10330

[Введите текст]

Рис. 28.2

Рассмотрим произвольную плоскость z h (где h – любое число), параллельную xOy . Сечение исходной поверхности (28.1) этой плоскостью

задаётся уравнением

«самый крупный» эллипс образуется в сечении координатной плоскостью xOy . Аналогичная картина получается в сечениях поверхности (28.1) плос-

костями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz . Отметим, что на плоскости нет точек, отвечающих условию z c . Т.е.

у поверхности, которую мы строим, нет пересечения с плоскостями z h

200

жаем рисунком 28.2. Вполне естественно, что эта поверхность носит название «эллипсоид» – по названиям сечений.

Эллипсоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями эллипсоида. Если две из трёх полуосей одинаковы, то, эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Если a b c , то уравнение (28.1) определяет сферу.

28.2. Гиперболоиды. Рассмотрим уравнение однополостного гипер-

болоида

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, опреде-

ляемой этим уравнением, получаются гиперболы, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы. В целом поверхность выгля-

дит, как бесконечная трубка, расширяющаяся в обе стороны от горлового эллипса (рис. 28.3).

Рис. 28.3

Однополостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.

201

[Введите текст]

Если a b, то однополостный гиперболоид становится поверхностью вра-

Oz , которую она не пересекает.

Однополостный гиперболоид обладает интересным геометрическим свойством, которое можно обнаружить, если представить уравнение (28.2) в виде

В ней и - некоторые числа, не равные одновременно нулю. При фиксированных значениях и уравнения (28.4) задают в пространстве конкретную прямую как пересечение плоскостей. Меняя и , мы полу-

чаем бесконечную систему прямых. Если перемножить уравнения (28.4), то получится уравнение (28.3) Это означает, что каждая из прямых лежит целиком на однополостном гиперболоиде. Можно доказать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит прямая, определяемая системой (28.4). То есть прямые (называемые прямолинейными образующими однополостного гиперболоида) покрывают его поверхность целиком. Поверхности, составленные из прямых, называют линейчатыми. Ясно, что конусы и цилиндры относятся к этому классу. Но для однополостного гиперболоида геометрически такое свойство не очевидно. Тем не менее, как мы убедились, однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью. Более того, он обладает двумя системами прямолинейных образующих. В этом случае говорят, что поверхность является линейчатой поверхностью второго порядка (рис. 28.3).

Вторую систему уравнений прямолинейных образующих однополостного гиперболоида можно получить по аналогии с системой (28.4):

202

[Введите текст]

Знаменитый русский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853 - 1939) использовал в строительной технике возможность образования однополостного гиперболоида прямыми линиями. Ему принадлежит идея создания металлических конструкций из балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Эти конструкции обладают большой жёсткостью, прочностью и малым весом. Они применяются для устройства водонапорных башен и высоких радиомачт.

В 1896 году на Всероссийской промышленной и художественной выставке в Нижнем Новгороде были выставлены сетчатые конструкции, изготовленные по проекту В.Г. Шухова: павильоны с висячими покрытиями и павильоны с сетчатыми оболочками, а также гиперболоидная водонапорная башня. Это было моментом рождения рациональной архитектуры, использовавшей новаторские конструктивные формы. В Нижегородской области сохранились подлинные сооружения В.Г. Шухова, являющиеся памятниками инженерного искусства мирового уровня.

Рассмотрим далее уравнение двуполостного гиперболоида

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, пересекающиеся с осью Oz . В сечениях z h , параллельных координатной плоскости xOу ,

при h c будут эллипсы.

Рис. 28.4

203

[Введите текст]

Но если рассмотреть сечение координатной плоскостью xOу , то полу-

верхность не пересекается с координатной плоскостью xOу , также как со всеми плоскостями z h при h c . Следовательно, она состоит из двух от-

дельных «полостей», имеющих вид бесконечных выпуклых чаш (рис. 28.4). Двуполостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a b, то двуполостный гиперболоид становится поверхностью вра-

щения и может быть получен вращением гиперболы cz22 by22 1 вокруг оси

Oz , которую она пересекает.

Можно получить двуполостный гиперболоид вращения с уравнением

В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности,

определяемой этим уравнением, получаются пересекающиеся прямые, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы (рис.28.5).

Эта поверхность называется конусом.

Рис. 28.5

204

[Введите текст]

Если a b , то конус становится поверхностью вращения (в этом случае он называется круговым конусом) и может быть получен вращением вокруг

Особенностью конуса является то, что любое его сечение плоскостью, не проходящей через вершину, есть эллипс, гипербола или парабола (в зависимости от наклона секущей плоскости). Поэтому эти классические линии со времён Древней Греции называют коническими сечениями. Часто встречаясь в явлениях природы и деятельности человека, эти линии приобрели особое значение после открытия, сделанного из наблюдений И.Кеплером в 1609 году и теоретически обоснованного И.Ньютоном в 1687 году: планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям,

водном из фокусов которого находится Солнце.

