9806

Доказательство. В случае, когда угол ϕ острый, утверждение очевидно. В случае тупого угла имеем (см. рис. 5.10)

ПрL AB = − | A1 B1 | = − | AB | cos(π − ϕ) =| AB | cos ϕ

B

A1

Рис. 5.11

AC = AB + BC

ПрL AC = A1C1 = A1B1 + B1C1 = ПрL AB + ПрL BC

40

C

L

C1

A B1

B

A1

Рис. 5.12

AB = AC + CB

ПрL AB = A1B1 = A1C1 − C1B1 = ПрL AC + ПрL CB .

Свойство 2. Если вектор умножается на число, то его проекция умножается на это же число

ПрL (ka) = k ПрLa .

41

Лекция 6. Системы координат

6.1. Линейная комбинация векторов. Выше вектор был определен как геометрический объект – направленный отрезок. Перейдем теперь к эквивалентному его описанию в виде упорядоченного набора чисел. Для этого дадим следующие определения.

Линейной комбинацией векторов a1 , a1 , …, am с коэффициентами k1 , k2 , …, km называется вектор вида

k1a1 + k2a2 + …+ km am = ∑m ki ai .

i=1

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю. Будем говорить, что вектор b выражается в виде линейной комбинации векторов a1, a1, …, am , если он представим в виде

Теорема. Любой вектор a на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух данных неколлинеарных векторов e1 и e2 этой плоскости.

Доказательство. Поместим начала всех трех векторов в некоторую точку O (см. рис. 6.1). Из конца вектора a проведем прямые, параллельные векторам e1 и e2 , и обозначим через P и Q точки их пересечения с осями, «проходящими» через векторы e1 и e2 , соответственно. По прави-

лу сложения векторов имеем a = OP + OQ .

Таким образом, получим a = a1e1 + a2e2 .

Покажем теперь, что такое представление единственно. Пусть это не

Если хотя бы один из коэффициентов при векторах e1 и e2 , не равен нулю, то отсюда будет следовать их коллинеарность, что противоречит предположению. Таким образом, указанное представление единственно.

Теорема. Любой вектор a в пространстве единственным образом представим в виде линейной комбинации трех данных некомпланарных векторов e1 , e2 и e3 .

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы (см. рис.6.2)

Введем свойство линейной зависимости векторов, обобщающее свойства коллинеарности и компланарности на случай произвольного числа векторов. Векторы a1, a1, …, am называются линейно зависимыми, если хотя бы один из них выражается в виде линейной комбинации остальных, то есть

i=1(i¹ j )

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми. Из этих определений следует, что любые два коллинеарных вектора

линейно зависимы, так как из условия a1 || a2 следует, что a2 = ka1 , и что любые три вектора на плоскости также линейно зависимы. Таким образом, приведенные выше теоремы можно переформулировать следующим образом: любой вектор на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух заданных линейно независимых векторов, а любой вектор в пространстве – в виде линейной комбинации трех заданных линейно независимых векторов.

43

Возможность такого представления любого вектора приводит к мысли определять вектор и его положение набором коэффициентов его линейной комбинации. Естественно возникают задачи определения положения вектора и его длины через этот набор коэффициентов. Эти задачи решаются с помощью операции скалярного умножения векторов.

6.2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Базисом

{e1, e2 , e3} называются взятые в определенном порядке линейно независимые векторы. Термин базис (гр. basis – основание) отражает тот факт, что через эти векторы можно выразить любой вектор. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным, а если плюс к этому базисные векторы имеют единичную длину, то – ортонор-

мированным.

Выражение данного вектора a в виде линейной комбинации базис-

ных векторов называется его разложением в данном базисе (или по бази-

су):

a = a1e1 + a2e2 + a3e3 .

Коэффициенты разложения {a1, a2 , a3} называются координатами вектора a в данном базисе, и записывается это так:

a = { a1, a2 , a3} .

Таким образом, теперь вектор – это упорядоченная тройка чисел (на плоскости – пара чисел).

Операции над векторами в координатной форме · a = b тогда и только тогда, когда ai = bi , i ;

·a + b = { a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3} ;

·l × a = { l a1, l a2 , l a3 ,}

непосредственно следуют из определения. Например,

a + b = (a1e1 + a2e2 + a3e3 ) + (b1e1 + b2e2 + b3e3 ) =

= (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 + (a3 + b3 )e3 ) = {a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3}.

Условие коллинеарности двух векторов «в координатах» получается следующим образом: a || b тогда и только тогда, когда b = l × a или bi = l × ai i , т.е. их соответствующие координаты пропорциональны:

b1 = b2 = b3 . a1 a1 a3

44

6.3. Декартова система координат. Декартовой системой коорди-

нат называется совокупность фиксированной точки O (начала координат) и базиса векторов {e1, e2 , e3}, исходящих из точки O . Оси, проходящие через базисные векторы, называют соответственно осью абсцисс (ось Ox ), осью ординат (ось Oy ) и осью аппликат (ось Oz ). Плоскости, проходящие через две какие-либо оси, называют координатными плоскостями.

