9.2. Конвективный теплообмен

Начнем изучение конвективного теплообмена с простейших случаев, позволяющих получить аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, составляющих исчерпывающее описание процессов переноса. Будут рассмотрены два характерных примера теплоотдачи от теплоносителя к плоской пластине и цилиндрической трубе. Основное внимание следует сосредоточить на методах получения и качественных результатах решения. Для более сложных случаев необходимые в инженерных расчетах коэффициенты теплоотдачи могут быть найдены с помощью метода физического моделирования.

9.2.1. Гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине

Рассмотрим поток, обладающий неизменными теплофизическими характеристиками (   c_р = const), совершающий вынужденное движение вдоль плоской горизонтальной полубесконечной тонкой пластины и обменивающийся с ней теплом. Предположим, что неограниченный поток со скорость и температурой набегает на полубесконечную пластину, совпадающую с плоскостьюх z и имеющую температуру T_ст = const (см. рис. 9.2). Можно выделить гидродинамический и тепловой пограничные слои с толщиной _г и _т соответственно (область 99% изменения скорости W_x и температуры Т). Пренебрегая одним процентом изменения, будем считать параметры в ядре потока постоянными и равными . Начнем с более простого случая ламинарного режима течения.

Рис. 9.2. Гидродинамический и тепловой ламинарные пограничные слои на плоской пластине

Ламинарные пограничные слои. Запишем уравнения сохранения массы и импульса в стационарном пограничном слое. Для этого проанализируем и по возможности упростим уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Учитывая двухмерность рассматриваемой задачи и условие = const, уравнение неразрывности (2.23) можно записать

. (9.20)

Данные физического и численного экспериментов позволяют считать в гидродинамическом пограничном слое: и. Из уравнения Бернулли (2.38) для ядра потока следуетт.к.W = const = = . Таким образом, и в пограничном слое . Учтем, что проекция ускорения свободного падения на горизонтально расположенную осьx равна нулю. Тогда проекция уравнения Навье-Стокса (2.58) на ось x для рассматриваемого случая будет иметь вид

. (9.21)

Записывать аналогичные уравнения для оси y не имеет смысла, так как величина может быть найдена из уравнения (9.20). Система уравнений (9.20), (9.21) составляет математическую модель стационарного плоского ламинарного гидродинамического пограничного слоя. Используя аналогичные процедуры, можно упростить и уравнение Фурье - Кирхгофа (2.46):

. (9.22)

Система дифференциальных уравнений (9.20) (9.22) составляет математическую модель плоского стационарного теплового ламинарного пограничного слоя. Для ее решения необходимо сформулировать граничные условия. На границе с пластиной, т.е. при y = 0 скорость W_x = 0 (условие прилипания). На границе и вне гидродинамического пограничного слоя, т.е. при y  _г(x), а также для любого y при x = 0, W_х = . Используя аналогичные рассуждения для поля температуры, можно записать граничные условия в следующем виде:

(9.23)

. (9.24)

Точное решение системы уравнений (9.20)(9.21) с граничными условиями (9.23) для гидродинамического пограничного слоя получено Блазиусом в виде бесконечных рядов. Более удобное для анализа и практического применения приближенное решение может быть найдено иным способом.

А именно, задавшись видом функции для поля скорости W_x(x,y), например (9.25), интегрированием системы уравнений (9.20) (9.21) можно найти параметрА, а затем и W_y(x,y):

, (9.25)

, (9.26)

, A = 5,83, (9.27)

. (9.28)

Допущение о постоянстве теплофизических свойств среды позволяет не учитывать влияние теплообмена на гидродинамику и использовать полученные результаты при решении уравнений (9.22):

, (9.29)

, (9.30)

, (9.31)

. (9.32)

Примерный вид найденных зависимостей приведен на рис. 9.2. Толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев имеют зависимость от продольной координаты x, увеличиваясь вдоль пластины от нулевого значения. Кроме того, они прямо пропорциональны кинематической вязкости среды  и обратно пропорциональны скорости набегающего потока . Отношение толщин ламинарных гидродинамического и теплового пограничных слоев пропорционально величине критерия Прандтля (Pr), характеризующего теплофизические свойства среды и являющегося мерой подобия поля скорости W_x и температуры. При Pr =1 () наблюдается их полная аналогия (совпадение). Для капельных жидкостей, как правило, Pr >1, а для газов Pr 1.

