
- •Глава 9. Теплообмен
- •9.1. Кондуктивный теплообмен
- •9.2. Конвективный теплообмен
- •9.2.1. Гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине
- •9.2.2. Теплообмен в трубах
- •9.2.3. Физическое моделирование конвективного теплообмена
- •9.3. Теплообмен излучением
- •9.4. Нестационарный теплообмен
- •9.5. Оптимизация теплообмена
- •Для турбулентного режима
- •Контрольные вопросы к главе 9
- •Вопросы для обсуждения
9.2.2. Теплообмен в трубах
Рассмотрим стационарный теплообмен между стенками горизонтальной прямой трубы круглого сечения и потоком, обладающим неизменными теплофизическими характеристиками и движущимся за счет вынужденной конвекции внутри нее.
Участки
гидродинамической и термической
стабилизации.
При движении
потока в трубе на начальном участке
длиной
существует
гидродинамический пограничный слой,
расширяющийся по мере удаления от входа
до тех пор, пока не заполнит все сечение
(участок гидродинамической стабилизации).
Далее выделение ядра потока и пограничного
слоя не имеет смысла, так как скорость
Wx
меняется по
всему поперечному сечению трубы, при
этом профиль скорости уже не зависит
от продольной координаты - такое течение
называется стабилизированным (рис. 9.6
а).
а)
б)
Рис. 9.6. Профили безразмерных скорости а) и температуры б) на начальных и стабилизированных участках при ламинарном течении в цилиндрической трубе
Аналогичным
образом в трубе при наличии теплообмена
можно выделить участок термической или
тепловой стабилизации
начальный участок длиной
,
на котором существует тепловой пограничный
слой. Прих >
(область стабилизированного теплообмена)
характер радиального изменения
температуры не зависит от продольной
координаты, однако величина средней по
сечению температуры стремится к
температуре стенки прих
в отличие от средней скорости, не
меняющейся для трубы постоянного сечения
рис. 9.6 б.
Характеристики
пограничных слоев в трубе и на плоской
пластине несколько отличаются. Это
обусловлено различием формы обтекаемых
поверхностей, переменностью скорости
ядра потока в трубе
(х)
и наличием градиента давления p/x 0.
Увеличение скорости ядра потока на
участке гидродинамической стабилизации
следует из уравнения постоянства расхода
(2.24), в соответствии с которым средняя
скорость в канале неизменного сечения
для установившегося течения несжимаемой
жидкости должна быть постоянной.
Поскольку в пограничном слое скорость
уменьшается от
до 0, то по мере увеличения его толщины
должна возрастать. Падение давления в
трубеp/x
< 0 следует из уравнения Бернулли (2.38)
применительно к ядру потока. Несмотря
на эти отличия, наблюдается качественное
сходство пограничных слоев в трубе и
на пластине.
Рассмотрим ламинарное движение потока. При Pr > 1 тепловой пограничный слой будет находиться внутри гидродинамического, следовательно, длина участка термической стабилизации (расстояние от входа, на котором т = R) будет больше, чем гидродинамической (г = R). Решение соответствующих уравнений для пограничных слоев в трубе с постоянной температурой стенки дает зависимость
,
(9.89)
.
(9.90)
Так,
для чисел
Re = 2103
это составит
100 d,
т.е. при ламинарном движении длина
участка гидродинамической стабилизации
может достигать 100 диаметров, а термической
и того больше. Это приводит к тому, что
в большинстве случаев, особенно для
жидкостей с большим значением критерия
Прандтля, теплообмен при ламинарном
режиме движения осуществляется в
основном на участке термической
стабилизации. Как и для пограничного
слоя на плоской пластине, коэффициент
теплоотдачи для трубы на участке
термической стабилизации уменьшается
по мере удаления от входа (увеличивается
толщина пограничного слоя), увеличиваясь
пропорционально скорости потока и
коэффициенту теплопроводности
теплоносителя. В качестве характерных
для труб величин принято использовать:
диаметр d,
среднюю скорость
,
среднюю температуру
:
,
(9.91)
,
(9.92)
(9.93)
Значение
коэффициента В
зависит от вида граничных условий на
стенке трубы, так, для Тст = const
B = 1,03.
В соответствии с (4.18) можно найти
осредненный по длине трубы
х
коэффициент теплоотдачи
(x).
