28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса

Определение 1. Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка с двумя переменными

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,

где A, B, C, D, E, F– действительные числа, причемA, BиCодновременно не равны нулю.

Определение 2. УравнениеAx² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0называетсяобщим уравнениемкривой второго порядка.

В зависимости от коэффициентов A, B, C, D, E, Fможно задать четыре типа невырожденных кривых:окружность,эллипс,гиперболуилипараболу.

Рассмотрим уравнение, в котором B=0, коэффициентыA и Cодновременно не равны нулю (A² + C²  0):

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Для задания невырожденной кривой второго порядка (оси которой параллельны координатным осям) необходимо выполнение условий:

1. если A = C, то уравнение определяетокружность;

2. если AC>0, то уравнение определяетэллипс;

3. если AC<0, то уравнение определяетгиперболу;

4. если AC=0, то уравнение определяетпараболу.

Определение 3. Окружностьюназывается геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемойцентромокружности.

Определение 4. Нормальным уравнением окружности радиусаRс центром в точке называется уравнение(x-x₀)² + (y-y₀)² = R².

В частности, уравнение окружности радиуса Rс центром в начале координат имеет видx² + y² = R²и называетсяканоническим уравнением окружности.

Определение 5. Эллипсомназывается геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точекF₁иF₂, есть величина постоянная, равная 2a, т.е. для любой точкиMэллипса выполняется соотношение:

F₁M + F₂M = 2a.

Точки F₁(c,0)иF₂(-c,0)называютсяфокусами эллипса.

Определение 6. Каноническим уравнением эллипса (в канонической системе координат) называется уравнение .

В этом случае оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат является его центром симметрии.

Вершинамиэллипса являются точкиA₁(a,0),A₂(-a,0),B₁(0,b)иB₂(0,-b).

Если параметры aиbудовлетворяют условиюa > b, то они называются соответственнобольшой и малой полуосьюэллипса.

Расстояние от начала координат до фокусов равно cи определяется соотношением .

Если параметры aиbудовлетворяют условиюa < b, то фокусы эллипса расположены на осиOyв точкахF₁(0, c)иF₂(0, -c), а .

Если центр эллипса смещен относительно начала координат в точку O(x₀,y₀), то уравнение эллипса будет иметь вид и называтьсянормальным уравнениемэллипса.

Приведение общего уравнения эллипса к нормальному видупроводитсяметодом выделения полных квадратовпо переменнымxиy.

29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена

Определение 1. Гиперболойназывается геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точекF₁иF₂, есть величина постоянная, равная 2a, т.е. для любой точкиMгиперболы выполняется соотношение:

F₁M - F₂M = 2a.

Точки F₁(c,0)иF₂(-c,0)называютсяфокусами гиперболы.

Определение 2. Каноническим уравнением гиперболы (в канонической системе координат) называется уравнение .

В этом случае оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат является его центром симметрии.

Вершинамигиперболы являются точкиA₁(a,0),A₂(-a,0), лежащие на осиOx.

Параметры aиbназываются соответственнодействительной и мнимой полуосьюгиперболы.

Расстояние от начала координат до фокусов равно cи определяется соотношением .

Прямые называютсяасимптотами гиперболы.

Уравнение вида также называетсяканоническим уравнением гиперболы.

В этом случае вершиныA₁(0,b)иA₂(0,-b), а такжефокусыF₁(0,c)иF₂(0,-c)гиперболы лежат на осиOy.

Если центр гиперболы смещен относительно начала координат в точку O(x₀,y₀), то уравнение гиперболы будет иметь вид или и называтьсянормальным уравнениемгиперболы.

Приведение общего уравнения гиперболы к нормальному видупроводитсяметодом выделения полных квадратовпо переменнымxиy.

Определение 3. Параболойназывается геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса F) и данной прямой (директрисы):

MF = MN.

Определение 4. Каноническим уравнением параболы (если вершина параболы находится в начале координат) называется уравнениеy² = 2px.

Точка называетсяфокусом параболы, а прямая - её директрисой.

При p > 0ветви параболы направлены вправо, приp < 0- влево.

Ось абсцисс является осью симметриипараболы.

Если в уравнении параболы поменять местами переменные xиy, то получим уравнение параболыx² = 2pyс вершиной в начале координат и осью симметрииOy.

При p > 0ветви параболы направлены вверх, приp < 0- вниз.

Если центр параболы смещен относительно начала координат в точку O(x₀,y₀), то уравнение параболы будет иметь вид(y-y_o)² = 2p(x-x₀)или(x-x_o)² = 2p(y-y₀)и называтьсянормальным уравнениемпараболы.

Приведение общего уравнения гиперболы к нормальному видупроводитсяметодом выделения полного квадратапо переменнойxилиy.