16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса
Определение 1. Векторным (линейным) пространствомназывается множествоn-мерных векторовс действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам (аксиомам).
Определение 2. Линейное пространство называетсяn-мерным, если в нем существуетnлинейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми
Определение 3. Совокупностьnлинейно независимых векторовn-мерного пространства называетсябазисом.
Теорема 1.Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса
x = x1 e1+ x2 e2+ ... +xn en.
Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации векторов базиса этого пространства называется разложением данного вектора по базису.
17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора
Определение 1. Скалярным произведением двух векторовx = (x1, x2, … xn)и y = (y1, y2, … yn)n-мерного пространства называется число
(x, y) = x1y1 + x2y2 + … + xnyn .
Определение 2. Евклидовым пространствомназывается линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).
Определение 3. Длиной(нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата
.
17. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве
Определение 1.Два вектора называютсяортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение 2.Базис линейного пространстваe1,e2, ...,enназываетсяортогональным, если (ei, ej)=0 при всехi≠j.
Определение 3.Базис линейного пространстваe1,e2, ...,enназываетсяортонормированным, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, то есть (ei, ej)=0 при всехi≠jиei=1 приi = 1, 2, …, n.
Теорема 1.Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис(без доказательства).
Тема 4: Линейные операторы
19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов
Определение 1. Если задан закон (правило), по которому каждому векторуx = (x1, x2, … xn)пространстваRnставится в соответствии единственный вектор y = (y1, y2, … ym)пространстваRm, то говорят, что заданоператор(преобразование, отображение), действующий изRnвRmи записываютy = A(x).
Определение 2. Оператор называетсялинейным, если для любых векторовxиyпространстваRnи любого числавыполняются соотношения:
1) A(x+y) = A(x) + A(y)– свойство аддитивности оператора;
2) A(x) = A(x)– свойство однородности оператора.
Определение 3.Векторy = A(x)называетсяобразом вектораx, а сам векторx-прообразом вектораy.
20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы
Рассмотрим далее отображение линейного пространства Rnв себя. Зафиксируем базисe1,e2, ... ,enэтого пространства.
Связь между вектором xи его образомA(x) можно выразить в матричной форме уравнениемY= AX, гдеA–матрица линейного оператораAв заданном базисе,X = (x1, x2, … xn),Y = (y1, y2, … yn)- матрицы-столбцы из координат векторовxиy.
Теорема 1.Каждому линейному оператору линейного пространстваRnв себясоответствует матрица в данном базисе.Обратно, всякой матрицеn-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.
Доказательство основано на теореме о единственности разложения вектора линейного пространства по базису и свойствах аддитивности и однородности линейного оператора.
Пусть x=x1 e1+x2e2+ ...+xn en. Тогда A(x) = x1 A(e1) + x2 A(e2) + ... +xn A(en) = =x1(a11 e1+a21 e2+…+an1 en)+ x2(a12 e1+a22 e2+…+an2 en)+ ... +xn(a1n e1+a2n e2+…+ann en) =
= (a11 x1+a12 x2 +…+a1n xn) e1+ (a21 x1+a22 x2 +…+a2n xn) e2+ (an1 x1+an2 x2 +…+ann xn) en.
С другой стороны, y=y1 e1+ y2e2+ ... + yn en.
Следовательно,
Определение 1. Ранг матрицыAназываетсярангом оператораA.
Определение 2.Суммой двух линейных операторовAиBназывается оператор(A + B), определяемый равенством(A + B)(x) = A(x) + B(x).
Определение 3.Произведением линейного оператораAна числоназывается операторA, определяемый равенствомA(x) =(A(x)).
Определение 4.Произведением двух линейных операторовAиBназывается оператор(A B), определяемый равенством(A B)(x) = A(B(x)).
Определение 5.Нулевым операторомназывается оператор, переводящий все векторы пространстваRnв нулевые векторы.
Определение 6.Тождественным операторомназывается операторE, переводящий каждый вектор в себя, то естьE(x) = x.