Цепи с взаимной индуктивностью

Цепи с взаимной индуктивностью.

В данной главе рассматриваются магнитосвязанные цепи, трансформаторы и особенности составления уравнения для цепей с индуктивными связями.

2.1. Индуктивные связи в электрических цепях.

Рассмотрим обычную катушку индуктивности (рис 2.1)

Рис 2.1. Катушка индуктивности.

Протекающий ток i создает магнитный поток Ф, который охватывает витки катушки. Суммарные поток или потокосцепление Ѱ пропорционально протекающему току:

(2.2)

,

Где: L- индуктивность катушки (в Гн), Ф – магнитный поток (в Вб), W-число витков катушки.

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение самоиндукции пропорционально скорости изменения суммарного потока или скорости изменения тока:

Рассмотрим цепи, которые содержат катушки индуктивности, связанные между собой общим потоком взаимной индукции. При протекании переменного тока в одной катушке будет, наводится напряжение не только в этой катушке (напряжение самоиндукции), но и в других катушках, магнитно связанные с первой (напряжение взаимной индукции).

Простейший элемент с взаимной индукцией это две катушки, связаннее между собой общим потоком взаимной индукции посредством магнитопровода. Такой элемент изображен на рис 2.2.а, а его схемное обозначение на рис. 2.2.б.

M

+

Рис 2.2 Элемент с взаимной индукцией.

Поток первой катушки , вызванный током , состоит из потока рассеяния , который сцеплен только с витками первой катушки, и взаимного потока , сцепленного с обеими катушками, то есть . Аналогично для второй катушки

Таким образом, поток, сцепленный с первой катушкой и его второй катушкой .

Знак или - зависит от взаимного направления потоков, которые могут быть определены по правилу буравчика и которые зависят от взаимного расположения и направления намотки катушек. Для указания согласного (знак +) или встречного (знак -) направления потоков взаимной индукции на схемах применяют специальные обозначения (точка, звездочка у одного из зажимов катушки рис 2.2б). Помечаются те зажимы катушек, через которые токи катушек должны проходить в одном и том же направлении для того, чтобы потоки взаимной индукции складывались. Эти зажимы называются однополярные. Таким образом, если токи катушек ориентированы одинаково (или оба входят или оба выходят)

Относительно однополярных зажимов, то это согласное включение, в противном случае - встречное. На рис 2.2б показано согласное включение магнитносвязанных катушек.

Потокосцепления первой и второй катушек могут быть записаны следующим образом:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Где и индуктивности катушек; M – взаимная индуктивность (в Гн), которая является коэффициентом пропорциональности между потокосцеплением взаимной индукции и током, вызывающим это потокосцепление.

Из (2.3) получаем соотношения для катушках через их токи:

Каждое напряжение состоит из двух слагаемых, первое из которых - напряжение самоиндукции, вызванное собственным током катушки, а второе-напряжение взаимной индукции, вызванное током другой катушки или наведенное из нее.

Степень магнитной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи, который равен среднегеометрическому значению относительных величин потоков взаимной индукции:

Учитывая, что , получим:

При K=1 имеется совершенная связь - потоки рассеяния отсутствуют и весь поток является потоком взаимной индукции, сцепленным с витками обеих катушек. Отсутствию магнитной связи между катушками соответствует K=0.

Для режима гармонических колебаний уравнения (2.4.) могут быть записаны для комплексных токов и напряжений в следующем виде:

Величина имеет размерность сопротивления и называется сопротивление взаимной индукции, а - комплексное сопротивление взаимной индукции.

2.2. Составление уравнений для цепей с взаимной индуктивностью

Рассмотрим примеры составления уравнений по законам Кирхгофа для простейших цепей, содержащих индуктивно-связанные катушки.

Пример .1

R

+

i₃

i₂

+

M

+

i₂

Рис. 2.3.

Составить уравнения по методу токов ветвей (т.е. по первому и второму законам Кирхгофа) для цепи рис. 2.3. в режиме гармонических колебаний

Линейно-независимая система уравнений для данного примера будет состоять из трех уравнений. Одно из них составляется по 1-ому и два по 2-му законам Кирхгофа. Индуктивно-связанные катушки включены согласно, так как токи катушек ориентированы одинаковым образом относительно однополярных зажимов. Составим уравнения Кирхгофа для верхнего узла и для двух выделенных на схеме контуров:

1. 

2. 

3. 

Где напряжения на катушках:

Пример.2

Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при согласном (рис 2.4а) и встречном (рис 2.4б) их включении.

+

+

i

M

U

а)

Рис. 2.4.

Через обе катушки проходит один и тот же ток. Напряжение на входе цепи равно сумме напряжений ветвей:

Знак плюс относится к согласному, а знак минус - к встречному включению катушек. Таким образом, при последовательном соединении катушек эквивалентная индуктивность:

при наличии магнитной связи увеличивается на 2M при согласном включении и уменьшается на ту же величину при встречном включении катушек. Отметим, что при и при совершенной связи (K=1 и ) эквивалентная индуктивность при согласном включении ,а при встречном

Трансформаторы

Простейший трансформатор представляет из себя две индуктивно связанные катушки, называемые обмотками (рис. 2.4.)