Имея решение для поля скорости W_x в ламинарном гидродинамическом пограничном слое, можно найти поле тензора вязких напряжений (потоков импульса за счет молекулярного механизма) и выражение для него на поверхности пластины, т.е. при y = 0:

, (9.33)

, (9.34)

. (9.35)

Может быть найден и полный поток импульса, для чего необходимо учесть и перенос импульса за счет конвективного механизма в соответствии с (1.49):

, . (9.36)

Проанализировав (9.36) с учетом (9.25), (9.28) и (9.33), можно отметить, что в рассматриваемом пограничном слое конвективная и молекулярная составляющие потока импульса _yx имеют противоположные направления, доля молекулярной составляющей равна единице в непосредственной близости от пластины и уменьшается до нуля на внешней границе пограничного слоя, что приводит к изменению направления полного потока и импульса. Из соотношения (9.34) чрезвычайно просто определяется локальный коэффициент импульсоотдачи:

. (9.37)

Нетрудно проверить, что точно такой же результат получится при использовании соотношения (4.10). Можно представить коэффициент импульсоотдачи в безразмерной критериальной форме. Если в качестве характерного линейного размера выбрать толщину гидродинамического пограничного слоя, то

. (9.38)

Однако чаще в качестве характерного размера используют расстояние от кромки пластины, что позволяет получить зависимость  от x в явном виде:

, (9.39)

. (9.40)

Точное решение Блазиуса системы уравнений (9.20), (9.21) дает в отличие от приближенного значение коэффициента в уравнении (9.39), равное 0,332.

Как видно из уравнения (9.37), коэффициент импульсоотдачи для пограничного слоя изменяется вдоль поверхности пластины, уменьшаясь по мере удаления от ее кромки, т.е. с увеличением толщины _г. Для практического использования зачастую удобнее пользоваться уравнением импульсоотдачи в интегральной форме (4.17), для чего необходим усредненный по участку поверхности длиной коэффициент импульсоотдачи . Поскольку движущая сила в рассматриваемом случае не изменяется вдоль пластины, так как = const,= 0, то определить можно однозначно по соотношению, аналогичному (4.18):

(9.41)

или . (9.42)

Аналогичным образом из (9.29)-(9.32) могут быть получены поле тепловых потоков, коэффициенты и критериальные уравнения теплоотдачи для теплового пограничного слоя:

, (9.43)

, (9.44)

, (9.45)

, (9.46)

, (9.47)

, (9.48)

, (9.49)

, (9.50)

. (9.51)

В данном случае аналогия тепло- и импульсоотдачи соблюдается, что обусловлено идентичностью дифференциальных уравнений переноса тепла и импульса в пограничном слое (9.22) и (9.21), а также подобием граничных условий (9.24) и (9.23). Используя критерий _т-г,x (4.75), характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи, можно показать справедливость аналогии Чилтона-Кольборна для ламинарных плоских пограничных слоев:

. (9.52)

Нетрудно видеть, что для рассматриваемого случая при Pr = 1, _т-г = 1 наблюдается полная аналогия.

Таким образом, для плоских ламинарных пограничных слоев задачи гидродинамики и теплообмена полностью решены на основе исчерпывающего описания процессов переноса, т.е. найдены поля скоростей, температуры, потоков импульса и тепла, а также локальные и осредненные коэффициенты импульсо- и теплоотдачи. Полученные соотношения позволяют выявить факторы, влияющие на коэффициенты импульсо- и теплоотдачи. Из (9.37) следует, что коэффициент импульсоотдачи прямо пропорционален коэффициенту динамической вязкости и обратно пропорционален толщине гидродинамического пограничного слоя, а из (9.47) следует аналогичная зависимость коэффициента теплоотдачи от коэффициента теплопроводности и толщины теплового пограничного слоя. Учитывая обратную зависимость толщин пограничных слоев от скорости набегающего потока, можно записать

, . (9.53)

Как правило, подобная качественная зависимость выполняется не только для плоского пограничного слоя, но и для более сложных случаев. Таким образом, для увеличения коэффициентов теплоотдачи, с целью интенсификации теплообмена, следует подбирать теплоноситель с высоким коэффициентом теплопроводности, низким коэффициентом вязкости и увеличивать скорость его движения.

