Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
422
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
4.79 Mб
Скачать

9.2.2. Теплообмен в трубах

Рассмотрим стационарный теплообмен между стенками горизонтальной прямой трубы круглого сечения и потоком, обладающим неизменными теплофизическими характеристиками и движущимся за счет вынужденной конвекции внутри нее.

Участки гидродинамической и термической стабилизации. При движении потока в трубе на начальном участке длиной существует гидродинамический пограничный слой, расширяющийся по мере удаления от входа до тех пор, пока не заполнит все сечение (участок гидродинамической стабилизации). Далее выделение ядра потока и пограничного слоя не имеет смысла, так как скорость Wx меняется по всему поперечному сечению трубы, при этом профиль скорости уже не зависит от продольной координаты - такое течение называется стабилизированным (рис. 9.6 а).

а)

б)

Рис. 9.6. Профили безразмерных скорости а) и температуры б) на начальных и стабилизированных участках при ламинарном течении в цилиндрической трубе

Аналогичным образом в трубе при наличии теплообмена можно выделить участок термической или тепловой стабилизации начальный участок длиной , на котором существует тепловой пограничный слой. Прих > (область стабилизированного теплообмена) характер радиального изменения температуры не зависит от продольной координаты, однако величина средней по сечению температуры стремится к температуре стенки прих   в отличие от средней скорости, не меняющейся для трубы постоянного сечения рис. 9.6 б.

Характеристики пограничных слоев в трубе и на плоской пластине несколько отличаются. Это обусловлено различием формы обтекаемых поверхностей, переменностью скорости ядра потока в трубе (х) и наличием градиента давления p/x  0. Увеличение скорости ядра потока на участке гидродинамической стабилизации следует из уравнения постоянства расхода (2.24), в соответствии с которым средняя скорость в канале неизменного сечения для установившегося течения несжимаемой жидкости должна быть постоянной. Поскольку в пограничном слое скорость уменьшается от до 0, то по мере увеличения его толщиныдолжна возрастать. Падение давления в трубеp/x < 0 следует из уравнения Бернулли (2.38) применительно к ядру потока. Несмотря на эти отличия, наблюдается качественное сходство пограничных слоев в трубе и на пластине.

Рассмотрим ламинарное движение потока. При Pr > 1 тепловой пограничный слой будет находиться внутри гидродинамического, следовательно, длина участка термической стабилизации (расстояние от входа, на котором т = R) будет больше, чем гидродинамической (г = R). Решение соответствующих уравнений для пограничных слоев в трубе с постоянной температурой стенки дает зависимость

, (9.89)

. (9.90)

Так, для чисел Re = 2103 это составит   100 d, т.е. при ламинарном движении длина участка гидродинамической стабилизации может достигать 100 диаметров, а термической и того больше. Это приводит к тому, что в большинстве случаев, особенно для жидкостей с большим значением критерия Прандтля, теплообмен при ламинарном режиме движения осуществляется в основном на участке термической стабилизации. Как и для пограничного слоя на плоской пластине, коэффициент теплоотдачи для трубы на участке термической стабилизации уменьшается по мере удаления от входа (увеличивается толщина пограничного слоя), увеличиваясь пропорционально скорости потока и коэффициенту теплопроводности теплоносителя. В качестве характерных для труб величин принято использовать: диаметр d, среднюю скорость , среднюю температуру:

, (9.91)

, (9.92)

(9.93)

Значение коэффициента В зависит от вида граничных условий на стенке трубы, так, для Тст = const B = 1,03. В соответствии с (4.18) можно найти осредненный по длине трубы х коэффициент теплоотдачи (x). Выражение для него будет аналогичным (9.93), но в 1,5 раза больше, т.е. коэффициент В будет равен 1,55.

