Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в том, что положение в пространстве объекта проецирования не изменяется, а одну из плоскостей проекций заменяют на новую, располагают ее перпендикулярно ко второй плоскости проекций, но в более выгодной позиции для решения задачи (рис.92).

Рис.92.

На рис.93 изображены проекции точки А в системе π₁ ∕π₂ . Для замены плоскости π₂ на π₂₁вводим новую ось Х₁ и изображаем точку в системе π₁ ∕π_21. Положение оси Х₁ в данном примере выбрано произвольно, так как не решается конкретная задача. Расстояние новой проекции точки от новой оси равно расстоянию заменяемой проекции от заменяемой оси. В нашем примере A''₁A_x1=A''A_x=z_A. Линии проекционной связи всегда перпендикулярны осям.

Рис.93

Заменой одной плоскости пользуются при определении истинной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскостям проекций при преобразовании плоскости общего положения в проецирующую.

На рис.94 показано определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона его к плоскости π₁. Отрезок АВ преобразуем во фронталь. Новую ось Х₁ проводим параллельно горизонтальной проекции отрезка А'B'. Новая фронтальная проекция A^IVB^IV₁ и есть истинная величина отрезка. Угол α - угол наклона отрезка АВ к плоскости π₁.

При решении задач на определение истинной величины плоской фигуры нужно применять две вспомогательные плоскости, разберем это на определении истинной величины треугольника ABC общего положения (рис.95).

Первая замена: в треугольнике ABC проводим горизонталь h и делаем ее проецирующей. Ось x_1┴h’. На новую плоскость π4 треугольник проецируется в виде отрезка прямой C^IVA^IVB^IV. При первой замене плоскости мы преобразовали плоскость треугольника во фронтально-проецирующую.

Вторая замена: новую ось Х₂ проводим || собирательному фронтальному следу C^IVA^IVB^IV. Строим новую горизонтальную проекцию ΔАВС - в системе плоскостей π₄∕ π₅

Истинная величина фигуры по площади всегда больше любой из ее проекций. В этом методе всегда нужно обозначать оси проекций и положение самих плоскостей.

Рис.94 Рис.95

Ри

В этом методе всегда нужно обозначать оси проекций и положение самих плоскостей.

Рис.96

Метрические задачи с применением методов преобразования проекций

Эти задачи можно классифицировать на определение расстояний, определение углов, определение истинных величин плоских фигур. Часть задач мы уже рассмотрели при изучении методов преобразования.

Пример 1. Определить расстояния от точки А до прямой l (рис.97).

Рис.97

Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

1. На эпюре проекции перпендикуляра к прямой можно построить, если прямая параллельна плоскости проекций. Поэтому сначала строим дополнительную ортогональную проекцию прямой и точки А на плоскости π₄, параллельной прямой _l и перпендикулярной к π₁. При этом ось Х₁ параллельна _l′.

Для построения дополнительной проекции прямой _l на ней отмечены точки 1 и 2 (рис.98).

2. Проводим дополнительную проекцию А^IVK^IV перпендикуляра (А^IVK^IV_l^IV), а затем строим горизонтальную проекцию А′К′. Построена также и фронтальная А′′К′′ проекция перпендикуляра АК.

По двум данным проекциям отрезка АК (А′К′ и А^IVK^IV) находим его длину, построив дополнительную ортогональную проекцию отрезка на плоскости π₅, параллельной АК и перпендикулярной к π₄ (рис. 99).

Аналогично можно определить расстояние между двумя параллельными прямыми.

Пример 2. Определить расстояние от точки А до плоскости α(ΔВСD) (рис.100).

Рис.98 Рис.99

Рис.100

Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если плоскость является проецирующей, то перпендикуляр к ней параллелен плоскости проекций, и длина проекции его отрезка на этой плоскости проекций равна искомому расстоянию. Исходя из этого построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α и точки А на плоскости π4, перпендикулярной к плоскости α и к плоскости π1.

1. Плоскость π₄ будет перпендикулярна к плоскости α, если она перпендикулярна к горизонтали этой плоскости. При этом ось х₁ перпендикулярна к горизонтальной проекции h′ горизонтали h плоскости α. Дополнительной ортогональной проекцией плоскости α на плоскость π₄ является прямая B^IVC^IVD^IV (рис.101).

Рис.101

Из точки А^IV опускаем перпендикуляр А^IVK^IV на прямую B^IVC^IVD^IV. Длина отрезка А^IVK^IV равна расстоянию от точки А до плоскости α(ΔBCD) (рис.102). Построим проекции отрезка АК. Горизонтальная проекция А′К′ параллельна оси х₁, так как отрезок АК параллелен плоскости π₄, и перпендикулярна к горизонтальной проекции h′ горизонтали h плоскости α. Фронтальную проекцию К′′ точки К строим по двум ее проекциям К′ и K^IV.

На основании решения рассмотренной задачи можно определить расстояние между параллельными прямой и плоскостью, между двумя параллельными плоскостями.

Рис.102

Пример3. Найти расстояние между параллельными плоскостями.

Решение задачи на определение расстояния между двумя плоскостями сводится к построению перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую.

Рис.103

Преобразуем плоскости общего положения α и γ в плоскости проецирующие. В нашем примере во фронтально-проецирующие. Новую ось X₁ проводим _┴горизонтальным следам h_0α и h_0γ. Для построения новых фронтальных следов используем произвольную точку M на одном из фронтальных следов. На плоскости π4 опускаем перпендикуляр. Это и будет истинная величина расстояния между плоскостями α и γ. Строим горизонтальную и фронтальную проекцию перпендикуляра, зная, что горизонтальная проекция перпендикуляра M’N ’перпендикулярна горизонтальному следу плоскости, а фронтальная M”N”- фронтальному следу плоскости.