22

1. Матрицы и действия с матрицами

Матрицейразмераназывается прямоугольная таблица чисел, содержащаястрок истолбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называютсяэлементами матрицы¹и обозначаются строчными буквами с двойным индексом:, где первый индекс () соответствует номеру строки, а второй индекс () – номеру столбца. Матрица размераможет быть записана в одном из видов

либо

При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись .

Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными.Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называетсятреугольной.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца –матрицей-столбцом.Обе такие матрицы называют такжевектором.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевойматрицей и обозначается.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядкомматрицы.

Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональнойматрицей

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичнойматрицей и обозначается.

Матрица, полученная из исходной перестановкой строк со столбцами, называется транспонированнойматрицей и обозначается:

.

Заметим, что .

В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия.

1. Сравнение матриц.Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:

.

2. Умножение матрицы на число.Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:

.

3. Сложение (вычитание) матриц.Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:

.

При сложении и умножении матриц на чило действуют все законы сложения и умножения.

4. Умножение матриц.Матрицы перемножаются по правилу строки на столбец:

Рис.1

А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведений: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты складываются. То есть, чтобы получить элемент матрицынадо каждый элемент−ой строки матрицыумножить на соответствующий по порядку элемент−го столбца и результаты сложить.

При записи знак умножения может быть опущен:.

Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную матрицу получаем квадратную матрицу.

Умножение матриц не коммутативно, т.е. в общем случае .

Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица . Для матриц выполнены ассоциативный и дистрибутивный законы умножения, если не нарушается порядок множителей и умножение возможно. То есть, верны следующие свойства умножения:

Отметим также свойство умножения для транспонированных матриц

.

5. Возведение в степень.Для квадратных матриц определено возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом, очевидно, справедлив коммутативный закон умножения

.

►Пример 1.

а) Даны матрицы ,.

Выполнить указанные действия:

1) указать размер матрицы ,

2) записать элемент матрицы ,

3) найти: а) транспонированную матрицу, б) матрицу,

4) вычислить ,

5) вычислить (- единичная матрица).

Решение.

1) Матрица имеет 3 строки и четыре столбца, следовательно, ее размер.

2) Элементнаходится во второй строке и первом столбце матрицы:.

3) Транспонированная матрица получается из исходной, при замене строк на столбцы, а для записи матрицы необходимо все элементы матрицыумножить на три:

а) , б).

4) Матрицы иимеют одинаковый размер, следовательно, их можно складывать

.

5) Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы. Следовательно, возможно умножение, При этом получаем матрицу, имеющую три строки и три столбца:

Аналогично возможно и умножение , получаем матрицу.

.

Так как складывать можно только матрицы одного размера, для нахождения матрицы необходимо взять единичную матрицу второго порядка

. ◄

Упражнения.

1. Даны матрицы:

Выполнить действия:

а) , б), в), г), д).

Ответы:

а), б), в), г), д).