10301

[Введите текст]

нахождении предела функции аналогично тому, как это делалось при нахождении пределов последовательностей.

17.2. Первый замечательный предел.Продемонстрируем в качестве примера нахождение так называемого первого замечательного предела

графическую иллюстрацию (см. рис. 17.3). Применим это неравенство для оценки площади прямоугольника ABCD

120

17.3. Непрерывность функции.Понятие предела функции позволяет сформулировать такое важное свойство функции как ее непрерывность в данной точке. Интуитивно ясно, что непрерывной зависимости соответствует ситуация, когда «малое» изменение аргумента вызывает «малое» изменение значения функции. Геометрически это означает, что график этой функции рисуется, не отрывая карандаша от бумаги, т.е. непрерывно. Математически это понятие определяется следующим образом.

Функция f (x) непрерывна в точке x0 , если эта точка вместе с некоторой ее окрестностью входит в область определения функции и

121

[Введите текст]

т.е. при нахождении предела непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами. Пример использования этого свойства непрерывной функции рассмотрим в связи с отысканием следующего предела

Здесь мы поменяли местами порядок взятия предела и вычисления функции и применили второй замечательный предел.

Условие (17.3) также может быть записано в эквивалентном виде

стремится к нулю, когда приращение аргумента x x x0 стремится к нулю, т.е.

lim f 0 .

x 0

Из определения следует, что для непрерывной в точке функции предел слева равен пределу справа и равен значению функции в этой точке

Если нарушается хотя бы одно из этих равенств и оба односторонних предела существуют и конечны, то говорят, что в данной точке функция имеет разрыв первого рода. В остальных случаях нарушения условий непрерывности, т.е. когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, у функции в этой точке разрыв

второго рода. Например, функция y | xx | непрерывна во всех точках области определения, а в точке x0 0 «терпит» разрыв первого рода.

122

[Введите текст]

Отметим так называемый устранимый разрыв, когда односторонние пределы в точке конечны и равны, а в самой точке функция или не определена или ее значение не совпадает с односторонними пределами. В этом случае можно или доопределить или изменить значение функции в этой точке так, чтобы ее значение было равно односторонним пределам (17.4), тем самым получив непрерывную функцию. Например, функция

y sinx x не определена в точке x0 0 . Учитывая первый замечательный предел, доопределим её до непрерывной функции следующим образом:

17.4. Свойства непрерывных функций.Функция называется

непрерывной в данном интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения. Соответствующие свойства предела функции позволяют утверждать, что сумма, произведение, частное (когда знаменатель не равен нулю) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Покажем, что сложная функция, представляющая собой

т.е. сложная функция f ( (x)) – непрерывна.

123

[Введите текст]

Очевидно также, что обратная к непрерывной функции тоже непрерывна (напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла).

Если непрерывная функция на концах замкнутого промежутка принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой функция обращается в ноль (см. рис.17.5).

Рис.17.5

Это свойство применяется для поиска решения уравнения f (x) 0 в

заданном промежутке. Обычно задают допустимую погрешность , с которой этот корень нужно вычислить. Это значит, что нужно найти такой

крайней мере, один корень, видно из следующего представления этой функции

f (x) x3 (1 3x x32 ) .

При больших по абсолютной величине значениях x знак функции f (x) определяется первым из множителей. Поэтому при x , f (x) 0 , а при x , f (x) 0 . Значит, график непрерывной функции, по крайней мере, один раз пересечёт ось абсцисс. Сделаем попытку графического решения уравнения, представив его следующим образом: x3 3(x2 1) .

124

Рис.17.6

Вычислим с точностью до 0,1корень уравнения из промежутка [1;1,5]. Воспользуемся так называемым методом деления пополам. Подсчитаем значения функции в «средней» точке этого промежутка f (1,3) 0,127 0 и

на одном из его концов f (1,5) 0,375 0 . Следовательно, корень находится в промежутке 1,3 x 1,5. Снова находя значение функции в средней точке f (1,4) 0,136 0 , убеждаемся, что корень находится в промежутке 1,3 x 1,4 . Таким образом, поставленная задача решена. В дальнейшем мы познакомимся с более совершенными методами вычисления корней, где для достижения цели не требуется столь частого вычисления значений функции.