Выражение для него будет аналогичным
(9.93), но в 1,5 раза больше, т.е. коэффициент
В
будет равен 1,55.
Наглядное
представление температуры
,
определяемой (9.91) и называемой
среднемассовой, можно составить, если
найти температуру всей массы потока,
вышедшей из данного сечения трубы за
достаточно короткий промежуток времени
(это существенно лишь для нестационарных
процессов) и затем полностью перемешанной.
Использование такой температуры
позволяет представить теплообмен в
трубе пренебрегая молекулярным и
турбулентным переносом в продольном
направлении по сравнению с конвективным,
происходящим в режиме идеального
вытеснения, т.е. полагать, что количество
тепла, переносимое в направлении осих
за единицу
времени через сечение трубы, пропорционально
средней конвективной скорости
и температуре
при условии
cp,
= const:
.
(9.94)
Использование
модели идеального вытеснения при условии
Тст = const
вне зависимости от характера изменения
(x)
позволяет считать, как это было показано
в разделе 4.1, среднюю движущую силу
среднелогарифмической величиной (4.31).
Таким образом, (9.93) для
(x)
и (4.31) для
дают возможность применять уравнение
теплоотдачи в интегральной форме, имея
явный вид выражений для всех величин.
Соотношение (9.93) получено для участка термической стабилизации, которому предшествовал участок гидродинамической стабилизации, т.е. теплообмен начался не со входа в трубу и при х = 0 течение было уже стабилизированным. В том случае, если теплообмен начинается непосредственно с кромки трубы и при х = 0 начинаются оба участка тепловой и гидродинамической стабилизации, то в непосредственной близости от входа в трубу при г << d локальный и средний коэффициенты теплоотдачи могут определяться по соотношениям (9.47), (9.50), найденным для плоской пластины. По мере увеличения толщины гидродинамического пограничного слоя начинают сказываться отличия, присущие движению в трубе. Для расчета среднего коэффициента теплоотдачи в этом случае удобнее воспользоваться соотношением (9.93) с поправочным множителем , учитывающим увеличение коэффициента теплоотдачи на участке гидродинамической стабилизации
. (9.95)
Если
необходимо определить средний коэффициент
теплоотдачи для трубы длиной
,
содержащей участки термической
стабилизации и стабилизированного
теплообмена, то осреднение можно
провести, учитывая, что в области
стабилизированного теплообмена при
ламинарном режиме величина
не зависит отх,
обозначим ее
:
.
(9.96)
При турбулентном течении потока в трубе, как и на плоской пластине, толщины теплового и гидродинамического пограничных слоев, во-первых, совпадают, а во-вторых, растут значительно быстрее, чем для ламинарных. Это приводит к уменьшению длины участков термической и гидродинамической стабилизации, что позволяет в большинстве случаев пренебрегать ими при расчете теплоотдачи:
.
(9.97)
Стабилизированный теплообмен при ламинарном движении. Уравнение (2.44) для стационарного теплообмена при стабилизированном течении в трубе удобнее записать в цилиндрических координатах (см. прил. 2.3):
.
(9.98)
Как
правило, конвективный перенос тепла в
осевом направлении значительно выше
молекулярного
,
что позволяет пренебречь последним при
Ре > 100. С учетом этого допущения (9.98)
можно переписать
.
(9.99)
Дополним это уравнение граничными условиями:
.
(9.100)
Решение будет зависеть от характера изменения температуры стенки Тст(х), но в общем случае оно получается в виде бесконечного ряда.
Рассмотрим
вначале самый простой для решения задачи
случай, когда температура стенки в
области стабилизированного теплообмена
меняется по линейному закону, что
соответствует условию постоянства
потока тепла, подводимого к теплоносителю
или отводимого от него через стенку
=
const. Из уравнения теплового баланса для
участка трубы длинойх,
учитывая, что отводимый от теплоносителя
тепловой поток в цилиндрической системе
координат будет положительным, следует,
или ,
(9.101)
,
(9.102)
т. е. средняя температура теплоносителя в этом случае линейно изменяется вдоль оси х. Для области стабилизированного теплообмена характер радиального изменения температуры остается неизменным, из чего следует
т.е.
.
(9.103)
Получим
теперь решение уравнения (9.99) для области
стабилизированного теплообмена при
= const.
Проинтегрируем уравнение (9.99) с учетом
(9.103) и (5.62):
(9.104)
.
