Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный технический университет им. К. И. Сатпаева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

polnoe_reshenie_ryabushko_a_p_variant_21

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2015

Размер:

926.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

2.2 1.21

1)- 3a = -6 × i + 21× j -15 × k 6b = -6 × i + 12 × j - 36 × k

-c = -3 × i - 2 × j + 4 × k

((-3a) ´ 6b) × (-c) =	-6	21	-15
	-6	21	-15
	-6	12 -36		=
	-3	-2	4

= -6 × (12 × 4 - (-36) × (-2)) - 21 × ((-6) × 4 - (-36) × (-3)) + (-15) × ((-6) × (-2) -12 × (-3)) = 2196

2)5b = -5 × i + 10 × j - 30 × k

3c = 9 × i + 6 × j -12 × k

			i	j	k
5b ´ 3c =			-5 10		-30	= 60i - 330 j -120k
			9	6	-12

	5b ´ 3c	=		602 + (-330)2 + (-120)2 =
	5b ´ 3c	=		602 + (-330)2 + (-120)2 =			126900

3)7a =14 × i - 49 × j + 35 × k

-4b = 4 × i - 8 × j + 24 × k

7a × -4b =14 × 4 + (-49) × (-8) + 35 × 24 = 1288 4)b = -1 × i + 2 × j - 6 × k

c = 3 × i + 2 × j - 4 × k

-1 ¹ 2 ¹ -6 3 2 -4

Поэтому вектора не коллинеарны

b × c = -1× 3 + 2 × 2 + (-6) × (-4) = 25 ¹ 0, поэтому вектора не ортогональны

7a =14 × i - 49 × j + 35 × k

-4b = 4 × i - 8 × j + 24 × k 3c = 9 × i + 6 × j -12 × k

14	-49	35	=14 × ((-8) × (-12) - 24 × 6) - (-49) × (4 × (-12) - 24 × 9) + 35 × (4 × 6 - (-8) × 9) =
14	-49	35
4	-8	24
9	6	-12

= -10248 ¹ 0, поэтому вектора не компланарны

2.2 2.21

A (5, 2, 7), B (7, - 6, - 9), C (-7, - 6, 3), D (1, - 5, 2)

SABD = AB ´ AD

AB = (2, - 8, -16), AD = (-4, - 7, - 5)

AB ´ AD =

2 -8

-16

= -72i + 74 j - 46z

-4

-7

-5

AB ´ AD

= (-72)2

+ 742 + (-46)2 =

12776

AB ´ AD

12776

SABD

3194

2)M - середина AB M (6, - 2, -1)

MC = (-13, - 4, 4), MD = (-5, - 3, 3)

SMCD =				MC ´ MD



2
							i					j	k
							i					j	k
MC ´ MD =						-13 -4 4								= 0i + 19 j + 19z
							-5		-3 3

	MC ´ MD				=		02		+ 192				+ 192		=
	MC ´ MD				=		02		+ 192				+ 192		=	722

SMCD =		722					=	19			2
SMCD =							=
2									2
3) V =			( AB ´ AC ) × AD


							6
							6
	AB = (2, - 8, -16),											AC = (-12, - 8, - 4), AD = (-4, - 7, - 5)
( AB ´ AC ) × AD =											2		-8		-16
											2		-8		-16
										-12 -8 -4							=
											-4		-7		-5

= 2 × ((-8) × (-5) - (-4) × (-7)) - (-8) × ((-12) × (-5) - (-4) × (-4)) -16 × ((-12) × (-7) - (-8) × (-4)) = -456

V = 456 = 76 6

2.2 3.21

P = (4, - 2, - 5), Q = (5,1, - 3), R = (-6, 2, 5), A = (-3, 2, - 6), B = (4, 5, - 3)

1) AB = (7, 3, 3)

F = P + Q + R

F = (3,1, - 3)

A = F × S = F × AB = 3 × 7 + 1× 3 - 3 × 3 =15

2)BA = (-7, - 3, - 3)