Наглядное представление температуры , определяемой (9.91) и называемой среднемассовой, можно составить, если найти температуру всей массы потока, вышедшей из данного сечения трубы за достаточно короткий промежуток времени (это существенно лишь для нестационарных процессов) и затем полностью перемешанной. Использование такой температуры позволяет представить теплообмен в трубе пренебрегая молекулярным и турбулентным переносом в продольном направлении по сравнению с конвективным, происходящим в режиме идеального вытеснения, т.е. полагать, что количество тепла, переносимое в направлении осих за единицу времени через сечение трубы, пропорционально средней конвективной скорости и температурепри условии cp, = const:

. (9.94)

Использование модели идеального вытеснения при условии Тст = const вне зависимости от характера изменения (x) позволяет считать, как это было показано в разделе 4.1, среднюю движущую силу среднелогарифмической величиной (4.31). Таким образом, (9.93) для (x) и (4.31) для дают возможность применять уравнение теплоотдачи в интегральной форме, имея явный вид выражений для всех величин.

Соотношение (9.93) получено для участка термической стабилизации, которому предшествовал участок гидродинамической стабилизации, т.е. теплообмен начался не со входа в трубу и при х = 0 течение было уже стабилизированным. В том случае, если теплообмен начинается непосредственно с кромки трубы и при х = 0 начинаются оба участка тепловой и гидродинамической стабилизации, то в непосредственной близости от входа в трубу при г << d локальный и средний коэффициенты теплоотдачи могут определяться по соотношениям (9.47), (9.50), найденным для плоской пластины. По мере увеличения толщины гидродинамического пограничного слоя начинают сказываться отличия, присущие движению в трубе. Для расчета среднего коэффициента теплоотдачи в этом случае удобнее воспользоваться соотношением (9.93) с поправочным множителем , учитывающим увеличение коэффициента теплоотдачи на участке гидродинамической стабилизации

. (9.95)

Если необходимо определить средний коэффициент теплоотдачи для трубы длиной , содержащей участки термической стабилизации и стабилизированного теплообмена, то осреднение можно провести, учитывая, что в области стабилизированного теплообмена при ламинарном режиме величина не зависит отх, обозначим ее :

. (9.96)

При турбулентном течении потока в трубе, как и на плоской пластине, толщины теплового и гидродинамического пограничных слоев, во-первых, совпадают, а во-вторых, растут значительно быстрее, чем для ламинарных. Это приводит к уменьшению длины участков термической и гидродинамической стабилизации, что позволяет в большинстве случаев пренебрегать ими при расчете теплоотдачи:

. (9.97)

Стабилизированный теплообмен при ламинарном движении. Уравнение (2.44) для стационарного теплообмена при стабилизированном течении в трубе удобнее записать в цилиндрических координатах (см. прил. 2.3):

. (9.98)

Как правило, конвективный перенос тепла в осевом направлении значительно выше молекулярного , что позволяет пренебречь последним при Ре > 100. С учетом этого допущения (9.98) можно переписать

. (9.99)

Дополним это уравнение граничными условиями:

. (9.100)

Решение будет зависеть от характера изменения температуры стенки Тст(х), но в общем случае оно получается в виде бесконечного ряда.

Рассмотрим вначале самый простой для решения задачи случай, когда температура стенки в области стабилизированного теплообмена меняется по линейному закону, что соответствует условию постоянства потока тепла, подводимого к теплоносителю или отводимого от него через стенку = const. Из уравнения теплового баланса для участка трубы длинойх, учитывая, что отводимый от теплоносителя тепловой поток в цилиндрической системе координат будет положительным, следует,

или , (9.101)

, (9.102)

т. е. средняя температура теплоносителя в этом случае линейно изменяется вдоль оси х. Для области стабилизированного теплообмена характер радиального изменения температуры остается неизменным, из чего следует

т.е. . (9.103)

Получим теперь решение уравнения (9.99) для области стабилизированного теплообмена при = const. Проинтегрируем уравнение (9.99) с учетом (9.103) и (5.62):

(9.104)

. (9.105)

Константу интегрирования С можно определить из условия (9.100):

. (9.106)

При r = R выражение (9.105) должно равняться тепловому потоку через стенку, что позволяет получить соотношения для профиля теплового потока (рис. 9.9 а):

, (9.107)

