Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
181
Добавлен:
13.03.2015
Размер:
474.11 Кб
Скачать

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица . Для ее строк введем обозначения:e1=(a11, a12, ... , a1n),e2=(a21, a22, ... , a2n), ...,em=(am1, am2, ... , amn).

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы.

Операции умножения строки на число и сложения строк вводятся как операции проводимые поэлементно.

Определение 1. Строкаеназываетсялинейной комбинациейстрокe1,e2, ... ,es, матрицы, еслие=1e1+2 e2+ ... +s es, где1,2, ... ,s- произвольные числа.

Определение 2. Строки матрицыe1,e2, ... ,esназываютсялинейно зависимыми, если существуют такие числа1,2, ... ,sне равные нулю одновременно, что линейная комбинация1e1+2e2+ ... +sesравна нулевой строке.

Линейная зависимость всех строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных строк.

Определение 3. Строки матрицыe1,e2, ... ,esназываютсялинейно независимыми, если их линейная комбинация1e1+2e2+ ... +sesравна нулевой строке тогда и только тогда, когда все коэффициенты1,2, ... ,sравны нулю.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов,через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Тема 2: Системы линейных уравнений

6. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид) и матричная форма её записи. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений

Определение 1. Системой n линейных уравнений с n переменныминазывается система вида:

,

где aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,n) - коэффициенты при переменных;

bi(i=1,2,...,n) - свободные члены.

Запишем систему линейных уравнений в матричной форме.

Обозначим ; ;.

Имеем - матрица-столбец. Следовательно, по определению равенства матриц, систему уравнений можно записать в видеAX=B, гдеA-матрица коэффициентов при переменных,Х-матрица столбец переменных,B-матрица-столбец свободных членов.

Определение 2. Решением системы уравненийназывается такой упорядоченный набор (k1,k2, ... ,kn) чисел, при подстановке которых вместо переменныхx1,x2, ... ,xnкаждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.

Определение 3. Система уравнений называетсясовместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Определение 4. Система уравнений называетсянесовместной, если она не имеет решений.

Определение 5. Совместная система уравнений называетсяопределенной, если она имеет единственное решение.

Определение 6. Совместная система уравнений называетсянеопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение 7. Две системы уравнений называютсяравносильнымиилиэквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

7. Решение системы n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

.

Умножим первое уравнение на a22, второе уравнение на (-a12) и сложим их. Получим уравнение (a11a22-a21a12)x1=b1a22-b2a12.

Умножим первое уравнение на (-a21), второе уравнение наa11и сложим их. Получим уравнение (a11a22-a21a12)x2=a11b2-a21b1.

Заметим, что ,

,

т.е. система имеет вид .

Если 0, то система имеет единственное решение,.

Если =0, а10 или20 то система несовместная.

Если =0,1=0 и2=0 , то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Теорема Крамера. Пусть- определитель матрицыAсистемыnлинейных уравнений сnпеременными,j- определитель матрицы, полученной из матрицыAзаменойj-го столбца столбцом свободных членов (j=1,2,...,n). Тогда, если0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам

, , . . . , (формулы Крамера).