(9.105)
Константу интегрирования С можно определить из условия (9.100):
.
(9.106)
При r = R выражение (9.105) должно равняться тепловому потоку через стенку, что позволяет получить соотношения для профиля теплового потока (рис. 9.9 а):
,
(9.107)
.
(9.108)
Проинтегрировав уравнение теплового потока, можно найти профиль температуры в сечении трубы:
,
(9.109)
или
для безразмерной температуры
(r)
(рис. 9.9 б)
.
(9.110)
Из
(9.109) и (9.91) можно определить среднюю
температуру
,
а затем и коэффициент теплоотдачи:
,
(9.111)
,
(9.112)
,
(9.113)
.
(9.114)
Решив совместно (9.111), (9.109), и (9.102), можно найти явный вид поля температуры Т(х,r):
.
(9.115)
Таким образом, все величины, характеризующие стабилизированный теплообмен, для рассматриваемого случая определены: поля температуры и теплового потока, коэффициент теплоотдачи. Нетрудно видеть, что средняя температура меняется линейно по длине трубы, а коэффициент теплоотдачи остается постоянным. Следует отметить зависимость лишь от коэффициента теплопроводности теплоносителя и диаметра трубы. От скорости движения теплоносителя он не зависит, что приводит к постоянству критерия Нуссельта.
Теперь рассмотрим стабилизированный теплообмен при постоянной температуре стенки трубы Тст = const. Для него условия (9.102) и (9.103) не выполняются. Это не позволяет вынести за знаки интегрирования T/x в (9.104) и получить явный вид решения. Гретцем, а затем независимо Нуссельтом решение данной задачи было найдено в виде суммы бесконечного ряда. Оно справедливо и для участка термической стабилизации при условии предварительной гидродинамической стабилизации потока. Для области стабилизированного теплообмена локальный коэффициент теплоотдачи равен предельному (рис. 9.7)
(9.116) или
(9.117)
Рис.
9.7. Изменение локального
и
среднего
критериев
Нуссельта по длине круглой трубы
Тст = const:
1
,
2
Средняя температура, как это было показано в разделе 4.1 (4.27), в этом случае изменяется по длине трубы экспоненциально, приближаясь к температуре стенки при х (рис.9.8). Как видим, граничные условия существенным образом влияют на коэффициент теплоотдачи и характер теплообмена, несмотря на то, что дифференциальное уравнение одно и то же (9.99).
Рис.
9.8. Изменение средней температуры
и
температуры стенки
Тст
по длине
круглой трубы при Тст=const
(—)
и
=const
(- - -)
Для
получения явного вида радиальной
зависимости
можно аппроксимировать ее полиномом
третьей степени, определив три коэффициента
из уравнения (9.117) и граничных условий
(0) = 1,
:
(9.118)
Расхождение (9.118) с точным решением не превышает 5% (рис. 9.9 б). Используя (9.118), найдем профиль приведенного теплового потока (рис. 9.9. а):
.
(9.119)
Рис.
9.9. Радиальная зависимость в круглых
трубах: a
– относительных потоков тепла
и импульса
;
б – относительных температур
и скоростей
С учетом (4.28) можно получить явный вид поля температуры для стабилизированной области:
,
(9.120)
где
(x1)
– средняя температура в сечении трубы,
расположенном в области стабилизированного
теплообмена на расстоянии x1
от входа.
Соотношение
для расчета среднего коэффициента
теплоотдачи при Tст = const
для трубы длиной
,
содержащей участки термической
стабилизации и стабилизированного
теплообмена, с учетом (9.90), (9.96) и (9.117)
можно записать
.
(9.121)
В
заключение отметим, что вследствие
различия дифференциальных уравнений,
описывающих перенос импульса и энергии
(5.45) и (9.99) при вынужденном ламинарном
движении в трубе, не наблюдается аналогии
процессов импульсо- и теплоотдачи:
Nuг = 8
Nuт = 4,36
(qст = const),
Nuт=3,66
(Тст = const);
даже при Pr = 1 профиль температур
(r)
неидентичен профилю скорости
(рис. 9.9б).
Стабилизированный
теплообмен при турбулентном движении.
Общий вид
уравнения, описывающего стабилизированный
теплообмен в трубе при турбулентном
режиме движения, будет полностью
идентичным (9.99) примененному нами для
теплообмена с ламинарным потоком.
Сохранятся и граничные условия (9.100).
