10973

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

С. В. Соболь

Фрактальные параметры водных объектов

Монография

Нижний Новгород ННГАСУ

2019

ББК 26.22 С 54

Печатается в авторской редакции

Рецензенты:

Д. Б. Гелашвили – д-р биол. наук, профессор, заведующий кафедрой экологии ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный ун-т им. Н. И. Лобачевского»

Д. И. Иудин – д-р физ.-мат. наук, д-р биол. наук, ведущий научный сотрудник Института прикладной физики РАН, профессор кафедры ЮНЕСКО ННГАСУ

Соболь С. В. Фрактальные параметры водных объектов [Текст]: монография / С. В. Соболь; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2019. –

232с. ISBN 978-5-528-00344-3

Вкниге показано приложение элементов фрактальной теории к совокупному описанию морфометрических параметров природных и техногенных поверхностных водных объектов, климатических, гидрологических и геологических процессов, сопровождающих их существование.

Материал адресован исследователям водных объектов – инженерам, научным работникам, аспирантам, студентам различных специальностей.

ББК 26.22

Оглавление

~ 3 ~

~ 4 ~

Предисловие

В настоящее время фрактальная методология успешно используется в различных областях естествознания, и вот профессор С.В. Соболь – специа- лист-гидротехник – продемонстрировал перспективность теории фракталов в характеристике природных и техногенных водных объектов.

Надо отметить, что моделирование сложных геофизических систем, в частности, водных объектов, традиционно связано с большими трудностями. Сложность проблемы объясняется, прежде всего, масштабностью описываемых явлений: величины физических параметров, характеризующих водные системы, изменяются на несколько порядков от атомных расстояний, актуальных для процессов эрозии, до десятков и сотен километров, охватывающих береговые контуры. Широкомасштабный характер рассматриваемых явлений не только отражает их безусловную сложность, но и дает ключ к пониманию их основных закономерностей. Дело в том, что, согласно данным натурных измерений, широкомасштабная динамика геофизических систем очень часто облекается в универсальную форму скейлинга, когда в достаточно широком диапазоне пространственно-временных интервалов явление характеризуется свойством самоподобия. Пространственно-временной скейлинг проявляется в сильных, спадающих по степенному закону, корреляциях, которые типичны для критических явлений. Поэтому качественно динамика очень многих геофизических систем производит впечатление самоорганизующегося и самонастраивающегося критического режима. Явления такого рода были объединены недавно общим наименованием систем с самоорганизованной критичностью (self-organized criticality). В режиме самоорганизованной критичности система оказывается сложной в том смысле, что для нее не существует единственного характерного размера событий: нет ни временного, ни линейного масштаба, которые бы управляли эволюцией системы. И хотя динамический отклик системы сложен, упрощающим аспектом поведения является то, что его статистические свойства описываются в некотором диапазоне параметров простыми степенными законами. Последнее обстоятельство делает актуальным применение в задачах моделирования геофизических и экологических систем современных методов фрактальной геометрии. Именно такой подход последовательно развивается автором книги.

Задача, которая решена в книге, отнюдь не тривиальная, поскольку специфический математический аппарат фрактального анализа мог способствовать тому, чтобы читатель «за деревьями не увидел леса». Однако благодаря

~ 5 ~

прекрасному владению материалом, а также лаконичному, но образному стилю изложения, автору удалось ярко и доходчиво изложить суть основных положений теории фракталов. Круг вопросов, рассмотренных в книге далеко не исчерпывающий, он ограничен ее объемом, но тщательно подобран и дает, в первом приближении, отчетливую картину достижений и перспектив фрактального анализа в гидротехнике и гидрологии. В книге последовательно рассматриваются вопросы основ теории фракталов, фрактальности гидрографической сети, береговой линии, водного зеркала водоемов, подводного и надводного рельефа, временных рядов данных, а также климатических, гидрологических и геологических процессов. Следует подчеркнуть удачное оригинальное решение автора – снабдить книгу приложением, в котором читателю, а это адресовано в первую очередь молодежи, начинающей свой путь в инженерной практике, предлагается самостоятельно вычислить некоторые фрактальные параметры крупных водных объектов России, например, определить фрактальную размерность береговой линии архипелага Соловецких островов в Белом море, или коэффициент плановой формы Ладожского озера, или фрактальную размерность речной сети бассейна Куйбышевского водохранилища.

Благодаря своей актуальности, продуманному и сбалансированному соотношению теоретических основ и практических задач применения фракталов в науке и технике, книга, несомненно, найдет своего читателя как в среде специалистов, так и в бакалавриате, магистратуре, аспирантуре естественнонаучных специальностей вузов.

