Модели временных рядов

Модели временных рядов представляют собой модели зависимости результативного признака от времени.

К ним относятся

• модели кривых роста (трендовые модели),

• сезонные модели,

• адаптивные модели,

• модели авторегрессии и скользящего среднего.

С помощью таких моделей можно решать задачи прогнозирования объема продаж, спроса на продукцию, краткосрочного прогноза процентных ставок и др.

Регрессионные модели с одним уравнением

В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции f(X₁, X₂, X₃, … X_k), где - независимые (объясняющие) переменные, или факторы; k – количество факторов. В качестве зависимой переменной может выступать практически любой показатель, характеризующий, например, деятельность предприятия или курс ценной бумаги. В зависимости от вида функции f() модели делятся на линейные и нелинейные функции. В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии).

Примеры задач, решаемых с помощью регрессионных моделей.

• Исследование зависимости заработной платы (Y) от возраста (X₁), уровня образования (X₂), пола (X₃), стажа работы (X₄) ().

• Прогноз и планирование выпускаемой продукции по факторам производства (производственная функция Кобба – Дугласа означает, что объем выпуска продукции (Y), является функцией количества капитала (K) и количества (L) труда).

• Прогноз объемов потребления продукции или услуг определенного вида (кривая Энгеля , где Y -удельная величина спроса, Х - среднедушевой доход).

Пример Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные).

• Построена регрессионная модель зависимости заработной платы работника (Y) от возраста (Х) с использованием фиктивной переменной по фактору пол по 20 работникам одного предприятия

• 

• Из полученного уравнения регрессии следует, что при одном и том же возрасте заработная плата у работников мужчин на 17,27$ в месяц выше, чем у женщин.

• Из модели, включающей фиктивную переменную можно получить частные уравнения регрессии для работников мужчин (z=1) и женщин (z=0):

Рис. 3.3.22. Графики частных уравнений регрессии.

Системы эконометрических уравнений

Сложные социально-экономические явления иногда невозможно адекватно описать с помощью только одного соотношения (уравнения). Модели с одним уравнением не отражают взаимосвязей между объясняющими переменными или их связей с другими переменными. Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

Выделяют следующие три вида эконометрических систем.

А) Системы независимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная y_i (i=1,…,n) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных x_j (j=1,…,m):

y₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + …+a_1m x_m + ₁

y₂ = a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …+a_2m x_m + ₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y_n = a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + …+a_nm x_m + _n

Здесь и в дальнейшем отдельные коэффициенты при переменных могут быть равны нулю.

Каждое уравнение этой системы можно рассматривать самостоятельно как уравнение регрессии. В него может быть введен свободный член, и коэффициенты регрессии могут быть найдены методом наименьших квадратов (МНК).

Б) Системы рекурсивных уравнений, в которых зависимые переменные y_i (i=2,…,n) представлены как функции независимых переменных x_j (j=1,…,m) и определенных ранее зависимых переменных y₁ , y₂ ,…, y_i-1:

y₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + …+a_1m x_m + ₁

y₂ = b₂₁ y₁ + a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …+a_2m x_m + ₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y_n = b_n1 y₁ + b_n2 y₂ +,…,+b_nn-1 y_n-1 +a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + …+a_nm x_m + _n

Пример.

P=a₀+ a₃W +u₁;

P'=b₀+b₁P b₄T +u₂;

Q=c₀+c₁P+c₂P'+c₃W +u₃.

P - цена на хлопок,

P'- цена на хлопковые продукты,

Q - количество проданных хлопковых товаров

W - индекс погодных условий.

Т - действующие налоговые тарифы на хлопковые товары. Цена на хлопок определяется погодой, цена на хлопковые товары определяется ценой на хлопок и налогами и т.д.

В) Системы взаимозависимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная y_i (i=1,…,n) представлена как функция остальных зависимых переменных y_k (k не равно i) и независимых переменных x_i (j=1,…,m) :

y₁= b₁₂ y₂ + b₁₃ y₃ + … + b_1n y_n +a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + …+a_1m x_m + _n

y₂= b₂₁ y₁ + b₂₃ y₃ + … + b_2n y_n +a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …+a_2m x_m + _n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y_n = b_n1 y₁ + b_n2 y₂ + … + b_nn-1 y_n-1 +a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + …+a_nm x_m + _n

Эта система наиболее распространенная, она получила также название системы совместных, одновременных уравнений. Ее также называют структурной формой модели.. В отличие от предыдущих двух систем для нахождения параметров этой модели b_ik и a_nl (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других.