. (9.108)

Проинтегрировав уравнение теплового потока, можно найти профиль температуры в сечении трубы:

, (9.109)

или для безразмерной температуры (r) (рис. 9.9 б)

. (9.110)

Из (9.109) и (9.91) можно определить среднюю температуру , а затем и коэффициент теплоотдачи:

, (9.111)

, (9.112) , (9.113)

. (9.114)

Решив совместно (9.111), (9.109), и (9.102), можно найти явный вид поля температуры Т(х,r):

. (9.115)

Таким образом, все величины, характеризующие стабилизированный теплообмен, для рассматриваемого случая определены: поля температуры и теплового потока, коэффициент теплоотдачи. Нетрудно видеть, что средняя температура меняется линейно по длине трубы, а коэффициент теплоотдачи остается постоянным. Следует отметить зависимость  лишь от коэффициента теплопроводности теплоносителя и диаметра трубы. От скорости движения теплоносителя он не зависит, что приводит к постоянству критерия Нуссельта.

Теперь рассмотрим стабилизированный теплообмен при постоянной температуре стенки трубы Тст = const. Для него условия (9.102) и (9.103) не выполняются. Это не позволяет вынести за знаки интегрирования T/x в (9.104) и получить явный вид решения. Гретцем, а затем независимо Нуссельтом решение данной задачи было найдено в виде суммы бесконечного ряда. Оно справедливо и для участка термической стабилизации при условии предварительной гидродина­мической стабилизации потока. Для области стабилизированного теплообмена локальный коэффициент теплоотдачи равен предельному (рис. 9.7)

(9.116) или (9.117)

Рис. 9.7. Изменение локального и среднего критериев Нуссельта по длине круглой трубы Тст = const: 1 , 2 

Средняя температура, как это было показано в разделе 4.1 (4.27), в этом случае изменяется по длине трубы экспоненциально, приближаясь к температуре стенки при х   (рис.9.8). Как видим, граничные условия существенным образом влияют на коэффициент теплоотдачи и характер теплообмена, несмотря на то, что дифференциальное уравнение одно и то же (9.99).

Рис. 9.8. Изменение средней температуры и температуры стенки Тст по длине круглой трубы при Тст=const () и =const (- - -)

Для получения явного вида радиальной зависимости можно аппроксимировать ее полиномом третьей степени, определив три коэффициента из уравнения (9.117) и граничных условий(0) = 1,:

(9.118)

Расхождение (9.118) с точным решением не превышает 5% (рис. 9.9 б). Используя (9.118), найдем профиль приведенного теплового потока (рис. 9.9. а):

. (9.119)

Рис. 9.9. Радиальная зависимость в круглых трубах: a – относительных потоков тепла и импульса; б – относительных температури скоростей

С учетом (4.28) можно получить явный вид поля температуры для стабилизированной области:

, (9.120)

где (x1) – средняя температура в сечении трубы, расположенном в области стабилизированного теплообмена на расстоянии x1 от входа.

Соотношение для расчета среднего коэффициента теплоотдачи при Tст = const для трубы длиной , содержащей участки термической стабилизации и стабилизированного теплообмена, с учетом (9.90), (9.96) и (9.117) можно записать

. (9.121)

В заключение отметим, что вследствие различия дифференциальных уравнений, описывающих перенос импульса и энергии (5.45) и (9.99) при вынужденном ламинарном движении в трубе, не наблюдается аналогии процессов импульсо- и теплоотдачи: Nuг = 8  Nuт = 4,36 (qст = const), Nuт=3,66 (Тст = const); даже при Pr = 1 профиль температур (r) неидентичен профилю скорости (рис. 9.9б).

Стабилизированный теплообмен при турбулентном движении. Общий вид уравнения, описывающего стабилизированный теплообмен в трубе при турбулентном режиме движения, будет полностью идентичным (9.99) примененному нами для теплообмена с ламинарным потоком. Сохранятся и граничные условия (9.100). Отличие будет лишь в тепловом потоке , который включит в себя турбулентную составляющую переноса тепла. Рассмотрим вначале теплообмен при условии постоянства теплового потока по всей поверхности трубы = const. Выражения (9.102) и (9.103), полученные для ламинарного теплообмена, остаются в силе и для турбулентного. Отличия возникнут при интегрировании уравнения (9.99) за счет различных профилей скорости ламинарного и турбулентного потоков.