28.4.Параболоиды. Рассмотрим уравнение эллиптического парабо-

лоида

2z x2 y2 , p q

где параметры p и q положительны. В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности, определяемой этим уравнением, получаются параболы, а в сечениях z h при h 0 – эллипсы (рис. 28.6).

Рис. 28.6

205

[Введите текст]

Эллиптический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ). При p q параболоид становится поверхностью вращения (в

этом случае он называется параболоидом вращения) и может быть получен вращением параболы вокруг своей оси.

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида

где параметры p и q положительны. В сечении координатной плоскостью xOz поверхности, определяемой этим уравнением, получается «восходящая» парабола с уравнением x2 2 pz . В сечении координатной плоскостью yOz получается «нисходящая» парабола с уравнением y2 2qz . Аналогично, каждая плоскость y h пересекает поверхность по «восходящей»

параболе, а каждая плоскость x h – по «нисходящей» параболе. В сечениях, параллельных координатной плоскости xOy , получаются гиперболы.

Гиперболический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ) и имеет вид «седла» (рис. 28.7).

Поверхность гиперболического параболоида можно также получить «механическим» образом. Пусть одна парабола z x2 расположена в плоскости xOz , а другая парабола z y2 – в перпендикулярной ей плоскости yOz . «Заставим» теперь нижнюю параболу скользить вершиной по верхней параболе, перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта скользящая парабола и образует гиперболический параболоид.

Рис. 28.7

206

[Введите текст]

Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью – его можно сформировать из прямых (рис. 28.8).

Рис. 28.8

Гиперболический параболоид с уравнением (28.6) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями

207

[Введите текст]

Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление

Лекция 29. Неопределенный интеграл

Наряду с задачей дифференцирования функции, в которой для заданной функции f (x) требуется найти ее производную f (x) , часто приходится

решать обратную задачу, называемую интегрированием функции: для заданной функции f (x) найти такую функцию F (x) , производная которой

совпадает с функцией f (x) , т.е. F (x) f (x) . Например, предполагая, что известно уравнение движения S S (t) , т.е. закон изменения пути с течением времени, можно найти скорость v(t) S (t) . Если, напротив, задана скорость как функция времени v v(t) , то возникает задача об определении пройденного пути S в зависимости от времени, т.е. по функции v v(t) «восстановить» функцию S(t) , для которой v v(t) является производной S (t) v(t) . В данной лекции рассмотрим решение этой обратной задачи.

Происхождение термина интегрирование связано с именем Я. Бернулли (1654-1705). Вероятно, он произвёл термин от латинского integro – приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл. Функ-

ция F (x) называется первообразной функции f (x) на промежутке (a,b) , если для любого x (a,b) выполняется равенство

dF (x) f (x) . dx

К сожалению, это определение не даёт способа нахождения первообразной F (x) данной функции f (x) . Однако для основных элементарных функ-

ций эта задача разрешима, поскольку известны их производные. Например,

F (x) sin x C , где C – любое число.

Из этого примера следует, что одна и та же функция имеет множество первообразных. Возникает вопрос – как найти всё это множество? Покажем,

208

[Введите текст]

что множество функций F (x) C , где F (x) – некоторая первообразная функции f (x) , а C – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные функции f (x) .

(x) F1 (x) F2 (x) f (x) f (x) 0 ,

то по формуле Лагранжа конечных приращений получаем, что (x) C , и,

следовательно, F1 x F2 (x) C .

Таким образом, достаточно найти одну первообразную F (x) данной функции f (x) , чтобы знать всё множество её первообразных F (x) C .

Для обозначения рассматриваемой операции – нахождения функции F (x) из равенства

dF (x) f (x)dx ,

был введён символ , применение которого к указанному равенству восстанавливает множество всех первообразных данной функции f (x) (по-

добно тому, как знак обозначает операцию нахождения квадратного корня). Для краткости совокупность всех первообразных функции f (x) называется её неопределенным интегралом и обозначается так

f (x) dx F (x) C ,

где C – некоторая постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием. При этом функция f (x) называется

подынтегральной функцией, f x dx – подынтегральным выражением, а знак– знаком интеграла.

Поставим вопрос: для всякой ли функции f (x) существует первообраз-

ная, а, следовательно, и неопределенный интеграл? Сформулируем без дока-

зательства достаточное условие интегрируемости: если функция f (x) не-

прерывна на интервале (a,b) , то на этом множестве у функции f (x) суще-

ствует первообразная, а, значит, и неопределённый интеграл. Ниже будем говорить об интегралах непрерывных функций, которые заведомо существуют.

209