10322

[Введите текст]

Задача 3. Найти проекцию точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) на плоскость

П : Ax By Cz D 0 .

Напомним, что проекцией точки M 0 на плоскость называют основание перпендикуляра M1 , опущенного из этой точки на плоскость (см.

рис.14.3). Очевидно, что эта проекция будет точкой пересечения плоскости П и прямой (14.1), проходящей через точку M 0 перпендикулярно к этой

плоскости.

Рис. 14.4

100

[Введите текст]

Это подсказывает и путь решения задачи: искомая проекция M 2 находится как точка пересечения плоскости (14.2) и прямой L .

Задача 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) параллельно двум неколлинеарным векторам

a {a1, a2 , a3} и b {b1,b2 ,b3}.

0

Рис. 14.5

Ясно, что в качестве нормального вектора к требуемой плоскости можно взять векторное произведение данных векторов, т.е.

Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .

Эту же задачу можно решить и другим способом. Пусть M (x, y, z) –

произвольная точка требуемой плоскости. Тогда три вектора M0M , a, b –

компланарны, и уравнение плоскости получается из условия их компланарности, а именно

Задача 6. Составить уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую. Пусть прямая L задана уравнениями

101

[Введите текст]

A1x B1 y C1z D1 0,A2 x B2 y C2 z D2 0.

Уравнение пучка плоскостей будет иметь вид

в котором – некоторый параметр. Действительно, если точка лежит на данной прямой L , то её координаты обращают в ноль оба уравнения, которыми задана прямая, а, значит, удовлетворяют уравнению (14.3) при любом. Меняя значения , будем получать различные плоскости, проходящие через эту прямую.

Выберем, например, из этого пучка плоскость, перпендикулярную данной плоскости П

Рис. 14.9

Для этого представим уравнение пучка в виде

Из перпендикулярности плоскостей (14.4) и (14.5) следует, что их нормальные векторы взаимно перпендикулярны, т.е.

A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 0 .

Отсюда находим значение , соответствующее искомой плоскости.

Задача 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M1 (x1, y1, z1 ) и прямую.

102

[Введите текст]

Если прямая задана каноническими уравнениями

то задача сводится к предыдущей, если в качестве вектора b взять направляющий вектор прямой, а в качестве другого – вектор a M 0M1 .

Рис. 14.6

Если же прямая задана как пересечение двух плоскостей

A1x B1 y C1z D1 0

A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

то естественнее воспользоваться уравнением пучка плоскостей «порождённых» этой прямой

A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0 .

Неизвестное значение определяется из условия прохождения одной из плоскостей этого пучка через данную точку (см. рис. 14.7).

A1x1 B1 y1 C1z1 D1 A2 x1 B2 y1 C2 z1 D2 0.

103

[Введите текст]

Рис. 14.7

Задача 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

= { , , }

0

1

Рис. 14.8

Эта задача также сводится к задаче об уравнении плоскости, проходящей через заданную точку M 0 параллельно двум неколлинеарным векторам

a M0M1 и s m, n, p .

Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Лекция 15. Функция

104

[Введите текст]

Этот раздел математики изучает функциональные зависимости, которые в окружающем нас мире встречаются на каждом шагу: температура как функция времени, давление как функция высоты и т.д. Так что же такое функция в математическом смысле?

15.1.Функция и способы её задания. Пусть заданы два множества X

иY произвольной природы. Допустим, что каждому элементу x некоторого подмножества D X поставлен в соответствие определенный эле-

ветствия. Множество D называется областью определения функции, а множество всех элементов y , которые соответствуют элементам множества

D , называется областью значений этой функции. Будем называть x аргументом функции, а y – значением функции.

Рис. 15.1

Далее мы будем рассматривать числовые множества X и Y . Примером функции служит зависимость y x , где X и Y – множества всех дей-

ствительных чисел, а область определения и область значения – все неотрицательные числа. В этой функции соответствие f задано операцией из-

влечения квадратного корня.

Если функция задана на множестве натуральных чисел, то такая функция называется последовательностью и обозначается символом {an}, кото-

рый указывает элемент an , соответствующий n . Например, функция фак-

соответствие число, равное произведению всех натуральных чисел от 1 до n .