Отличие будет лишь в тепловом потоке
,
который включит в себя турбулентную
составляющую переноса тепла. Рассмотрим
вначале теплообмен при условии постоянства
теплового потока по всей поверхности
трубы
= const.
Выражения (9.102) и (9.103), полученные для
ламинарного теплообмена, остаются в
силе и для турбулентного. Отличия
возникнут при интегрировании уравнения
(9.99) за счет различных профилей скорости
ламинарного и турбулентного потоков.
Использовав соотношение (5.88) для всего сечения трубы в пренебрежении отличия поля скорости в узком вязком подслое, подставив его в (9.104), получим (рис. 9.9а)
.
(9.122)
Учитывая,
что
и при турбулентном течении в трубеcf < 0,01,
можно пренебречь в уравнении (9.122) членами
с соответствующим множителем. Тогда
получим (рис. 9.9 а)
.
(9.123)
Аналогичный вид имеет в трубе поле потока импульса. Сделанное приближение позволяет получить гидродинамическую аналогию теплообмена при турбулентном течении в трубе в отличие от ламинарного, где она не соблюдается. Необходимо отметить, что в данном случае аналогия является приближенной.
Найдем
выражение для коэффициента теплоотдачи
,
при определении которого в качестве
характерной величины использована в
(9.92) вместо среднемассовой температуры
температура на оси трубыТ(0).
По аналогии с турбулентным тепловым
пограничным слоем на пластине выделим
области изменения суммарного коэффициента
теплопроводности и профиля температуры.
Только в данном случае их будет не
четыре, а три, так как область
логарифмического изменения температуры
может быть распространена вплоть до
оси трубы:
,
(9.124)
,
(9.125)
.
(9.126)
Найдем в соответствии с (4.9):
.
(9.127)
Используя (5.97), (5.102), (9.76), получим
.
(9.128)
Проинтегрировав
выражение для теплового потока, можно
найти профиль температуры, аналогичный
(9.85)(9.87).
В этих соотношениях нужно использовать
Т(0)
вместо Т0
и расширить верхний предел для y
до R
вместо 0,2г
в (9.87). Уравнение (9.88) будет отсутствовать
(рис. 9.9б). Чтобы перейти к обычно
применяемому для труб коэффициенту
теплоотдачи
(9.92), необходимо
определить среднюю температуру
.
Подставив (9.85)-(9.87) в (9.91) и пренебрегая
членами, содержащими сомножитель
,
получим
.
(9.129)
Решая совместно (9.128) и (9.92), найдем
.
(9.130)
Используя
(5.99), (5.102) и (4.75), нетрудно получить критерий
т-г,
характеризующий гидродинамическую
аналогию теплоотдачи. Выражение для
него будет полностью идентично (9.82)
найденному для турбулентного пограничного
слоя на плоской пластине. Отличие будет
заключаться лишь в соотношении для
определения коэффициента трения Фаннинга
(для трубы
можно применять 5.102). Если же с целью
получения явного вида
воспользоваться степенной зависимостью
1/7 и формулой Блазиуса (5.105), то
.
(9.131)
Ряд исследователей отмечает консервативность турбулентных течений, которая заключается в слабом влиянии граничных условий на коэффициенты трения и теплоотдачи. Экспериментальные исследования, в частности, подтверждают возможность использования соотношений (9.130), (9.82), (9.131) для расчета коэффициентов теплоотдачи не только при qст = const, но и приTст = const. Подставив (9.131) и (5.108) в (4.75), можно увидеть, что в области стабилизированного теплообмена критерий Нуссельта и коэффициент теплоотдачи при турбулентном течении в трубе в отличие от ламинарного существенно зависят от скорости движения теплоносителя, а точнее, от критериев Re и Pr.
Для анализа удобнее воспользоваться формулой Нуссельта, применимой при 0,5 < Pr < 25 и не очень высоких Re:
или
.
(9.132)
Как
и для ламинарного движения, в области
стабилизированного теплообмена при
турбулентном течении локальный
коэффициент теплоотдачи не зависит от
продольной координаты х.
Для расчета среднего коэффициента
теплоотдачи коротких труб (/d < 50)
необходим учет участка термической
стабилизации. Это осуществляется обычно
умножением правой части соотношений
(9.130)
(9.132)
на поправочный множитель
,
значения которого приведены в справочных
таблицах.