Турбулентные пограничные слои. По мере удаления от кромки пластины (увеличения значения координаты х) происходит рост толщины ламинарного гидродинамического пограничного слоя в соответствии с (9.27). При этом неоднородность поля скорости W_x распространяется в области, все более удаленные от границы раздела фаз, что является предпосылкой возникновения турбулентности (раздел 1.1.3). Наконец, при некотором критическом значении критерия Рейнольдса Re_x,кp начинается переход ламинарного режима течения в турбулентный (рис. 9.3).

Рис.9.3. Гидродинамический и тепловой турбулентные пограничные слои на плоской пластине

Эта область охватывает обычно диапазон Re_x = 3,510⁵510⁵ (Re_x можно рассматривать как безразмерное расстояние от кромки пластины). На расстояниях Re_x > 510⁵ весь пограничный слой турбулизируется, за исключением области, прилежащей непос­редственно к пластине, где турбулентные пульсации затухают (вязкий или ламинарный подслой толщиной _1,г). В ядре потока сохраняется ламинарный характер движения, если отсутствует внешний источник турбулентности. Расстояние от кромки x_кp, на котором происходит турбулизация пограничного слоя, может быть найдено из (9.40) по Re_кp, и оно тем меньше, чем больше скорость набегающего потока и меньше его кинематическая вязкость. При значениях критерия Прандтля более единицы внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой толщиной _1,т, в котором молекулярный перенос тепла преобладает над турбулентным. Толщина же всего турбулентного теплового пограничного слоя при обычно принимаемом допущении равенства коэффициентов турбулентной кинематической вязкости и температуропроводности _т = a_т равна толщине гидродинамического пограничного слоя _г = _т.

Как и в случае ламинарного режима, рассмотрим вначале турбулентный гидродинамический пограничный слой. Оставим в силе все приближения, сделанные для ламинарного слоя. Единственное отличие математической модели турбулентного пограничного слоя будет состоять в наличии коэффициента турбулентной кинематической вязкости, зависящего от координаты y, что не позволяет вынести его за знак производной в правой части уравнения движения:

. (9.54)

Для сохранения в силе граничных условий (9.23) обычно рассматривают турбулентный пограничный слой, начинающийся от кромки пластины (x =0, _г=0). Подобное допущение справедливо для внешне турбулизированного потока, в противном случае в конечные результаты вносится соответствующая поправка.

Для решения системы уравнений (9.20), (9.54) с граничными условиями (9.23) необходимо знание _т и его зависимости от y. Строгих теоретических выражений для _т, к сожалению, не имеется.

Воспользуемся, как и в разделе 5.3.2, полуэмпирической моделью пристенной турбулентности Прандтля. Напомним ее основные положения. В пристенной области _yx не зависит от поперечной координаты y. В вязком подслое можно пренебречь турбулентным переносом импульса, а вне его молекулярным. В турбулентной части пристенной области_т = y ( динамическая скорость, определяемая 5.76), что приводит к логарифмическому профилю скорости W_x(y).

Экспериментально установлено, что характер изменения тензора вязких напряжений поперек плоского пограничного слоя не зависит от режима движения, т.е. (y_г) для турбулентного слоя будет иметь такой же вид, как и для ламинарного (9.35). Анализ этого соотношения показывает, что с погрешностью менее 10% можно принять = 1 в области 0 < y_г < 0,2, т.е. считать эту область пристенной, так как при  = 1, ^в_yx = = const. Однако если экспериментально установлен логарифмический профиль скорости, то требование = 1 не обязательно. Достаточно вспомнить стабилизированное течение в трубе. Для внешней области пограничного слоя (0,2 < y_г < 1) логарифмический профиль скорости не соблюдается, но может быть использован степенной с показателем 1/7.

