9809

Введём декартову систему координат, взяв за начало точку A и вы-

брав базис {e1,e2} ≡ {0.5AB, AD} (см. рис.7.3). Пусть длины базисных векторов для определённости равны единице.

D C

?

e2

?

Рис. 7.3

В этом базисе диагонали параллелограмма имеют разложение

Искомые величины выражаются через скалярное произведение

Вычисляем скалярное произведение, применяя более компактное по напи-

санию обозначение

d1 × d2 = (2e1 - e2 ) × (2e1 + e2 ) = 4e1 × e1 - e2 × e2 = 3.

Модули векторов вычисляем по формуле (7.1):

| d2 |= (2e1 + e2 )2 = 4e12 + 4e1e2 + e22 = 5 + 4cos60 = 7 .

50

7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах. Вы-

разим скалярное произведение через координаты его сомножителей. Пусть задана декартова прямоугольная система координат с ортонормированным

= axbx < i , i > + axby < i , j > + axbz < i , k > +

+ aybx < j ,i > + ayby < j , j > + aybz < j , k > +

+ azbx < k , i > + azby < k , j > + azbz < k , k > =

= axbx + ayby + azbz .

Итак, скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых координат сомножителей:

< a,b > = axbx + ayby + azbz .

Теперь мы в состоянии выразить полученные выше формулы для модуля вектора, проекции вектора на вектор и угла между векторами в координатах данных векторов. А именно,

В частности, условие ортогональности двух векторов выражается через их координаты следующим образом:

axbx + ayby + azb = 0 .

51

Продемонстрируем, как в декартовой системе координат решаются некоторые задачи.

7.3. Деление отрезка в заданном отношении: найти координаты точки

Покажем в заключение этого раздела, как векторная алгебра объясняет действие так называемого уголкового отражателя, представляющего собой комбинацию из трёх взаимно перпендикулярных зеркал. Многочисленные применения этого прибора связаны с его способностью менять направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет на него падает. Пусть луч света сначала попадает, например, на плоскость xOy и направляющий вектор этого луча a = {ax , ay , az }. Спрашивается, каков будет направляющий вектор a1 для

отражённого луча? Оба эти вектора одинаковой длины и расположены в плоскости, перпендикулярной к плоскости xOy . Очевидно, что у направляющего вектора отражённого луча третья проекция сменит знак, а первые две проекции останутся прежними, т.е. a1 = {ax , ay , −az } (см. рис. 7.5).

52

Таким образом, отразившись от трёх координатных плоскостей, луч света

Следующий рисунок иллюстрирует «работу» уголкового отражателя на конкретном примере.

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Рис. 7.6

Уголковые отражатели применяются для точного измерения расстояний, обеспечения безопасности движения транспорта и в военном деле.

53

Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов

·c a и c b

·упорядоченная тройка векторов {a,b , c} правоориентированная

Упорядоченная тройка векторов называется правоориентированной или правой, если после приведения их к общему началу с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае – тройка называется левоориентированной или левой. При перестановке местами любых двух векторов или при замене одного из векторов на противоположный тройка меняет ориентацию.

a

b

Рис. 8.1

С этим расположением векторов a , b , c связаны правоориентированная и левоориентированная декартовы прямоугольные системы координат.

Рис. 8.2

54

Обратим внимание на то, что значение модуля векторного произве-

дения

равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах

b

ϕ

a

Рис. 8.3

В механике с помощью этой операции вычисляется момент силы. Пусть, например, O – одна неподвижная точка некоторого тела, к другой точке A которого приложена сила F . Момент этой силы относительно неподвижной точки выражается векторным произведением M = OA × F , а его модуль равен M =| F | ×| OA | sin j =| F |d – « произведению силы | F |

на плечо d =| OA |sin j».

Рис. 8.4

Рассмотрим основные свойства операции векторного произведения. Во-первых, эта операция позволяет выяснить коллинеарны или нет два заданных вектора. А именно, векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю

a || b a × b = 0 .

55

{b , a, -c} будет правой. Таким образом, d = −c или [a × b ] = −[b × a ] .

c

b

O

Рис. 8.5

Умножение одного из сомножителей векторного произведения на число приводит к умножению результата на это число, т.е.

[ ka ´ b ] = [ a ´ kb ] = k [a ´ b ] .

В выражениях, содержащих векторное произведение и сложение, скобки «раскрываются» так же, как и при обычном умножении и сложе-

нии, т.е.

[(a + b) × c] = [a × c] + [b × c] .

Как найти векторное произведение, если его сомножители заданы своими координатами? Пусть векторы a и b в ортонормированном бази-

Вначале приведем таблицу векторного умножения базисных векторов, где в левом столбце находится первый сомножитель, в верхней строке – второй, а на пересечении строки и столбца соответствующее произведение.

56

Таблица 1. Вычисление векторного произведения координатных ортов в

правоориентированной системе координат

Теперь, используя эту таблицу и приведенные выше правила раскрытия скобок, получим:

[a × b ] = [ ( ax i + a y j + az k ) × ( bx i + by j + bz k )] =

= axbx [i × i ] + aybx [ j × i ] + azbx [k × i ] + +axby [i × j ] + ayby [ j × j ] + azby [k × j ] +

+axbz [i × k ] + aybz [ j × k ] + azbz [k × k ] =

=i (aybz − azby ) − j (axbz − azbx ) + k (axby − aybx ) =

Чтобы запомнить, как вычисляются координаты векторного произведения, заметим, что

где в правой части равенства стоит символический определитель, раскрывая который по элементам первой строки, получим приведенное выше выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Такое представление векторного произведения позволяет обнаружить те его свойства, о которых говорилось выше. Например, при смене порядка сомножителей в определителе поменяются местами две строки, что приводит

57

Действительно, рассмотрим рисунки с правой и левой тройками векторов

Из рисунков видно, что в случае правой тройки {a,b , c} вектор d = a × b образует с вектором c острый угол θ , а в случае левой тройки – этот угол тупой. С учетом того, что

< a ´b,c > = | d | ×| c | cos θ ,

мы получим, что в первом случае знак смешанного произведения будет положительным, а во втором – отрицательным. Таким образом, знак смешанного произведения «говорит» о взаимной ориентации тройки векторов

впространстве.

Ачто означает равенство нулю смешанного произведения? Очевидно, что это будет тогда и только тогда, когда cos θ = 0 , т.е. θ = π / 2 и, сле-

довательно, вектор c должен лежать в плоскости векторов a и b . Итак, обращение в нуль смешанного произведения эквивалентно компланарности данной тройки векторов.

- *

Рис. 8.8

59