Рис. 2.4. Схема замещения трансформатора.

В трансформаторах с сильной связью (коэффициент связи ) обмотки располагаются на ферромагнитном сердечнике. Трансформатор без ферромагнитного сердечника называется воздушным. В трансформаторах с ферромагнитным сердечником зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля не является линейной. Поэтому при передаче энергии в таком трансформаторе могут быть нелинейные искажения. Однако в правильно спроектированном трансформаторе эти искажения достаточно малы и во многих случаях можно считать трансформатор со стальным магнитопроводом - линейным элементом.

В схеме рис 2.4 предполагается, что со стороны первичной обмотки действует источник напряжения , а к вторичной обмотке подключена нагрузка . Сопротивления и являются сопротивлениями соответствующих обмоток, тоесть обусловлены потерями энергии в обмотках. Для первичного и вторичного контуров трансформатора, согласно второму закону Кирхгофа, можно записать следующие соотношения:

,

,

Часто два зажима катушек трансформатора имеют общий узел (рис 2.5 а)

а)

б)

Рис. 2.5 Трансформатор с общим узлом и его Т-образная схема замещения без индуктивных связей (рис 2.5б). Эквивалентность двух схем следует из того, что для схемы замещения справедливы те же уравнения трансформатора (2.6).Действительно, учитывая, что для схемы замещения , запишем уравнение для входного и выходного контуров по 2-му закону Кирхгофа:

,

,

Нетрудно убедиться, что после раскрытия скобок эти уравнения будут совпадать с уравнениями трансформатора. Схема замещения трансформатора без взаимных индуктивностей позволяет использовать обычные методы анализа электрических цепей без их адаптации к цепям с магнитными связями.

Рассмотрим функции трансформатора, которые характеризуют передачу токов и напряжений от входных зажимов к выходным, то есть к нагрузке .

Из второго уравнения системы (2.6), разделив его на и учитывая, что ,

Получим функцию передачи по току :

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Если разделим одно уравнение система (2.6) на другое, получим функцию передачи по напряжению:

Заметим, что если магнитная связь между катушками отсутствует,(), то

Со стороны входа (источника) трансформатор представляет из себя некоторое сопротивление ,

Которое называется входным и может быть определено из первого уравнения системы (2.6).

Первые два слагаемые в (2.9) определяются параметрами первичной стороны трансформатора. Третье слагаемое зависит от взаимной индуктивности и параметров вторичной стороны, включая нагрузку , то есть определяет некоторое сопротивление, вносимое из вторичной стороны в первичную за счет индуктивной связи. При отсутствии последней ( вносимое сопротивление равно нулю.

Предположим, что ферромагнитный сердечник трансформатора имеет сечение S , среднюю длину и абсолютную магнитную проницаемость , где магнитная постоянная ; - относительная магнитная проницаемость материала (безразмерная величина).

Число витков первичной и вторичной обмоток обозначим и ,кроме того примем, что потоками рассеяния можно пренебречь, то есть индуктивная связь является совершенной (). Как известно, магнитный поток в сердечнике будет пропорционален намагничивающей силе и обратно пропорционален сопротивлению магнитной цепи

То есть:

Поэтому потокосцепление первой катушки:

Где: есть индуктивность первичной катушки.

Таким образом , индуктивности пропорциональны квадрату числа витков, а их отношение:

Во многих случаях требуется , чтобы функции передачи не зависели от частоты в широком диапазоне частот.

Если пренебречь потерями в обмотках и предположить , что магнитная связь идеальная (), тогда функция передачи по напряжению (2.8) примет вид:

Трансформатор, у которого отсутствуют потери и идеальная индуктивная связь называется совершенным. Напряжения входа и выхода в таком трансформаторе связаны коэффициентом трансформации и функция передачи по напряжению является постоянной (не зависит от частоты).

Условием, при котором не будет зависеть от частоты функция преедачи по току, как следует из (2.7) является (а следовательно и ). При этом:

Совершенный трансформатор , у которого бесконечно большие значения индуктивностей, называется идеальным. Отношения токов и напряжения в таком трансформаторе определяется выражениями (2.11) и (2.12), т.е.

Его схемное обозначение на рисунке 2.6

Рис.2.6. Идеальный трансформатор.

Полная мощность первичной цепи трансформатора равна полной мощности вторичной цепи:

Входное сопротивление идеального трансформатора, нагруженного на сопротивление :

Таким образом, идеальный трансформатор преобразует уровни напряжений и тока в n раз согласно (2.11) и (2.12) при неизменной мощности, а также изменяет модуль сопротивления нагрузки в раз.

Приблизиться к условиям, при которых трансформатор является идеальным, можно применяя большое число витков и сердечник с высокой магнитной проницаемостью.