Если базис ортогональный, то такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат. В ортонормированном

его координаты называют координатами этой точки. Если даны координаты точек A(x1, y1, z1) и B(x2 , y2 , z2 ) , то в силу того, что AB = OB − OA , координаты вектора AB равны

AB = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1} .

Для произвольной точки M в декартовой системе координат с ортонормированным базисом в разложении вектора

OM = x × i + y × j + z × k

его координаты x, y, z являются проекциями вектора OM на оси Ox, Oy, Oz , соответственно (см. рис. 6.3)

OM = x i + y j + z k

z k

Q

Рис. 6.3

45

Обозначим через α, β, γ углы между положительными направле-

ниями осей координат и вектором OM . Тогда проекции вектора OM выражаются следующим образом:

x = PrOX OM =| OM | cos α , y = PrOY OM =| OM | cosβ , z = PrOZ OM =| OM | cos γ .

В частности, если вектор OM = e единичной длины, то его координаты являются косинусами углов, которые этот вектор образует с осями координат, то есть

e= {cosα, cosβ, cos γ}.

Всвязи с этим координаты единичного вектора называют направляющи-

ми косинусами этого вектора.

Длина вектора может быть найдена по теореме Пифагора: из двух прямоугольных треугольников OMQ и OPQ следует, что

| OM |= x2 + y 2 + z 2 .

Таким образом, углы, которые вектор образует с осями координат, связаны

следующим соотношением

e 2 = co s2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

6.4.Полярная система координат. Кроме декартовой, возможны

идругие системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.

Пусть на плоскости зафиксирована точка O (полюс) и выбран луч (полярная ось OP ) с началом в полюсе (см. рис.6.4)

, φ

Рис. 6.4

46

Тогда положение произвольной точки M на плоскости можно однозначно охарактеризовать двумя числами (r,ϕ) , где r =| OM | – расстояние этой

точки от полюса и ϕ – угол между полярной осью и вектором OM , отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки (см. рис. 6.4).

Выберем на плоскости две системы координат – декартову прямоугольную и полярную – так, что полюс находится в начале декартовой системы координат, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс. Тогда любая точка M будет иметь декартовы координаты (x, y) и полярные (r,ϕ) . Из рис. 6.4 непосредственно следуют соотношения между полярными и декартовыми координатами (предполагается, что линейный масштаб одинаковый в обеих системах координат)

В полярной системе координат удобнее изображать кривую, расстояние точки которой от начала координат (полюса) определяется как функция направления (полярного угла). Например, так называемая «спираль Архимеда» определяется следующим образом: расстояние её точки до полюса пропорционально величине угла между полярной осью и радиу- сом-вектором этой точки. В соответствии с этим запишем уравнение этой кривой в полярной системе координат

r = a × j , a > 0

и построим ее график Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию движения точки, равномерно перемещающейся вдоль прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается против часовой стрелки относительно полюса. На рис. 6.5 приведена часть этой спирали, соответствующая изменению полярного угла в пределах одного оборота.

Рис. 6.5

47

Лекция 7. Скалярное произведение

7.1. Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произве-

дением векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними < a,b > =| a | × | b | cos ϕ

b

ϕ

a

Рис. 7.1

Под углом между двумя векторами будем понимать наименьший из двух углов между ними.

Скалярное произведение обозначается символом a × b или < a,b > . Обратим внимание на то, что результат этой операции может быть выражен через проекцию одного из векторов на другой. Действительно, так как

то (см. рис. 7.2) < a,b > =| a | ×Прa b =| b | ×Прb a

ϕ

Праb a

Рис. 7.2

С этой операцией в физике связано вычисление работы силы F при перемещении материальной точки по направлению вектора S , когда угол между этими векторами равен ϕ . Тогда работа вычисляется по формуле

48

A =| F |×| S |cos ϕ = < F, S > .

Операция скалярного произведения позволяет выразить проекцию вектора на вектор и угол между векторами следующим образом:

причем, если скалярное произведение векторов положительно, то угол между ними острый, а если отрицательно – тупой. В частности, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны)

< a,b > = 0 Û a ^ b .

Из определения скалярного произведения следует коммутативность

этой операции

< a,b > = < b,a > ,

а из свойств проекций векторов вытекают следующие ее свойства:

< ka,b > = < a, kb > = k× < a,b >, < a,b + c > = < a,b > + < a,c > .

Докажем последнее из них

< a,b + c > = | a | (Прa (b + c) =| a | (Прab + Прac) =

| a | Прab +| a | Прac =< a,b > + < a,c > .

Интересно отметить, что скалярное произведение вектора на себя дает

< a, a > = | a | ×| a | cos 0 =| a |2 ,

поэтому модуль вектора выражается через скалярное произведение следующим образом

Пример. В параллелограмме ABCD одна из сторон вдвое больше другой и острый угол между ними равен 600 . Найти острый угол между диагоналями параллелограмма и проекцию малой диагонали на большую.

49