2. Определители 2-го и 3-го порядков(определение и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца

Определение 1. Определителем матрицы2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле .

Определение 2. Определителем матрицы 3-го порядкаA(определителем 3-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле

.

Заметим, что определитель 3-го порядка матрицы Aесть алгебраическая сумма3!=6слагаемых, каждое из которых есть произведение трех множителей, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицыА.

Определение 3. Определителем квадратной матрицыn-го порядкаA(определителем n-го порядка) называется число, которое вычисляется по формуле , гдеr(J) - число инверсий в перестановкеJиз номеров столбцов матрицы (когда номера строк записаны в порядке возрастания), а сумма берется по всем перестановкамJ.

Заметим, что определитель n-го порядка матрицыAесть алгебраическая суммаn! слагаемых, каждое из которых есть произведениеnмножителей, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицыА.

Свойства определителей

Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно больше элементов равно нулю.

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0,

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т.е. А'=A.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b₁,b₂, ...,b_nна алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числаb₁,b₂, ...,b_n.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного размера равен произведению их определителей, т.е. С=AB, гдеC=AB.

Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца

Определение 1. Минором M_ij элемента a_ijматрицыn-го порядкаAназывается определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицыAвычеркиваниемi-ой строки иj-го столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ijматрицыn-го порядкаAназывается его минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j, т.е. A_ij=(-1)^i+j  M_ij .

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

A=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in(разложение по элементамi-ой строки);

A=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj(разложение по элементамj-го столбца).