M = BA ´ F

		i	j	k
BA ´ F =		-7 -3		-3	=12i - 30 j + 2k
		3	1	-3

	= 122 + (-30)2			+ 22 =			= 2
M	= 122 + (-30)2			+ 22 =		1048	= 2	62

3.1 1.21

A1 (1, - 2, 7), A2 (4, 2,10), A3 (2, 3, 5), A4 (5, 3, 7)

1) Уравнение плоскости A1 A2 A3

x -1 y - (-2) z - 7
x -1 y - (-2) z - 7
4 -1 2 - (-2)		10 - 7		= 0
2 -1	3 - (-2)	5 - 7
x -1	y - (-2) z - 7		= 0
x -1	y - (-2) z - 7
3	4	3
1	5	-2

( x -1) × (4 × (-2) - 3 × 5) - ( y - (-2)) × (3 × (-2) - 3 ×1) + ( z - 7) × (3 × 5 - 4 ×1) = 0 (-23) × x + 9 × y + 11 × z - 36 = 0

-23x + 9 y + 11z - 36 = 0 2)Уравнение прямой A1 A2

x -1 = y - (-2) = z - 7

4 -1 2 - (-2) 10 - 7 x -1 = y + 2 = z - 7

3 4 3

3) из условия перпендикулярности A4 M и плоскости A1 A2 A3 очевидно, что нормаль плоскости является направляющим вектором искомой прямой.

Так же очевидно, что A4 принадлежит искомой прямой

x - 5

y - 3

z - 7

-23

4)из условия параллельности прямых A1 A2 и A4 N очевидно, что их направляющие вектора равны

x - 2

y - 3

z - 5

4 -1

- (-2)

10 - 7

x - 2

y - 3

z - 5

5)из условия перпендикулярности искомой плоскости векторуA1 A2 очевидно, что направляющий вектор

A1 A2 является нормалью плоскости.Так же очевижно, что A4 принадлежит искомой плоскости

3 × ( x - 5) + 4 × ( y - 3) + 3 × ( z - 7)

3x + 4 y + 3z - 48 = 0

6)Направляющий вектор A1 A4 = (4, 5, 0)

sin ϕ =

+4 × (-23) + 5 × 9 + 0 ×11

» 0, 27

4 2 +

5 2 + 0 2 × -23 2 + 9 2 + 11 2

41 ×

731

7)Очевидно, что нормальным вектором для OXY является n1 = (0, 0,1).Таким образом можно найти

искомый угол (n2

- нормаль плоскости A1 A2 A3 )

cosϕ =

0 ×

(-23) + 0 × 9 + 1 ×11

» 0, 41

× -23 2 + 9 2 + 11 2

1 × 731

3.1, 2.21

Очевидно, что если плоскость параллельна оси Oz, то она параллельна любому вектору,

лежащему на этой оси, например a = (0, 0, 5)

Очевидно, что если плоскость параллельна вектору a = (0, 0, 5) и N (-3, 4, -5) лежит на этой плоскости, то точка K (-3 + 0, 4 + 0, -5 + 5) так же лежит на этой плоскости

Т.о. у нас есть3 точки (M (1,2,3), N (-3, 4, -5), K (-3, 4, 0)), которые лежат на плоскости. Запишем уравнение искомой плоскости :

x + 3	y - 4	z - 0

1 + 3 2 - 4 3 - 0				= 0
-3 + 3 4 - 4 -5 - 0
x + 3	y - 4	z	= ( x + 3)((-2) × (-5) - 0 × 3) - ( y - 4)(4 × (-5) - 0 × 3) + z (0 × 4 - 0 × (-2)) =

4	-2	3
0	0	-5

= 10 ( x + 3) + 20 ( y - 4) = 10x + 20 y - 50 = 0 x + 2 y - 5 = 0

ответ : x + 2 y - 5 = 0

3.1, 3.21

x = 2t + 5

-1, p)

y = -t + 2

напрвялающий вектор P = (2,

z = pt - 7

x + 3y + z + 2

= (1, 3,1)