Последовательность кроме задания формулой своего общего члена an

может быть задана иначе. Например, указывается несколько её первых членов, а остальные определяются этими заданными членами по тому или иному правилу. Так определяются знаменитые числа Фибоначчи (назван-

105

[Введите текст]

ные в честь итальянского математика Леонардо Пизанского (1180–1240), которого называли также Фибоначчи (Fibonacci – сокращённое filius Bonacci, т.е. сын Боначчи)

1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21,

Первые два члена этой последовательности a1 1, a2 1 , а каждый следующий определяется как сумма двух предыдущих, т.е.

an 2 an 1 an .

Функция может быть задана аналитически с помощью одной или не-

Также может быть указан алгоритм, по которому для данного элемента x находится соответствующий ему элемент y (например, E(x) – «целая

часть числа x »: её значения легко находятся E(2) 2, E(2) 1, E( ) 3,

хотя никакой формулой не задаются), или соответствие задано в виде таблицы (например, меню в ресторане), или, наконец, функция может быть задана графически. Под графиком функции в декартовой системе координат понимается множество точек (x, f (x)) .

15.2. Обратная функция. Для данной функции введем понятие обратной функции как такого соответствия f 1 из множества Y в множество

X , что в результате последовательного выполнения отображений f и f 1 получим тождественное преобразование f 1( f (x)) x (см. рис. 15.2)

Рис. 15.2

Интуитивно ясно, что не любые функции имеют обратные, а только те, у которых различным элементам x1 x2 соответствуют различные элементы

f (x1 ) f (x2 ) , т.е. не должно быть ситуации, показанной на рис. 15.1. Если функция не имеет обратной функции во всей области определения, то она

106

[Введите текст]

может иметь обратную функцию на некотором подмножестве области определения. Так, функция y x2 не имеет обратной во всей области определе-

ния, но имеет обратную функцию x y в области неотрицательных чисел

(см. рис. 15.3).

Рис.15.4

В этом случае график обратной функции окажется симметричным гра-

107

[Введите текст]

/ 2 x / 2 . Обратную к ней называют, как известно, функцию y arcsin x , ее график представлен на рис. 15.4.

15.3. Предел последовательности. Рассмотрим важное понятие предела функции и введем его сначала для функции натурального аргумента, т.е. для последовательности.

Пределом последовательности { xn } называется конечное число a ,

если для любого сколь угодно малого числа 0 существует такое нату-

Обозначение предела ввёл И. Ньютон в 1686г. Символ lim является сокращением латинского слова limes – граница, граничный камень.

Определим -окрестность точки a как множество всех x , удовлетворяющих неравенству x a , что эквивалентно двойному неравенству (см. рис. 15.5 )

a x a

Рис. 15. 5

Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую -окрестность точки a мы не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (см. рис.15.5). Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. Часто «стремление» после-

[Введите текст]

т.е. последовательность модулей отклонения члена последовательности xn

от своего предела a стремится к нулю с увеличением номера n (модуль – лат. modulus –мера).

Примером сходящейся последовательности служит xn 1/ n . Действи-

Примером расходящейся последовательности служит последовательность xn ( 1)n .

Выше было дано определение предела как некоторого числа, к которому сходится последовательность. Определим так называемые бесконечные пределы. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M 0 существует такое натуральное число N , что для всех членов последовательности с номерами

n N выполняется неравенство xn M . В краткой символической записи это выглядит так:

lim | xn | ( M 0)( N) ( n N) (| xn | M ) .

n

Среди бесконечно больших последовательностей будем различать последовательности, стремящиеся к бесконечности определённого знака.

Дадим в краткой символической форме определения таких последовательностей:

lim xn ( M 0)( N )( n N ) (xn M ) ,

n

lim xn ( M 0)( N ) ( n N )( xn M ) .

n

Здесь для краткости употребляется тот же символ lim и слово «пре-

n

дел», хотя следует всегда помнить, что символы , не являются чис-

лами, а введены лишь для упрощения записи.

Последовательность, стремящуюся к бесконечности, принято называть бесконечно большой, а последовательность, сходящуюся к нулю, –

бесконечно малой.

Лекция 16. Свойства пределов. Второй замечательный предел

109