Ранг матрицы.

В матрице А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка. Определители таких называются минорами k-го порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы rang A, или r(A).

Элементарные преобразование матрицы:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Пример. Найти r(А), где А =

Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. Обозначим строки матрицы.

е₁ = (а₁₁а₁₂…а_1n), е₂ = (а₂₁а₂₂…а_2n),…,e_m = (а_m1a_m2…a_mn)

Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы. ɻ

Строка е называется линейной комбинацией строк е₁,е₂,…,е_s матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа.

Е = λ₁е₁ + λ₂е₂ + … + λ_se_s (6)

Где λ_1, λ ₂,…., λ _s-любые числа.

Строки матрицы е₁,е₂,…,е_m называются линейно зависимыми, если существую такие числа λ _1, λ ₂,…, λ _m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

λ ₁е₁ + λ ₂е₂ + … + λ _mе_m = 0 (7)

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Если (7) верна в случаи, когда все λ_i равны нулю, то строки называются линейно независимыми.

Теорема (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Без доказательства.

Тема 2. Системы линейных уравнений. (1ч.)

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1jх_j + … + а_1nх_n = b₁;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2jх_j + … + а_2nх_n = b₂; (1)

a_i1х₁ + а_i2х₂ + … + a_ijх_j + … + а_inх_n = b_i;

a_m1х₁ + a_m2х₂ + … + а_mjх_j + … + a_mnх_n = b_m

где а_ij-коэффициенты при переменных, b_i-свободные числа.

(i = 1, 2, …, m) (2)

Если А = ; х =; В =

еще можно записать АХ = В (2)

Решение систем (1) называется совокупность n чисел (х₁ = k₁, х₂ = k₂, … х_n = k_n), при подстановке которых каждое уравнение системы , будем изучать верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Пусть матрица системы невырожденная, т.е. |А| ≠ 0. В этом случае существует обратная матрица

А^-1, АХ = В; А^-1АХ = А^-1В; х = А^-1В (3)

Равенство (3) позволяет изучить решение систем методом обратной матрицы.

Теорема Крамера.

Пусть -определитель матрицы системы А, а_j-определитель матрицы, получаемый из А заменой j-го столбцом свободных членов. Тогда, если ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по форме:

Х_j = (j = 1, 2, …, n) (4)

Без доказательства.

Пример: Решить систему уравнений.

Х₁- х₂ +х₃=3, а) метод обратной матрицы

2х₁+х₂+х₃=11, б) по формуле Крамера

Х₁+х₂+2х₃=8,

При решении методом Гаусса – с помощью элементарных преобразований система приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой находятся все переменные. Переход системы к равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы-обратным ходом.

Пример: Методом Гаусса решить систему.

3х₁+2х₂+4х₃= -2

5х₁-3х₂+7х₃= -3

х₁-х₂+х₃= -1

х₁ - х₂ + х₃ = -1 х₁ = х₂ - х₃ - 1= -2

х₂ + х₃ = 1 х₂ = 1 - х₃ = 0

х₃ = 1 х₃ = 1

Вопрос о разрешимости системы рассматривается в следующей теме.