- 3z - 2

= (1, -1, -3)

x - y

= 0

UUR

= n1

´ n2 =

1 3 1

= -8i + 4 j - 4k

-1

-3

UR UR

= 0

Если прямые параллельны, то P и S перпендикулярны P

× S

2 × (-8) -1× 4 + p × (-4) = 0 p = -5

ответ : p = -5

3.2,1.21

A(-1, -4), B(9, 6), C(-5, 4)

1) уравнение стороны AB

x +1

y + 4

9 +1

6 + 4

x +1 = y + 4

x - y - 3 = 0

2) уравнение высотыCH

Угловой коэффициент AB : kAB

= 1

т.к. CH ^ AB, то kCH × kAB = -1 kCH = -1

уравнение CH :

y - 4 = -1× ( x + 5)

y = -x -1

3) уравнение медианы AM

Координаты точки M :

xB + xC

= 2

yB + yC

= 5

Уравнение AM :

x +1

y + 4

2 +1

5 + 4

3( x +1) = 1× ( y + 4)

3x - y -1 = 0

4) Точка пересечения AM и CH :

3x - y -1 = 0

3x - (-x -1)

-1 = 0

x = 0

y = -x -1

y = -1

y = -x -1

O(0; -1)

5)уравнение прямой, проходящей через C параллельно AB.

Т.к. искомая прямая параллельна AB, то их угловые коэффициенты равны y - 4 = 1× ( x + 5)

y = x + 9

6)рассточние от C до AB :

d = CH = -5 - 4 - 3 = 62 12 + -1 2

3.2, 2.21

A(4;6), B(-4;0), C(-1;-4)

Медиана CM

M - середина AB

	4 - 4				6 + 0		M (0;3)
	M			;

		2			2
УравнениеCM :
	x + 1	=	y + 4
	0 + 1		3 + 4
7( x +1) = y + 4
7x + 7 = y + 4
7x - y + 3					= 0	- уравнение медианы

высота CK

Уравнение высоты: ax + by + c = 0

Найдем уравнение AB :

x + 4 = y - 0 4 + 4 6 - 0

6( x + 4) = 8 y

6x - 8 y + 24 = 0

3x - 4 y + 12 = 0

a = 4

CK ^ AB 3a - 4b = 0 =

b 3

Уравнение высотыимеет вид

4x + 3y + c = 0

C ÎCK 4 × (-1) + 3 × (-4) + c = 0 c =16 4x + 3y + 16 = 0

ответ: 7x - y + 3 = 0 - уравнение медианы

4x + 3y + 16 = 0 - уравнение высоты

4.1, 2.21

левый фокус гиперболы7x2 − 9 y2 = 63

A(−1, −2)

7x2 − 9 y2 = 63

−

= 1 a = 3, b =

Для гиперболы справедливо равенство :

b2 = c2 − a2 c2 = b2 + a2 = 9 + 7 = 16

F1 (−4;0), F2 (4;0)

F1 − левый фокус гиперболы

R =

= −1 + 4 2 + −2 − 0 2

9 + 4

( x + 1)2 + ( y + 2)2 = 13

4.1, 3.21

расстояние от линии до прямой x = 14 r1 = x −14

расстояние от линии до точки A(2, 3)

r = x − 2 2 + y − 3 2
2
2r1	= r2
4r 2	= r 2
1	2
4 ( x −14)2 = ( x − 2)2 + ( y − 3)2
( x − 2)2 + ( y − 3)2 − 4 ( x −14)2 = 0

(x2 − 4x + 4)2 + ( y − 3)2 − 4 (x2 − 28x + 196)2 = 0

( y − 3)2 − 3x2 + 108x − 780 = 0
( y − 3)2	− 3	(x2	− 36x + 260) = 0
( y − 3)2	− 3	(x2	− 36x + 182 −182 + 260) = 0
( y − 3)2	− 3	(x2	− 36x + 182 ) = 192
( y − 3)2	− 3	( x −18)2 = 192

( y − 3)2	( x −18)2
−	= 1
192	64

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>