Глава 9. Теплообмен

В инженерной практике, как правило, решается задача расчета теплообменных аппаратов, суть которой состоит в определении межфазной поверхности, необходимой для передачи требуемого количества тепла от одного теплоносителя к другому. Находится эта поверхность из уравнения теплопередачи в интегральной форме (4.110), применение которого требует знания коэффициентов теплоотдачи и термического сопротивления стенки (4.103). Способы их определения, а также нахождение полей температур и тепловых потоков рассматриваются в данной главе. Там, где это возможно, искомые величины находятся из решения фундаментальных уравнений, составляющих исчерпывающее описание процессов переноса, в остальных случаях используются упрощенные математические модели или метод физического моделирования. Рассматриваются в основном стационарные условия процесса. Нестационарному теплообмену посвящен раздел 9.4.

Теплообмен, осуществляемый только за счет молекулярного механизма, т.е. в неподвижной среде, называется кондуктивным, а теплообмен в движущейся среде, т.е. при наличии конвективного и возможно турбулентного механизмов конвективным. Если к одному или вышеназванным механизмам переноса добавляется перенос тепла излучением, то такой теплообмен называют сложным.

9.1. Кондуктивный теплообмен

Стационарный теплообмен в неподвижной среде при постоянных значениях теплофизических величин (c_p,   = const) описывается уравнением Лапласа (2.48). Реальными системами, удовлетворяющими в достаточной мере вышеуказанным условиям, являются твердые тела. В газах и жидкостях неоднородность температуры вызывает неоднородность плотности, что под воздействием силы тяжести приводит к естественной конвекции и не позволяет считать среду неподвижной. Рассмотрим простейшие, наиболее часто встречающиеся случаи кондуктивного теплообмена.

Теплообмен в плоской стенке. Рассмотрим одномерный случай, когда температура изменяется лишь вдоль одной координаты, пусть х, тогда

.

Уравнение (2.48) для этого случая упрощается:

. (9.1)

Для его решения необходимо сформулировать граничные условия. Пусть толщина пластины в направлении х равна , а температуры стенок на границах пластины равны (см. рис. 9.1 а):

x = 0, T = T_ст,1; x = , T = T _ст,2, T _ст,1 > T _ст,2. (9.2)

Уравнение (9.1) совместно с граничными условиями (9.2) составляет исчерпывающее описание переноса тепла для рассматриваемого случая. Оно позволяет определить поле температуры в плоской стенке T(x) и тепловой поток q_x. Для нахождения общего решения уравнения (9.1) его необходимо дважды проинтегрировать по dx:

, T = C₁x + C₂. (9.3)

Константы интегрирования C₁ и C₂ определяются из граничных условий:

x = 0, T = C₂ = T_ст,1; x = , T = C₁ + T_ст,1 = T_ст,2, (9.4)

,

, (9.5)

Из (9.5) следует линейная зависимость поля температуры T(x). Воспользовавшись уравнением Фурье (1.38), можно найти тепловой поток q_x:

. (9.6)

Как видно из решения уравнения (9.6), называемого уравнением теплопроводности плоской стенки, тепловой поток q_x не зависит от координаты x, являясь постоянной величиной. Это несложно было предвидеть, ибо из закона сохранения энергии стационарного одномерного случая следует

. (9.7)

Отношение / носит название тепловой проводимости, а обратная величина / термического сопротивления стенки, которое было обозначено нами как r_ст в (4.103) Нетрудно показать, что для многослойной стенки суммарное сопротивление в стенке равно

. (9.8)

Теплообмен в цилиндрической стенке. Для решения этой задачи удобнее использовать цилиндрические координаты. Рассмотрим также одномерный случай изменения температуры лишь вдоль координаты r. Тогда

и уравнение (2.48) будет иметь вид (см. приложение 2.3)

. (9.9)

Граничные условия сформулируем следующим образом (см. рис. 9.1 б):

. (9.10)

Дважды интегрируя (9.9) по dr, найдем общее решение, а из граничных условий (9.10) определим константы интегрирования C₁ и C₂.

; ;. (9.11)

Из решения (9.11) следует нелинейная (логарифмическая) зависимость для поля температуры T(r) в цилиндрической стенке. Определим тепловой поток

. (9.12)

Как видно из уравнения (9.12), называемого уравнением теплопроводности цилиндрической стенки, тепловой поток зависит от координаты, уменьшаясь с возрастанием r. Это и понятно, так как при возрастании r увеличивается поверхность цилиндра, что приводит к уменьшению теплового потока при постоянной тепловой нагрузке (количестве тепла, передаваемого через стенку за единицу времени).

, (9.13) , (9.14)

. (9.15)

а) б)

Рис. 9.1. Поля температур, тепловых потоков и тепловых нагрузок в плоской а) и цилиндрической б) стенках

Зависимость q_r и F от r не позволяет использовать традиционную форму уравнения теплопередачи при теплообмене через цилиндрическую стенку. В этом случае обычно применяется интегральная форма уравнения теплопередачи с линейным коэффициентом теплопередачи K_т,L, отнесенным к единице длины, а не к поверхности цилиндра. Запишем локальные уравнения теплоотдачи для теплоносителей, расположенных внутри и снаружи цилиндра:

, (9.16)

. (9.17)

Решив уравнения (9.16), (9.17) и (9.15) относительно разности температур и сложив их с учетом неизменности тепловой нагрузки в радиальном направлении , получим модифицированное уравнение теплопередачи через цилиндрическую стенку в локальной форме, а проинтегрировав его по длине цилиндра, и в интегральной форме:

, (9.18)

, (9.18)

. (9.19)

В инженерных расчетах для тонкостенных цилиндров, к которым можно отнести большинство труб, с целью упрощения зачастую используют уравнения теплопередачи и теплопроводности плоской стенки. Так, при отличие тепловой нагрузки, найденной из (9.15) и рассчитанной по (9.13), (9.6) со средней поверхностью теплообменаF при в (9.13), не превышает 4%. Следует однако помнить, что величина теплового потокаq_r(r) будет изменяться при этом в раз.

Нами рассмотрены простейшие случаи теплообмена в неподвижной среде. Аналогичным образом можно получить решение уравнения (2.48) и для более сложных случаев.