Понятие о варианте и инварианте цикла
При разработке циклов в последнее время все чаще используются понятия варианта и инварианта цикла. Основным из этих двух понятий является понятие инварианта цикла. Понятие варианта цикла используется реже: его применяют совместно с инвариантом цикла.
Вариант цикла — неотрицательное выражение, результат вычисления которого уменьшается на каждом шаге цикла.
Инвариант цикла — это логическое высказывание (утверждение), истинность которого должна быть обеспечена в следующих точках цикла:
вначале работы цикла (после выполнения его инициализации),
в конце каждого шага (перед очередным тестированием условия, проверяемого в цикле).
Выполнение этих двух условий должно гарантировать выполнение инварианта после окончания работы цикла.
Вариант и инвариант цикла принято оформлять в виде комментариев в тексте программы, предшествующем циклу.
Назначение рассматриваемых понятий является:
Помочь программисту организовать цикл.
Повысить читабельность программного кода.
Помочь программисту убедиться в правильности работы цикла.
Пример 1. Вычисление суммы квадратов натуральных чисел.
Постановка задачи. Вычислить сумму квадратов первыхnнапуральных чисел.
Алгоритм решения этой задачи приведен в п. 1. 26первой части пособия. Напишем вариант и инвариант цикла для программы, выполняющей необходимые вычисления.
Вариантом цикла в рассматриваемом примере может служить выражение n – i + 1, а инвариантом цикла — утверждение: просуммированы квадраты всех натуральных чисел из диапазона[1, i - 1]. На каждом шаге цикла его вариант цикла численно равен количеству чисел, квадраты которых следует суммировать, а инвариант содержит оценку диапазона чисел, для которых такое суммирование уже выполнено.
Напишем программу, снабдив ее комментариями, содержащими вариант и инвариант цикла. Кроме того, в программе помощью комментариев будут отмечены точки, в которых должна иметь место истинность инварианта цикла. При использовании для организации цикла инструкции forтакие точки должны находиться внутри заголовка цикла. Первая из точек должна находиться после выражения инициализации, а вторая после выражения, определяющего продвижение цикла.
#include<stdio.h> int main(void) { int i, n, s; printf(“n=”); scanf(“%d”, &n); /* Вариант: n – i + 1 */ /* Инвариант цикла: Просуммированы все числа из диапазона [1, i - 1] */
s = 0; for(i = 1 /* Инвариант истинен */; i <= n; i++ /* Инвариант истинен */
)
s += i * i; /* Инвариант ложен */ /* Можно сделать вывод, что инвариант здесь истинен */ printf(“Сумма квадратов =%d”, s); getch();
return0; }
Проанализируем работу цикла, воспользовавшись понятиями варианта и инварианта. Для определенности будем полагать, что переменная “n” после выполнения операции ввода имеет значение, равное 3.
После инициализации цикла искомая сумма, представленная переменной s, обнуляется, а счетчик цикла (переменнаяi) оказывается равным 1. Выбранные инициализирующие значения переменныхiиsобеспечивают истинность инварианта после выполнения выражения инициализации (i = 1) инструкцииfor. Действительно, дляi == 1диапазон чисел ([1, i - 1]), квадраты которых просуммированы, оказывается пустым. То положение, что суммаsпустого диапазона равна нулю, обеспечивает истинность инварианта цикла в рассматриваемой точке цикла. Вариант цикла(n – i + 1) в этой точке оказывается равным 3.
На каждом шаге цикла его вариант уменьшается на 1 и на 1 увеличивается диапазон просуммированных квадратов чисел. После окончания работы цикла параметр цикла i == n + 1. С учетом этого вариант цикла в этой точке будет равен нулю, истинность инварианта цикла будет свидетельствовать о том, что все квадраты чисел из заданного по условию задачи диапазона [1, 3] просуммированы.
Предположим теперь, что при программировании цикла была допущена ошибка, состоящая в том, что в заголовке цикла (инструкции for) в качестве логического выражения вместо правильного отношенияi<=nбыло написаноi<n. В этом случае после окончания работы цикла параметр цикла окажется равнымn. С учетом этого вариант цикла в этой точке будет равен единице, истинность инварианта цикла будет свидетельствовать о том, что просуммированы квадраты чисел только из диапазона [1, 2]. Это позволяет сделать вывод о том, что квадрат одного числа остался не учтенным. Это позволит устранить допущенную ошибку в организации цикла.
Пример 2.Возведение в целочисленную степень.
Постановка
задачи.Пусть требуется вычислить
значение выражения
,
не прибегая к использованию стандартной
функцииpow().
Будем считать основание степениaвещественным, а показательn– неотрицательным целым числом.
Рассмотрим три различных варианта рещения рассматриваемой задачи. Каждый из вариантов решения будет иметь свой инвариант цикла. Дадим вначале общую характеристику предлагаемых решений.
В двух первых способах решение строится с использованием арифметического цикла, а в третьем способе для этих целей используется итерационный цикл.
Первый вариант решения.Наиболее очевидное решение может быть получено с учетом следующего соотношения
В этом случае возведение в степень может быть заменено многократным умножением на основание степени. С этой целью введем переменную p, с помощью которой будем накапливать произведение. Ниже приводится фрагмент программы, выполняющей необходимые вычисления. После завершения цикла переменнаяpдолжна содержать искомый результат вычислений.
//
Инвариант p ==
p = 1.0; for(int i = 0 /* Инв */; i != n; i++ /* Инв */)
p *= a;
Второй вариант
решения. Для нахождения искомого
результата воспользуемся следующей
идеей. Заменим вычисление исходного
выражения
многократным
(циклическим) вычислением выраженияp*
.
В цикле необходимо уменьшать значение
показателяkна 1 и
увеличивать значение множителяp.
Для обеспечения корректности такой
замены достаточно при организации цикла
потребовать выполнения следующего
инварианта цикла:p*
==
.
Цикл должен закончить свою работу в
момент, когда переменнаяkстанет равной нулю. Тогда переменнаяpбудет содержать искомый результат
вычислений. Ниже приводится фрагмент
программы, реализующий вычисление
//
Инвариант p * 
== 
, p – вычисленная часть
степени
p = 1.0;
int
k = n;
//
Инв.
while(k
!= 0)
{
p *= a; k--; // Инв. }
Третий вариант решения.
//
Инвариант p * b
== 
p = 1.0;
int
k = n;
double b = a;
while(k != 0)
{
if(k
% 2 == 1)
{
p *= b; k--; }else { b *= b; k /= 2; } }