8. Решение системы n линейных уравнений с n переменными

с помощью обратной матрицы (вывод формулы X=A^-1B)

В матричной форме система nлинейных уравнений сnпеременными записывается в видеAХ=B, где,,.

Если A0, то существует обратная матрицаА^-1. Умножая слева обе части матричного равенстваAХ=Bна матрицуА^-1, получимА^-1(АХ)=А^-1В. НоА^-1(АХ)= (А^-1А)Х=ЕХ=Х.

Следовательно, решением системы n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы является матрица-столбецА^-1В.

9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана-Гаусса

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных- заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последней переменной, находятся все остальные переменные.

Пусть дана система nлинейных уравнений сnпеременными:

(1) .

Шаг 1. Предположим, чтоa₁₁0. Умножаем первое уравнение на, прибавляем его ко второму уравнению. Аналогично исключаем переменнуюx₁из остальных уравнений:

(2) .

Шаг 2. Предположим, чтоa₂₂0. Исключаем переменнуюx₂из всех уравнений, начиная с третьего.

После (n-1)-го шагаполучаем систему треугольного вида

(n) .

Переход от системы (1) к равносильной системе (n) называетсяпрямым ходом метода Гаусса.

Если , то.

Далее, если , то.

Продолжая, находим все остальные переменные. Нахождение переменных из системы (n) называетсяобратным ходом метода Гаусса.

Замечание. Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов

,

называемой расширенной матрицей системы(1)

10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений

Пусть дана система mлинейных уравнений сnпеременными:

.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

Замечание. На практике обычно производят (методом Гаусса) преобразования расширенной матрицы системы, что позволяет одновременно решить вопрос о совместности и определенности системы линейных уравнений.

11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение

Определение 1. Пустьr <n.rпеременныхx₁,x₂, ... ,x_rназываютсяосновными(базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальныеn-rпеременных называютсянеосновными(свободными).

Определение 2.Решение системыmлинейных уравнений сnпеременными, в котором всеn-rнеосновных переменных равны нулю, называетсябазисным.

Заметим, что совместная система mлинейных уравнений сnпеременными (m < n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее, гдеr m.