Тема 4. Линейные операторы

Определение. Если задан закон, по которому каждому вектору пространства Rⁿ ставится в соответствие единствен­ный вектор пространства R^m, то говорят, что задан оператор Ã (), действующий из Rⁿ в R^m, и записывают = Ã().

Оператор называется линейным, если для лю­бых векторов и пространства Rⁿ и любого числа :

Вектор = Ã() называется образом вектора , а сам вектор — прообразом вектора .

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор А ото­бражает пространство Rⁿ в себя.

Выберем в пространстве Rⁿ базис:

(1)

Тогда

(2)

С другой стороны

(3)

Матрица А = (a_ij) называется матрицей опера­тора А в базисе , а ранг r матрицы A — рангом опера­тора .

Еще в матричной форме имеет вид:

Y=АХ (4)

Операции под линейными операторами.

1) Суммой двух линейных операторов иназывается оператор, определяемый равенством:.

2) Произведением линейного оператора А на число λ называется оператор λ , определяемый равенством.

3) Произведением линейных операторов иназывается оператор, определяемый равенством:.

Нулевой оператор и тождественный оператор:

Определение: Вектор называется собственным вектором линейного оператора А, если найдется такое числоλ, что

(5)

Число λ называется собственным значением оператора (матрица А), соответствующим вектору х.

Равенство (5) можно записать в виде:

Последняя система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно:

а₁₁- λ а₁₂ … а_1n =0 (6)

а₂₁ а₂₂- λ … а_2n

……………..

а_n1 а_n2 … а_mn- λ

Этот определитель является многочленом n-й степени относительно ɻ и называется характеристическим многочленом оператора , уравнение (6)-характеристическим уравнением оператораили матрицы А.

Тогда: или, откуда а_ij≠0, если i≠j, и а_ij= λ _i, если i=j. т.о., матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

А=λ ₁ 0 … 0

0 λ ₂ … 0

………..

0 0 … λ _n

Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы базиса-собственные векторы оператора.

Тема 5. Квадратные формы. (1ч.)

Определение. Квадратичной формой L(х₁, х₂,…,х_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

L(х₁, х₂,...,х_n) = (1)

Матрица А= (а_ij), называется матрицей квадратичной формы, причем симметрическая матрица. В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

L=(2)

Где Х= х₁ - матрица-столбец переменных.

…

х_n

Пример. Заменить квадратную форму L(х_1, х_2, х₃)>4х²₁-12х₁х₂-10х₁х₃+х₂²-3х₃² в матричном виде.