Таким образом, зависимости внутри турбулентного гидродинамического пограничного слоя приобретают вид

, ,, (9.55)

, ,

, (9.56)

, ,

, (9.57)

. (9.58)

Величины ,, W_*,  определены в разделе 5.3.2. Единственным неизвестным параметром является толщина гидродинамического пограничного слоя _г, так как динамическая скорость W_* может быть выражена через _г и известные величины при определении коэффициента импульсоотдачи. В соответствии с (4.10), а также (9.55)-(9.57) запишем

(9.59)

Учитывая, что

, (9.60)

можно получить

, (9.61)

. (9.62)

Подставив (9.55) (9.57) с учетом (9.62) в систему уравнений (9.20), (9.54) и проинтегрировав ее по dx и dy, можно найти _г(х). Недостатком зависимостей (9.55) (9.57) является неявный вид связи W_* с _г по (9.62), что затрудняет решение. Чтобы отыскать явный вид _г(x), можно заменить логарифмический профиль скорости в турбулентной части пристенной области (9.56) степенным (9.57). Эта замена требует расширения вязкого подслоя до = 12,54 в целях лучшей сходимости с экспериментом. Для такой функции решение получено в виде

, (9.63)

, (9.64)

или , (9.65)

, (9.66)

. (9.67)

Недостаток найденных выражений для с_f и  (9.64) (9.67) ограниченный диапазон их применимости Re_x = 510⁵  10⁷, что объясняется приемлемостью степенного профиля скорости с показателем 1/7 для пристенной области лишь в данном диапазоне изменений чисел Рейнольдса. Так как основное сопротивление переноса и импульса сосредоточено именно в пристенной области, о чем свидетельствует анализ соотношения (9.59), то для получения соотношений, позволяющих определять с_f и  при любых значениях Re_x > 510⁵ (турбулентный режим), имеет смысл использовать исходные зависимости (9.55)(9.57) с универсальным логарифмическим профилем скоростей в пристенной области. При этом можно использовать соотношение (9.63) для толщины гидродинамического пограничного слоя, так как оно в основном определяется характером изменения скорости во внешней, а не пристенной области пограничного слоя. Для = 11,6 можно найти отношение _г/_1,г и, подставив его в (9.59), получить соотношение для коэффициента трения Фаннинга:

, (9.68)

. (9.69)

Связь с_f с  и Nu_г,x выражается соотношением

. (9.70)

Таким образом, алгоритм определения параметров турбулентного гидродинамического пограничного слоя на плоской пластине состоит в следующем: по значениям скорости и вязкости набегающего потока ,, а также расстоянию от кромки пластины х находится значение критерия Re_x (9.40); если 510⁵ < Re_x < 10⁷, то возможно использование соотношений (9.64) (9.67) для определенияс_f и ; если же Re_x > 10⁷, то следует воспользоваться уравнениями (9.69), (9.70). Затем по (9.60) находится динамическая скорость W_*, а по (9.55) – (9.57) – профиль скоростей W_x(y); поток импульса на границе с пластиной определяется из уравнения импульсоотдачи (4.7), либо по (5.76) или (9.60); профиль потока импульса получается с использованием (9.35) дляи (9.63). Все вышеперечисленные величины являются локальными, т.е. определены при конкретном значении координатых. Как и в случае ламинарного пограничного слоя, возможно использование осредненных по длине пластины коэффициентов импульсоотдачи. Их явный вид может быть получен из (9.65):

, (9.71)

. (9.72)

Вид зависимостей W_x(y) / ,(y) приведен на рис. 9.5.

Перейдем к рассмотрению теплового турбулентного пограничного слоя. Уравнение энергии для него будет иметь вид

. (9.73)

Предполагая развитие турбулентного пограничного слоя от кромки пластины, можно оставить в силе граничные условия (9.24). Допущение о постоянстве теплофизических свойств потока позволяет не учитывать влияние теплообмена на гидродинамику и оставить в силе решение для поля скоростей, полученное для гидродинамического турбулентного пограничного слоя. Аналогия уравнений (9.54) и (9.73), а также граничных условий (9.23) и (9.24) предопределяет гидродинамическую аналогию рассматриваемого процесса теплоотдачи плоской пластины. Как уже отмечалось, экспериментальные исследования предоставляют возможность допустить равенство коэффициентов турбулентного обмена _т = а_т. В таком случае единственной причиной отличия безразмерных полей скорости и температурыможет быть различие коэффициентов молекулярного переноса. Если критерий Прандтля равен единице, то

, при . (9.74)