Заведующий кафедрой экологии Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, доктор биологических наук, профессор

Д.Б. Гелашвили

Ведущий научный сотрудник Института прикладной физики РАН, профессор кафедры ЮНЕСКО ННГАСУ, доктор физико-математических наук, доктор биологических наук

Д.И. Иудин

~ 6 ~

Введение

Вприроде широко распространены фрактальные структуры, морфология

иповедение которых демонстрируют самоподобие при изменении простран- ственно-временных интервалов или, как говорят, масштабную инвариантность. Признаки самоподобия можно найти в различных, на первый взгляд, объектах или процессах. Крона дерева, система водотоков речного бассейна, береговая линия водоема, фильтрация воды сквозь грунт, грозовой электрический разряд, лесной пожар, сейсмическая активность – все это проявления самоподобия. Русские деревянные матрешки – его красивая искусственная иллюстрация.

Примеры фрактальных структур: грозовой электрический разряд; крона дерева; сосудистая система человека

Образно выразился один из математиков: «Как выяснилось, все мы живем с фрактальными артериями неподалеку от фрактальных речных систем, собирающих влагу со склонов фрактальных гор под фрактальными облаками и катящих свои воды к фрактальным берегам морей и океанов» [Шредер, 2001].

Математическим выражением самоподобия выступает простая степенная функция ( ) = ∙ , где всего одно число – целочисленный или дробный показатель степени − характеризует сложную итерационную процедуру рождения фрактальной структуры – восхождения от малого к большому и от простого к сложному [Иудин, 2012].

~ 7 ~

Исследованием фрактальных структур занимается фрактальная геометрия

–одно из направлений современной математики, фундаментальные и есте- ственно-научные аспекты которого впервые нашли отражение в трудах работавшего в США математика Бенуа Мандельброта (Benoot B. Mandelbrot. 1924

–2010) [Mandelbrot, 1977, 1982; Мандельброт, 2002; Розенберг, 2011]. Он предложил термин «фрактал» (fractal), в переводе означающий дробный, ломаный, фрагментарный.

Б.Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы.

New York, 1982. Москва, 2002.

Традиционные методы геометрии основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами – линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. Исследуемые объекты, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. Это приводит к утрате части информации об их свойствах и поведении.

Фрактальная геометрия – это математическая теория, обосновываемая количественными методами. Использование элементов фрактальной методологии в теоретических построениях необходимо предполагает предварительное подтверждение самого факта фрактальности исследуемого объекта. Методы фрактальной геометрии позволяют объяснить многие явления при решении насущных практических задач, ранее представлявшиеся необъяснимыми. Спе-

~ 8 ~

циалисты говорят о фрактальной геометрии не как о «чистой» геометрической теории, а скорее, как о новом взгляде на известные вещи, заставляющем поновому воспринимать привычный «евклидовый» мир [Гелашвили, 2013].

Например, топология не видит разницы между различными береговыми линиями: топологическая размерность береговой линии равна топологической размерности окружности и обе они равны 1. Однако, береговая линия – это фрактал. Во фрактальной геометрии различные береговые линии имеют различные размерности от 1 до 2 [Мандельброт, 2002].

В книге мы показываем применение методов фрактальной теории в совокупном описании различных параметров природных и техногенных водных объектов. Насколько известно, до сих пор такую задачу никто перед собой не ставил. Часть приведенных результатов имеет конкретную практическую реализацию, другая носит информационный или методический характер.

Ограничивающим фактором здесь представляется довольно сложный математический аппарат, являющийся барьером для традиционных исследователей этих объектов, в основном, специалистов – гидротехников, а также геологов, географов, геоэкологов. По своей направленности работа адресована преимущественно первым из названных. Она без перегрузки текста математическими выкладками призвана популяризовать фрактальные идеи среди них и облегчить приложение элементов фрактального анализа в экспериментальнотеоретических исследованиях и в инженерных оценках.

Компактно собранный материал позволит также содействовать вооружению студентов, подготавливаемых по упомянутым специальностям в высшей школе, представлениями о фрактальности водных объектов и процессов, сопровождающих их существование.

Данной книгой реализовано некое авторское увлечение (hobby). При ее написании мы обращались к первоисточникам, последующим публикациям и собственным разработкам. Претензий на то, что написанное – истина в какой угодно инстанции, у автора нет. Он не был намерен манипулировать фактами или иным способом вводить читателя в заблуждение, хотя вполне мог в отдельных вопросах заблуждаться сам. Более того, представленный вниманию читателя текст не претендует на объективность, он субъективен.

Автор благодарен известным российским специалистам по теории фракталов и ее приложениям в экологии и физике Давиду Бежановичу Гелашвили и Дмитрию Игоревичу Иудину, взявшим на себя труд научного рецензирования рукописи, за их профессиональные и уместные замечания и рекомендации, оказавшиеся весьма полезными для улучшения качества книги.

Замечено, что в науке, как и в других формах жизни общества, мода игра-

ет привлекательную, но не всегда конструктивную роль. Это имеет отношение

~ 9 ~