125

[Введите текст]

Рис. 17.7

Непрерывная функция ограничена на замкнутом промежутке и принимает свои наименьшее и наибольшее значения в этом промежутке m f (x1 ) f (x) f (x2 ) M .

Если функция определена на открытом промежутке, то она может быть неограниченной в этом промежутке. Например, функция f (x) 1/ x не

ограничена в промежутке (0,1) . В открытом промежутке функция, будучи

даже ограниченной, может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений. Например, функция f (x) x в промежутке (0,1) (см. рис. 17.8

a ).

Если промежуток замкнут, но функция имеет разрыв в некоторой точке x0 , то функция может быть как неограниченной (в случае разрыва второго

рода), так и может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений в заданном замкнутом промежутке (см. рис. 17.8 b ).

Рис. 17.8

Если непрерывная функция положительна (отрицательна) в некоторой точке, то существует окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак.

На рис. 17.7 в точке x1 функция отрицательна и существует некоторая

окрестность этой точки, в которой знак функции сохраняется. Для разрывной функции, как это видно из следующего рисунка, это не так.

Рис. 17.9

126

[Введите текст]

Значение функции в точке x0 положительно, но в любой малой

окрестности этой точки функция принимает только отрицательные значения.

Лекция 18. Производная

18.1. Физический, геометрический и математический смысл производной.Одним из основных понятий математического анализа является понятие производной функции. Прежде чем привести его математическое определение, рассмотрим несколько задач, приводящих к этому понятию.

Первая задача связана с определением мгновенной скорости движущейся точки. Пусть известен закон движения точки x(t) , движущейся

по прямой O x . Если точка движется равномерно, т.е. за равные

промежутки времени она проходит одинаковые расстояния, тоее скорость равна

Если точка движется неравномерно, то что мы будем понимать под скоростью точки?

За промежуток времени [t,t t] точка проходит расстояниеx x(t t) x(t) . Если величина t достаточно мала, то можно считать,

что в этом промежутке точка движется равномерно и тогда приближенно ее скорость равна

v(t) xt .

Величина v(t) тем ближе к скорости в момент времени t , чем меньше

t . Скоростью точки в момент времени t назовемпредел этого отношения, когда длина интервала времени t стремится к нулю, т.е.

v(t) lim x(t t) x(t) .

t 0 t

Вторая задача связана с понятием плотности массы тонкого неоднородного стержня. Пусть поперечное сечение стержня мало по сравнению с его длиной. Тогда плотность массы (x) этого стержня в точке

127

[Введите текст]

x lim m x x m x .

x 0 x

Третья задача связана с проведением касательной прямой к заданной кривой.

проходящую через данную точку перпендикулярно касательной. Пусть касательная образует с положительным направлением оси O x угол 0 , а

секущая – ( x) . Тогда по определению

т.е. тангенс угла наклона касательной равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента.

Отвлечемся теперь от конкретных задач и для произвольной функции y f (x) дадим аргументу x приращение x . Тогда функция получит

приращение y f (x x) f (x) . Рассмотрим предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x , когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

128

[Введите текст]

lim y .

x 0 x

Если этот предел существует, то он называется производной функции f (x)

18.2. Вычисление производных. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Пример недифференцируемой в точке x 0 функции y | x | приведен на

рис. 18.2

Рис. 18.2

Действительно, для этой функции имеем

произвольным образом.

Если производная в данной точке существует и конечна, т. е. отношения y к x стремится к конечной величине, когда x 0 , то

отсюда следует, что y 0 . Таким образом, дифференцируемая в данной

129