10300

Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла

В предыдущей лекции мы применили определенный интеграл к вычислению площадей фигур. Здесь будут рассмотрены другие его приложения.

35.1. Вычисление объёма тела с известной площадью поперечного сечения. Пусть некоторое тело в направлении оси абсцисс находится в пределах отрезка [ a,b] . Как обычно, разбиваем этот отрезок на n частей

и через точки деления проводим плоскости P , перпендикулярные оси Ox

. Эти плоскости рассекут тело на «дольки». На рисунке изображена одна из них.

«дольки» можно приближённо вычислить как объём цилиндра с площадью основания S (xk ) и высотой xk . Поэтому объём тела приближённо равен

сумме объёмов таких цилиндров

n

V S (xk ) xk

k 1

249

Рис. 35.2

Через фиксированную точку x 0, R проводим плоскость,

перпендикулярно оси Ox . Сечение тела представляет собой прямоугольный треугольник, площадь которого

относительно оси Ox . Найдём объём полученного тела вращения.

250

Рис. 35.3

Поскольку нам известна площадь поперечного сечения тела для каждого

Пример. Найти объём тора («баранки»). Тор можно получить, вращая относительно оси Ox окружность x2 ( y a)2 r2

Рис. 35.4

Интересующий нас объём равен разности объёмов, полученных при

понятие определённого интеграла на более широкий класс функций. Пусть

взятых по отдельным интервалам, в которых функция остаётся непрерывной

(см. рис. 35.5).

Рис. 35.5

При этом и геометрическое значение интеграла как площади остаётся в силе.

Иначеобстоит дело, когда функция имеет разрыв второго рода в какой либо точке внутри интервала интегрирования или на одном из его концов. Начнём с примера. Так, формально написанный интеграл

252

1 dx (35.2)

0 x

не существует в обычном смысле, т.к. подынтегральная функция «уходит в бесконечность» на левом конце промежутка интегрирования (см. рис. 35.6). Попытаемся придать вполне определённый смысл интегралу (35.2), а значит, и понятию площади соответствующей бесконечной фигуры. Проведем прямую x и рассмотрим полученную криволинейную трапецию. Ее площадь равна интегралу

1 dx

x .

Рис. 35.6

Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода

В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу

Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.

253

Если в промежутке [ a,b] функция f (x) непрерывна, за

исключением крайней точки (пусть для определённости это будет точка b ),

то несобственный интегралс бесконечными разрывами определяется как предел

В случае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не

существует или расходится.

Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к бесконечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое «достаточно быстро» поясним на следующем примере. Рассмотрим

Таким образом, при p 1 интеграл сходится, а при p 1 – расходится. Этот

пример показывает, что несобственный интеграл с бесконечным разрывом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция «уходит» в бесконечность не медленнее, чем функция x p с p 1.

Следующее важное обобщение понятия определённого интеграла заключается в том, что один или оба из пределов интегрирования являются бесконечными. Такие несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрированияопределяются с помощью предельных переходов следующим образом

Если такие пределы существуют, то интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящимися.

254

Интеграл оказался сходящимся, поэтому можно считать, что площадь этой

Этот несобственный интеграл – расходящийся.

Для сходимости несобственного интеграла с бесконечным пределом необходимо, чтобы подынтегральная функция «достаточно быстро» стремилась к нулю, когда аргумент стремится к бесконечности. Что такое

255

Итак, при p 1 интеграл сходится, а при p 1 – расходится. Таким образом,

несобственный интеграл с бесконечным пределом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция стремится к нулю не медленнее, чем функция x p с p 1.

Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Лекция 36. Функции многих переменных

36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.

Если каждой точке ( x, y) , принадлежащей некоторому множеству

D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действительное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f ( x, y) .

В символической записи это выглядит следующим образом:

256

Множество D называется областью определения этой функции, а

задается формулой без указания области определения, то предполагается «естественная» область определения, т.е. та область, где данная формула

существует. В данном случае это замкнутый круг x2 y2 1.

Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции

z 1 x2 y2 .

Эта функция легко получается из уравнения сферы x2 y2 z2 1, поэтому

её геометрический образ – полусфера радиуса R = 1 с центром в начале координат, расположенная над плоскостью xOy .

Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те

точки, в которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровня C , т.е. кривую, уравнение которой

f (x, y) C, C const .

Эта кривая есть проекция на плоскость xOy точек пересечения поверхности z f (x, y) и плоскости z C . По картине линий уровня можно получить

представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).

257

10

5

0

-5

-10 4

36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Приведем предварительно определение -окрестности точки M 0 (x0 , y0 )

Будем говорить, что последовательность точек

(x1, y1 ),(x2 , y2 ), ,(xn , yn ),

стремится или сходится к точке M 0 (x0 , y0 ) , если расстояние

dn (xn x0 )2 ( yn y0 )2

между n -м членом этой последовательности и точкой M 0 стремится к нулю

при n .

Отметим, что в дальнейшем мы будем применять одну их эквивалентных записей

Определение предела функции двух переменных по форме ничем не