Использовав соотношение (5.88) для всего сечения трубы в пренебрежении отличия поля скорости в узком вязком подслое, подставив его в (9.104), получим (рис. 9.9а)

. (9.122)

Учитывая, что и при турбулентном течении в трубеc< 0,01, можно пренебречь в уравнении (9.122) членами с соответствующим множителем. Тогда получим (рис. 9.9 а)

. (9.123)

Аналогичный вид имеет в трубе поле потока импульса. Сделанное приближение позволяет получить гидродинамическую аналогию теплообмена при турбулентном течении в трубе в отличие от ламинарного, где она не соблюдается. Необходимо отметить, что в данном случае аналогия является приближенной.

Найдем выражение для коэффициента теплоотдачи , при определении которого в качестве характерной величины использована в (9.92) вместо среднемассовой температуры температура на оси трубыТ(0). По аналогии с турбулентным тепловым пограничным слоем на пластине выделим области изменения суммарного коэффициента теплопроводности и профиля температуры. Только в данном случае их будет не четыре, а три, так как область логарифмического изменения температуры может быть распространена вплоть до оси трубы:

, (9.124)

, (9.125)

. (9.126)

Найдем  в соответствии с (4.9):

. (9.127)

Используя (5.97), (5.102), (9.76), получим

. (9.128)

Проинтегрировав выражение для теплового потока, можно найти профиль температуры, аналогичный (9.85)(9.87). В этих соотношениях нужно использовать Т(0) вместо Т0 и расширить верхний предел для y до R вместо 0,2г в (9.87). Уравнение (9.88) будет отсутствовать (рис. 9.9б). Чтобы перейти к обычно применяемому для труб коэффициенту теплоотдачи (9.92), необходимо определить среднюю температуру . Подставив (9.85)-(9.87) в (9.91) и пренебрегая членами, содержащими сомножитель, получим

. (9.129)

Решая совместно (9.128) и (9.92), найдем

. (9.130)

Используя (5.99), (5.102) и (4.75), нетрудно получить критерий т-г, характеризующий гидродинамическую аналогию теплоотдачи. Выражение для него будет полностью идентично (9.82) найденному для турбулентного пограничного слоя на плоской пластине. Отличие будет заключаться лишь в соотношении для определения коэффициента трения Фаннинга (для трубы можно применять 5.102). Если же с целью получения явного вида воспользоваться степенной зависимостью 1/7 и формулой Блазиуса (5.105), то

. (9.131)

Ряд исследователей отмечает консервативность турбулентных течений, которая заключается в слабом влиянии граничных условий на коэффициенты трения и теплоотдачи. Экспериментальные исследования, в частности, подтверждают возможность использования соотношений (9.130), (9.82), (9.131) для расчета коэффициентов теплоотдачи не только при qст = const, но и приTст = const. Подставив (9.131) и (5.108) в (4.75), можно увидеть, что в области стабилизированного теплообмена критерий Нуссельта и коэффициент теплоотдачи при турбулентном течении в трубе в отличие от ламинарного существенно зависят от скорости движения теплоносителя, а точнее, от критериев Re и Pr.

Для анализа удобнее воспользоваться формулой Нуссельта, применимой при 0,5 < Pr < 25 и не очень высоких Re:

или

. (9.132)

Как и для ламинарного движения, в области стабилизированного теплообмена при турбулентном течении локальный коэффициент теплоотдачи не зависит от продольной координаты х. Для расчета среднего коэффициента теплоотдачи коротких труб (/< 50) необходим учет участка термической стабилизации. Это осуществляется обычно умножением правой части соотношений (9.130)(9.132) на поправочный множитель, значения которого приведены в справочных таблицах.