2.4.1. Условия однозначности

Как уже отмечалось, общее решение дифференциального уравнения описывает целый класс процессов. Для получения частного решения, соответствующего конкретным условиям проведения процесса, необходимо задание условий однозначности. Они включают:

1) геометрическую форму и размеры системы;

2) физические свойства участвующих в процессе сред;

3) начальные условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени (для нестационарных процессов);

4) граничные условия, характеризующие поведение системы на ее границах, либо взаимодействие с окружающей средой.

Рассмотрим математическую формулировку условий однозначности.

1. Форма и размеры системы (рабочая зона аппарата) задаются одной или несколькими поверхностями, ее ограничивающими. Поскольку, размеры аппарата, как правило, во времени не меняются, типичные геометрические условия имеют вид . Например, поверхность вертикального цилиндра радиусаR задается уравнением .

2. Физическими свойствами среды являются плотность и коэффициенты переноса. Если правомерно допущение о постоянстве их значений, то они задаются числами. Однако в общем случае плотность и коэффициенты молекулярного переноса зависят от температуры и соотношения концентраций компонентов, что требует задания зависимостей ,,,. Еще сложнее дело обстоит с коэффициентами турбулентного переноса, так как они к тому же зависят от режима движения и пространственных координат, , . Единственным упрощением является близость значений этих коэффициентов в одинаковых условиях:. Это объясняется наличием только поступательной составляющей турбулентного механизма переноса (см. разд. 1.3.1).

3. Начальные условия предполагают задание значений искомых переменных в начальный момент времени в области пространства, ограниченной поверхностью , т.е. , , ,, . В дальнейшем с целью упрощения записи будем опускать индексы «m» у среднемассовой скорости, определенной в лабораторной системе отсчета.

4. Граничные условия предполагают задание значений давлений, скоростей, температур и концентраций либо значений потоков массы, импульса и теплового или условий, накладываемых на них на границах системы, т.е. на поверхности:

: , ,

, ;

либо

, , , ,.

2. Поля скорости, давления, температуры и концентраций, понятие о пограничных слоях

Итак, для отыскания полей скорости, давления, температуры и концентраций в аппарате необходимо решать систему уравнений, представляющую исчерпывающее математическое описание процессов переноса. К сожалению, в общем случае получить строгое аналитическое решение не представляется возможным. К тому же в случае многофазных систем необходимо решать совместно системы уравнений для каждой из фаз. Для сложных аппаратов, например, для тарельчатых колонн, порой проблему представляет сама запись условий однозначности.

В связи с этим непосредственное определение полей давления, скорости, температуры и концентраций с помощью исчерпывающего описания применяют в инженерной практике лишь для частных простейших случаев. Например, аналитическое выражение для полей давления и скорости при ламинарном движении среды в трубе можно определить на основе решения уравнений неразрывности и движения Навье-Стокса, для полей температуры и концентраций в неподвижной среде на основе решения уравнений Фурье и Фика соответственно. Необходимо отметить, что в случае одновременного протекания процессов переноса массы, импульса и энергии все уравнения необходимо решать совместно, так как физические свойства среды, входящие в каждое уравнение, определяются полями всех этих величин. Если пренебречь зависимостями плотности и вязкости среды от температуры и концентрации, то поля среднемассовой скоростии давленияможно найти из совместного решения уравнений неразрывности и движения, а затем, подставивв уравнения нестационарной конвективной теплопроводности и диффузии, определить поля температуры и концентраций. Развитие вычислительной техники предоставило возможность численного решения системы уравнений, составляющих исчерпывающее описание процессов переноса (численный эксперимент). Недостатками этого способа являются: отсутствие аналитического решения, большие затраты компьютерного времени, проблема сходимости решения (см. разд. 21.3).

Обычно идут по пути упрощения исчерпывающего описания. Например, поскольку, как правило, в системе имеется граница раздела фаз, вблизи которой происходит наибольшее изменение искомых величин, вводится понятие пограничных слоев. Пограничным слоем считают область, примыкающую к границе раздела фаз, в которой происходит 99% изменения соответствующего параметра. Пространство аппарата вне пограничного слоя называется ядром потока. Упрощение заключается в пренебрежении изменения полей в ядре потока. Соответственно можно рассматривать различные виды пограничных слоев: гидродинамический (область изменения скорости), тепловой (температуры), диффузионный (концентраций). Поскольку, как правило, характерный размер пограничного слоя (толщина ) значительно меньше линейных размеров аппарата, его описание можно сократить с трехмерного до двух- или одномерного, что значительно упрощает процедуру решения.