Если а < , т.е. Pr > 1, то внутри вязкого подслоя можно выделить тепловой подслой с преобладающим молекулярным механизмом переноса тепла. Толщина теплового подслоя _1,т в этом случае будет меньше толщины вязкого подслоя _1,г, так как возрастающий с расстоянием от стенки коэффициент турбулентной температуропроводности а_т превзойдет свой молекулярный аналог, а на меньших расстояниях, чем _т, станет больше , учитывая а_т = _т, а < . В соответствии с прандтлевской моделью пристенной турбулентности _т линейно зависит от y. Однако это справедливо лишь вне вязкого подслоя, т.е. при y  _1,г. Как показывают исследования, внутри вязкого подслоя затухание турбулентных пульсаций происходит по степенному закону с показателем степени m = 3 вблизи границ с твердой фазой и m = 2 для межфазных границ газ-жидкость, жидкость-жидкость. В соответствии с этим для рассматриваемого случая теплообмена с твердой пластиной можно записать

. (9.75)

Значение коэффициента b можно определить из условия равенства коэффициентов турбулентной вязкости на границе вязкого подслоя, найденных из (9.75) и по модели Прандтля (9.56):

. (9.76)

Проводя аналогию с вязким подслоем, на границе которого выполняется условие (9.76), толщину теплового подслоя можно определить как

. (9.77)

Естественно, что при а =  (Рr = 1) толщина теплового и вязкого подслоя будет одинакова _1,т = _1,г. Характер изменения коэффициентов турбулентного обмена в турбулентном пограничном слое без внешних источников турбулентности показан на рис. 9.4.

Максимальное значение _т,max/ достигается при y_г = 0,394 и определяется, как это можно показать из (9.57), (9.63), (9.64), соотношением (9.78), увеличиваясь от 47 при Re_x = 510⁵:

. (9.78)

Рис.9.4. Изменение коэффициентов турбулентного обмена в турбулентном пограничном слое на плоской пластине без внешних источников турбулентности

Теперь можно определить коэффициент теплоотдачи, полагая а_т = 0 в тепловом подслое и а = 0 за его пределами. В соответствии с (4.9) запишем

(9.79)

. (9.80)

При выводе формул (9.79), (9.80) учитывалось, что (y_г) = (y_г), =ac_p, _т = a_тc_p, _г = _т,  = 0,4. Нетрудно заметить, что отличие (9.79) от (9.59) обусловливается различным характером сопротивления переносу тепла и импульса в вязком подслое. При Pr = 1 эти отличия исчезают и  = c_p. Необходимые для расчета коэффициента теплоотдачи по (9.80) динамическая скорость W_* и коэффициент трения Фаннинга с_f находятся по соотношениям (9.60) и (9.69). Для степенного профиля скорости в турбулентной части пристенной области с показателем 1/7 выражение для  можно получить в явном виде:

(9.81)

Как и для ламинарного пограничного слоя, выполняется качественная зависимость (9.53), т.е.  ~, (Pr ~ 1/). Однако количественно эта зависимость становится иной.

При больших значениях критерия Re_x отношение _1,г/_г  0 и коэффициент теплоотдачи перестает зависеть от критерия Pr, а значит, и от коэффициента молекулярной теплопроводности, так как преобладающим становится турбулентный механизм переноса (знаменатель (9.81) стремится к единице).

Используя критерий _т-г, характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи, полученные результаты можно представить в виде

. (9.82)

В частности, для степенного профиля скорости из (9.75) получим

. (9.83)

Как видно из (9.82) и (9.83), при Pr = 1, _т-г,x = 1, т.е. соблюдается условие полной аналогии. Однако гидродинамическая аналогия для турбулентного и ламинарного слоев не идентична и (9.83) не совпадает с (9.48), т.е. аналогия Чилтона-Кольборна для турбулентного пограничного слоя не выполняется строго. В этом случае и показатель степениn1 в (4.75) при Re_x  .

Зная коэффициент теплоотдачи и, следовательно, поток тепла на границе раздела фаз, можно найти поле температуры в турбулентном пограничном слое. Из (4.3) следует

. (9.84)

Проведя интегрирование, получим поле безразмерной температуры

, (9.85)

, (9.86)

, (9.87)

, . (9.88)

Вид этой зависимости представлен на рис. 9.5.

Рис. 9.5. Профили относи-тельных температур, скорос-тей, потоков тепла и импульса в ламинарном и турбулентном пограничных слоях на плоской пластине

Итак, получены решения для гидродина-мического и теплового пограничного слоев на плоской пластине. Качест-венный характер получен-ных зависимостей спра-ведлив и для погранич-ных слоев, образующихся при обтекании более сложных поверхностей.