Линейная алгебра (БИ, БЭ)

Направление 08100.62 «Экономика»

Направление 080500.62 «Бизнес-информатика»

Тема1. Матрицы и определители (4ч)

Матрицей - размер mхn называется прямоугольная таблица чисел содержащие m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие матрицу называется элементами матрицы. А,В,С,..- обозначение матриц и a_ij-элемент матрицы.

А = (1)

Две матрицы А и В одного размера называется равными, если они совпадают по элементам. Матрица состоящие из одной стоки называется матрицей – строкой, из одного столбца матрицей – столбцом. Матрица называется квадратной если число ее строк равно числу столбцов. Элементы а_ij образуют главную диагональ

Е = - единичная матрица

Операции над матрицами.

1) Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А и число ɻ получается матрица В=ɻА, элементы которой в_ij =ɻа_ij.

2) Сложение матрицы. Сумма двух матриц А и В одинаково размера получается матрица С=А+В, элементы которой _сij=а_ij+в_ij.

3) Умножение матрицы. Умножение матрица А на матрицу В возможно, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример:А·В =

АВ ≠ ВА - остальные свойства чисел верны и для матриц.

4) Транспонирование матрицы – переход от А к А^\, которые строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Определители.

Определитель матрицы первого порядка А = (а₁₁), или определитель первого порядка называет элемент а₁₁:

= |А| = а_11.

Определитель второго порядка, называется число, которая выполняется по формуле:

= |А| = =а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁ (1)

Определитель третьего порядка А= (а_ij), называется число, которое вычисляется по формуле:

₃=lАl=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃-а₁₃а₂₂а₃₁-а₁₂а₂₁а₃₃-а₂₃а₃₂а₁₁ (2)

Минора М_ij-элемента а_ij матрица первого порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получена из матрицы А вычеркивание i-ой строки и j-и столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрица n-го порядка называется минор, взятый со знаком (-1)^itj:

А_ij = (-1)^itj М_ij (3)

Теорема Лапласа.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

=а_i1А_i1 + а_i2A_i2 + … + a_inA_in (4)

Доказательство:

Для определителя 3-го порядка.

Свойства определителей:

1) Если строка (или столбец) матрицы состоит из одних нулей то её определитель = 0.

2) Если все элементы строки (столбца) матрицы умножить на число ɻ, то ее определитель умножится на это число ɻ.

3) При транспонировании матрицы её определителя не изменяется : |А^`| = |А|.

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5) Ели определитель содержит 2 одинаковые строки (столбца) то ее определитель = 0.

6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель =0.

Обратная матрица.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную получается единичная матрица:

А^-1А = АА^-1 = E (5)

Теорема. Обратная матрица А^-1 Ӡ и единственная, когда исходная матрица невырожденная.

Без доказательства.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы.

2. Находим матрицу А^`, транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А^{`</sup><sub>ij</sub> = А<sub>ij</sub> и составляем из них присоединенную матрицу А<sup>~</sup> : а<sup>~</sup><sub>ij</sub> = А<sup>`}_ij = А_ij.

4. Вычисляем обратную матрицу А^-1 = 1/|А|·А^~.

5. Проверяем правильность вычисления : А^-1А = АА^-1 = Е.

Пример. Найти матрицу, обратную к данной.

А= = 28 + 100 – 24 – 105 – 32 + 20 ≠ 0