Введение

Актуальность темы. Среди геометрических преобразований евклидовой плоскости и трехмерного евклидова пространства выделяется своими особыми свойствами инверсия относительно окружности и сферы. Инверсия относительно окружности в отличие от движений и подобий является примером нелинейного преобразования, так как в этом преобразовании прямые могут переходить в окружности. Аналогичными свойствами обладает и инверсия относительно сферы. В математической литературе имеется достаточно много сведений об инверсии относительно окружности; имеются некоторые сведения и об инверсии относительно сферы [3], [14]. Инверсия относительно сферы подробно рассматривалась в дипломной работе Снигиревой В.А. [16], защищенной в 2004 году. Автором были изучены свойства инверсии относительно сферы, рассмотрена связь инверсии со стереографической проекцией сферы и с гомотетией пространства и применение инверсии к решению задач. Анализ литературы по математике показал, что в ней имеется крайне мало сведений еще об одном виде инверсии – гиперболической инверсии на евклидовой плоскости и совсем отсутствуют сведения о гиперболической инверсии в трехмерном евклидовом пространстве. Последние два преобразования обладают не менее интересными свойствами. Отсюда вытекает актуальность темы дипломной работы.

Цель работы: изучить гиперболическую инверсию на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.

Задачи, решаемые в работе:

1. Дать определение и вывести аналитическое выражение гиперболической инверсии на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.

2. Выявить и доказать основные свойства гиперболической инверсии на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.

3. Найти образы некоторых кривых и областей в гиперболической инверсии на евклидовой плоскости и образы некоторых поверхностей в гиперболической инверсии в трехмерном евклидовом пространстве.

Объект исследования: гиперболическая инверсия на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.

Предмет исследования: свойства гиперболической инверсии на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.

Методы исследования: координатный метод, аналогия, сравнение, систематизация, обобщение.

Значимость результатов, полученных в работе, состоит в том, что:

1. На основе определения выведено аналитическое выражение гиперболической инверсии на евклидовой плоскости.

2. Сформулировано определение гиперболической инверсии в трехмерном евклидовом пространстве и выведено его аналитическое выражение.

3. Доказано более 20 свойств гиперболической инверсии на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве, в частности, исследован вопрос об инвариантных точках, инвариантных и неподвижных прямых и плоскостях.

4. Рассмотрен вопрос об инвариантных областях в гиперболической инверсии на евклидовой плоскости.

5. Самостоятельно составлены и решены задачи на нахождение образов различных линий в гиперболической инверсии на евклидовой плоскости и поверхностей в гиперболической инверсии в трехмерном евклидовом пространстве.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы при изучении раздела «Геометрические преобразования плоскости и пространства», на спецкурсах и спецсеминарах по геометрии в педагогическом институте.

Апробация работы. По результатам исследования были сделаны сообщения на Научной сессии студентов Глазовского пединститута в апреле 2008 года и на научно-методическом семинаре кафедры алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике в мае 2008 года.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, оглавления и списка литературы, включающего 17 наименований. Полный объем работы – 35 страниц печатного текста. Работа содержит 24 чертежа.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена изучению гиперболической инверсии на евклидовой плоскости. В § 1.1 вводится определение гиперболической инверсии на евклидовой плоскости, выводится ее аналитическое выражение. В § 1.2 доказываются основные свойства гиперболической инверсии на евклидовой плоскости. В § 1.3 рассматривается решение задач на нахождение образов кривых в гиперболической инверсии на евклидовой плоскости. В § 1.4 исследуется отображение областей в гиперболической инверсии на евклидовой плоскости.

Вторая глава посвящена изучению гиперболической инверсии в трехмерном евклидовом пространстве. В § 2.1 дается определение и выводится аналитическое выражение гиперболической инверсии в трехмерном евклидовом пространстве. В § 2.2 рассматривается доказательство основных свойств гиперболической инверсии в трехмерном евклидовом пространстве.