Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Без доказательства.

Для совместных систем линейных уравнений верны:

1) Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система (1) имеет единственное решение.

2) Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Пусть r < n, r переменных х_1, х₂, …, х_r называются основными или базисными, если определитель матрицы иэ коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные n – r называются неосновными (или свободными).

Решение системы (1), в котором все n – r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(А) < n.

Рассмотрим процесс производства за год:

Х_i- общий объем продукции i-й отрасли.

Х_ij- объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью.

Y_i- объем конечного продукта i-й отрасли.

Х_i = +y_i (i= 1,2….n) (5)

Уравнение (5) называется соотношениями баланса. Введем коэффициенты прямых затрат:

А_ij = (6)

Показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство продукции j-й отрасли.

Х_ij = а_ijх_j (7)

Тогда модель межотраслевого баланса называется линейной. (5) примут вид:

(8)

Х=АХ + Y (9)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

(Е-А)Х = Y; Х = (Е-А)^-1Y – модель Леонтьева

Тема 3. Векторные пространства. (3+1ч)

Определение. n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х (х₁,…,х_n)

Два n – мерных вектора равны только тогда, когда равны их соответствующие компоненты.

Вектором называется направленный отрезок АВ. Длиной │АВ│ вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ.

Вектора называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны. Обозначается О = АА – нулевой вектор.

Произведением вектора а на числоλ называется вектор b = λа, имеющий длину

│b│= │λ│а│, направление которого совпадает с направление вектора а, если λ >0, и противоположно ему, если λ <0.

Противоположным вектором называется произведение на (-1).

Сумма двух векторов находится по правилам треугольника и параллелограмма.

Правило треугольника Правило параллелограмма

Разностью двух векторов и назы­вается сумма вектора и вектора .

Координатами вектора называются координаты его конечной точки.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(1)

(2)

(2а)

(3)

Суммой двух векторов размерности n называется вектор , компоненты которого равны сумме соответствую­щих компонент слагаемых векторов.

Произведением вектора х на число называет­ся вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора .

Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам:

1. +=+ — коммутативное свойство;

2. (+)+=+(+) — ассоциативное свойство;

3. — ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4. — дистрибутивное относительно суммы векторов свойство;

5. — дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6. Существует ( нулевой вектор =(0,0,...,0) такой, что ;

7. Для любого вектора существует ( противоположный вектор (такой, что ;

8. .

Определение. Множество векторов с действительными компо­нентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1) – 8), называется векторным пространством.

Если под х, у, z рассматриваются векторы любой природы то соответствующее множество элементов называется линей­ным пространством.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

(4)

Определение. Векторы векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно 0, что

(5)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Определение. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Теорема. Каждый вектор х линейного пространства R можно представить

и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Док-во:

(6)

Числа - координаты вектора х отно­сительно этого базиса.

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый и новый .

(7)

Переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода

.

Пусть и относительно нового базиса.

(8)

Подставив из (7), получим

(9)

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число

(10)

Скалярное произведение имеет свойства:

1. (,) = (,) — коммутативное свойство;

2. (,+) = (,)+(,) — дистрибутивное свойство;

3. (,)= (,);

4. ()>0.

Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам 1) – 4), называ­ется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называ­ется корень квадратный из его скалярного квадрата:

(11)

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы n-мерного евклидова пространства обра­зуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортого­нальны и норма каждого из них равна единице.