10330
.pdf
[Введите текст]
Рис. 39.2
Тогда нормальные векторы |
в этой точке к кривой g(x, y) 0 и к соответ- |
|||||||||||||||
ствующей линии уровня |
f (x, y) C* коллинеарны. Эти векторы являются |
|||||||||||||||
градиентами функций f |
и |
g |
в точке касания: |
|
|
|
||||||||||
f (x0 |
,y0 ) |
|
|
f (x0 , y0 ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
= fx ; |
f y |
||
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
g(x ,y ) |
|
|
g(x , y |
) |
|
= gx ; gy |
|||||||||
|
|
0 0 |
|
; |
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
f y |
|
|
||
Из условия коллинеарности этих векторов |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
g |
|
g |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
следуют равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx gx 0 |
|
|
|
|
|
(39.2) |
||||||
|
|
|
|
f |
g |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, условия (39.2) выражают необходимые условия условного экстремума. Образовав функцию Лагранжа
F (x, y, ) f (x, y) g(x, y) ,
убеждаемся, что условия (39.2) совпадают с необходимыми условиями экстремума этой функции.
Пример. Найти экстремумы функции f (x, y) x2 |
y2 при условии, |
что её аргументы связаны соотношением 5x2 6xy 5y2 |
32 0 . |
Образуем функцию Лагранжа |
|
F(x, y, ) x2 y2 ( 5x2 6xy 5y2 32) .
280
[Введите текст]
Приравнивая к нулю её частные производные, получаем следующую систему для нахождения координат стационарных точек
|
x (5x 3y) 0 |
|
||||
|
y ( 3x 5 y) 0 |
|
||||
|
|
|||||
|
5x |
2 |
6xy 5 y |
2 |
32 |
0 |
|
|
|
||||
Исключаем из первых двух уравнений параметр , разделив одно из них на другое
|
|
|
|
k 3 5k , |
k |
y0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 3k |
|
x0 |
|
|
|
|
|||||||||
Откуда |
k 1 или y0 |
x0 . Третье уравнение системы даёт возможность |
||||||||||||||||||||
найти |
конкретные значения координат стационарных точек. В случае |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y0 |
x0 |
находим точки |
( 2 |
|
2; 2 2; 0,5 ), ( 2 2; 2 |
|
2; 0,5 ) . А если |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y0 |
x0 , то получаем точки |
( 2; |
|
2; 1 |
8 ) , ( 2; |
2; 1 8 ) . |
||||||||||||||||
|
Мы не касаемся вопроса о достаточных условиях экстремума в общем |
|||||||||||||||||||||
случае. Его исследование завело бы нас слишком далеко. Как и в случае безусловного экстремума, в практических приложениях обыкновенно заранее известно, что экстремум существует и каков его характер. Так, например, если на нашу задачу посмотреть с геометрической точки зрения (см. рис. 39.3), то мы находим на эллипсе
5x2 6xy 5y2 32 0
точки, наиболее удалённые от начала координат и наиболее близкие к нему, т.к. функция
|
|
|
|
|
f (x, y) x2 y2 |
|
|
|
|
|
||||||
это квадрат искомого расстояния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что в точках |
A ( 2 |
2; 2 |
2 ) |
и B ( 2 2; 2 2 ) дости- |
||||||||||||
гается максимум fmax OA OB 4 , и отрезок |
AB 8 это большая ось эл- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
липса. В точках C ( 2; 2 ) и |
D ( |
2; |
2 ) |
расстояние от начала коор- |
||||||||||||
динат до точек эллипса минимально fmin OC OD 2 , и отрезок CD 4 является малой осью эллипса. Более того, мы знаем направление осей эллипса. Большая ось эллипса образует угол 450 с осью абсцисс. Таким образом, в системе координат x1Oy1 уравнение эллипса имеет вид
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 . |
|
16 |
4 |
||||
|
|
||||
281
[Введите текст]
Решая задачу на условный экстремум, мы «попутно» привели уравнение эллипса 5x2 6xy 5y2 32 0 к каноническому виду.
Рис. 39.3
282