Пример. Рассмотрим макроэкономическую модель из 3-х уравнений:

C_t= a₀+ a₂I_t+ a₃Y_t+ a₄C_t-1+ a₅R_t+ u_1t

I_t= b₀+ b₁M_t+ b₃Y_t+ b₅R_t+ u_2t

Y_t=C_t+I_t+G_t

где С_t - совокупное потребление.

I_t - полные капитальные вложения.

Y -ВНП.

M_t - объем денежного обращения.

R_t - краткосрочная процентная ставка.

G - правительственные расходы.

Здесь эндогенные переменные C, I, Y, а объясняющие C_t-1, M, R_t, G.

Модель одновременная, несмотря на факт, что совокупное потребление С не является аргументом в уравнении для инвестиций I. Одновременность возникает из-за того, что оценка С и I в первых двух уравнениях невозможна без знания ВНП -Y, который является функцией и С и I. Решение может быть найдено только одновременным решением трех уравнений.

Последнее уравнение - тождество, но его можно рассматривать как обычное уравнение со всеми коэффициентами равными 1.

Для оценивания систем одновременных уравнений используются специальные методы [Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов М.: ЮНИТИ –ДАНА, 2002],[Колемаев В.А. Эконометрика: Учебник. – ИНФРА-М, 2004].

• Основные этапы построения эконометрических моделей

Любая эконометрическая модель служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных. Поэтому на первом (постановочном) этапе построения такой модели формулируются конечные цели моделирования, определяется набор участвующих в модели факторов и показателей, т.е. устанавливается, какие из переменных рассматриваются как эндогенные, а какие – как экзогенные и лаговые эндогенные. Так, пусть Y={y₁, y₂, …, y_n} – множество эндогенных переменных, а X={X₁, X₂, …, X_m} (где X_i ={x_1i,x_2i, …, x_ni}, а индекс i = ) – множество экзогенных переменных.

На втором этапе (априорном) осуществляется предварительный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации, в частности, относящейся к природе исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих.

Третий этап (параметризация) – это собственно моделирование, т. е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы, входящих в нее связей. Если соответствующая система уравнений разрешена относительно эндогенных переменных, то эконометрическая модель в общем случае записывается в виде Y= f(X), и проблема заключается в определении способов использования множества результатов наблюдений для уточнения коэффициентов функции f(X)¹.

Четвертый этап (информационный) заключается в сборе необходимой статистической информации и предварительном анализе данных, т.е. регистрируются значения участвующих в модели факторов и показателей на различных временных или пространственных интервалах функционирования изучаемого явления.

Пятый этап (идентификация модели) посвящен статистическому анализу модели и в первую очередь статистической оценке неизвестных параметров модели. В зависимости от выбираемого критерия и численного метода оценки получаются разные результаты. Наибольшее распространение – из-за простоты реализации и надежности результатов – получил метод наименьших квадратов.

Шестой этап (верификация модели) предполагает сопоставление реальных и модельных данных, проверку адекватности модели, оценку точности модельных данных. Если модель адекватна и имеет приемлемую точность, то на ее основе строится прогноз – точечный и интервальный.

Последние три этапа (4-й, 5-й и 6-й) сопровождаются крайне трудоемкой процедурой калибровки модели. Она заключается в переборе большого числа различных вариантов «нормативные ограничения² — значения отдельных переменных» (что связано с многократными «вычислительными прогонами» модели) с целью получения совместной, непротиворечивой и идентифицируемой модели.

Замечание. Если математическую модель экономического явления или процесса сформулировать в общем, виде без выполнения четвертого и пятого этапов, то ее нельзя считать эконометрической! Суть собственно эконометрической модели заключается в том, что она описывает функционирование именно конкретной экономической системы, а не системы вообще. Значит, она предусматривает обязательную реализацию четвертого и пятого, а, следовательно, и шестого этапов моделирования.

1 Вообще говоря, система уравнений не обязательно должна быть разрешена аналитически. Модель может представлять собой множество операций, которые позволяют перейти от экзогенных к эндогенным переменным.

2 Нормативные ограничения – ограничения, определенные содержательным смыслом анализируемых свя­зей.