960
5				1,00000		1,00000	1,00000	1,00000

	λ	0,7	0,8	0,9		1,0	2,0	3,0
k		0,7	0,8	0,9		1,0	2,0	3,0
k

0		0,49658	0,44933	0,40657		0,36790	0,23534	0,04979
1		0,84420	0,80880	0,77248		0,73576	0,40601	0,19915
2		0,96586	0,95258	0,93714		0,91970	0,67668	0,42319
3		0,99425	0,99092	0,98654		0,98101	0,85712	0,64723
4		0,99921	0,99859	0,99766		0,99634	0,94735	0,81526
5		0,99991	0,99982	0,99966		0,99941	0,98344	0,91600
6		0,99999	0,99998	0,99996		0,99992	0,99547	0,96649
7		1,00000	1,00000	1,00000		1,00000	0,99890	0,98810
8							0,99976	0,99620
9							0,99995	0,99890
10							0,99999	0,99971
11								0,99993
12								0,99998
13								1,00000

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.20152.99 Mб178tom1_2005_web.pdf
#
13.07.201947.57 Кб9transfer.rtf
#
29.12.2019505.86 Кб0ts_bum_lek_003+.doc
#
10.01.2020193.22 Кб0TTD_lab__4.docx
#
15.03.20151.11 Mб87TT_v2.0.pdf
#
15.03.2015676.43 Кб1828tvims_3.pdf
#
21.04.20194.04 Mб45TYeMA_1.doc
#
03.01.20202.08 Mб0UchbnoePosobieV14 - p2.doc
#
28.04.20192.56 Mб30Uch_posobie_po_MSS.doc
#
15.03.201538.35 Кб101Unit_1_Convergence_in_Telecoms_and_IT.docx
#
04.12.20192.02 Mб0U_posobie_testing_History_and_Political_Scienc.rtf