Лекция 3

1.5. Расчет сложных цепей постоянного тока с помощью законов Кирхгофа

Задачей расчета электрических цепей является нахождение токов, напряжений и мощностей всех или отдельных их участков по заданным значениям э. д. с. и параметрам элементов цепи. Для цепей постоянного тока такими параметрами являются значения входящих в цепь сопротивлений (или проводимостей).

Р ассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов в ветвях цепи, схема которой представлена на рис. 1.13, когда заданными являются значения и направления всех э. д. с. источников, а также сопротивления резисторов. Так как число неизвестных токов равно числу ветвей схемы, то необходимо составить столько же независимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. При составлении уравнений учитывают направления токов в ветвях, а так как токи неизвестны, то предварительно произвольно выбирают эти направления. Составляя уравнения по первому закону Кирхгофа, следует токи, приходящие к узлу и уходящие от него, брать с разными знаками. В нашем случае считаем, что токи, приходящие к узлам, имеют положительный знак, а уходящие из узлов — отрицательный знак. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа э. д. с. и токи, направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, обычно берут с положительным знаком, Остальные — с отрицательным. В схеме рис. 1.13 содержится шесть ветвей, поэтому необходимо составить шесть независимых уравнений. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа и запишем их для узлов a, b, с:

I₁ - I₂ – I₅ = 0

I₂ - I₃ - I₆ = 0 (1.27)

I₆ + I₃ - I₄ =0

Если составить уравнение для узла d, то это уравнение не будет

независимым, так как оно может быть получено путем суммирования уравнений (1.27). Следовательно, уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для цепи с q узлами, будут независимыми лишь для q-1 узлов. Итак, максимальное число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше, чем число узлов схемы.

Недостающие уравнения (в нашем случае — три) составляют по второму закону Кирхгофа для независимых контуров (вследствие чего уравнения будут также независимыми). Контуры считаются независимыми, если в каждом из них имеется хотя бы одна ветвь, не принадлежащая другим контурам. Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа для схемы рис. 1.21, выберем три независимых контура I, II, III и условимся направлением их обхода считать направление по часовой стрелке. Согласно второму закону Кирхгофа, для выбранных контуров

(1.28)

Решая совместно уравнения (1.27) и (1.28) известными из алгебры способами, находим все неизвестные токи ветвей. Если в результате решения уравнений значение какого-либо тока окажется отрицательным, то это указывает на то, что действительное направление тока противоположно произвольно выбранному. После определения токов в ветвях вычисляют напряжения по закону Ома и мощности по закону Джоуля — Ленца. Рассмотренный метод нагляден и позволяет сразу же определять действительные значения токов в ветвях и напряжений на их зажимах. Однако этот метод расчета для сложных цепей оказывается трудоемким, так как требуется решать системы, состоящие из большого числа уравнений.