9806

После преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид

xc − a2 = ±a( x − c )2 + y2 .

Возведя в квадрат и упростив, получим (c2 - a2 ) x2 - a2 y2 = a2 (c2 - a2 ) .

Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы a < c , можно ввести

пербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы. Положив y = 0 в уравнении

(25.3), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 (-a;0) ,

A2 (a;0), которые называются вершинами гиперболы. Если взять x = 0 в

уравнении (25.3), то получим y2 = -b2 . Следовательно, с осью Oy гипербола не пересекается. Отрезок A1 A2 = 2a принято называть действитель-

ной осью гиперболы (а ОA1 = a – действительной полуосью); отрезок

B1B2 = 2b , соединяющий точки B1 (0; -b) и B2 (0;b) , называется мнимой осью ( ОB1 = b – мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и

2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 25.3).

Из уравнения (25.3) следует, что если x < a , то y не имеет действи-

тельных значений, то есть, нет точек гиперболы с абсциссами −a < x < a .

самым приходим к заключению: если y > 0 , то точка M ( x, y ) при возрас-

тании x , начиная от x = a , движется всё время «вправо» и «вверх»; если y < 0 , то M ( x, y ) движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограни-

180

Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду

26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным параметром параболы.

Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и ди-

ректрисы равно MQ , где Q – основание перпендикуляра, опущенного из

183

Возведя обе части равенства в квадрат получим каноническое уравнение

параболы

Как для эллипса и гиперболы, уравнение параболы тоже является частным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (25.1) при

A = B = D = F = 0.

Уравнение (26.1) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p > 0 , то переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy . Если x = 0 , получаем y = 0 . При возрас-

(рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра p можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x = 1. Из

расстояние между которыми равно 22 p . Тем самым, чем больше p , тем больше расстояние M1M 2 . Следовательно, параметр p характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.

Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.

26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго поряд-

ка

коэффициенты B = D = E = F = 0 , то остаётся только два слагаемых, т.е. Ax2 + Cy2 = 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на

одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.

Если из уравнения (26.2) остаётся одно слагаемое Cy2 = 0 или Ax2 = 0 , то на плоскости получается одна прямая. Если B = D = E = 0 и в уравнении Ax2 + Cy2 + F = 0 коэффициенты A > 0,С > 0, F > 0 , то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к канониче-

скому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ) или переменные x и y без квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.

Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберём далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.

26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плос-

кости прямоугольную декартову систему координат xO y

Рис. 26.2

185

осям O x и O y , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xO y к системе O′x′y′ называется параллельным пе-

реносом осей координат.

Для произвольной точки M координаты относительно исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обо-

Формулы (26.3) позволяют находить исходные координаты (x; y) по из-

вестным (x′; y′) при параллельном переносе. «Новые» координаты выра-

жаются через исходные следующим образом:

Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a =5 и b = 5 / 2 с центром в начале координат O′.

186

Рис. 26.3

Из формул (26.4) ясно, что точка O′ в исходной системе имеет координаты (−1;2). На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее тако-

му преобразованию.

26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернём ис-

ходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол ϕ (положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение

O x′y′ (рис. 26.4).

Рис. 26.4

Пусть точка M имеет в исходной системе координаты (x; y) и коор-

динаты (x′; y′) в «новой» системе координат O x′y′. Чтобы установить

связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции её на оси O x′ и O y′ (рис. 26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM (основание перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание перпендикуля-

ра – точка D′). Тогда из геометрических соображений получаем, что

187

x = OA = OD′ − AD′ = OD′ − FD =

= OD cos ϕ− MD sin ϕ= x′cos ϕ− y′sin ϕ,

y = AM = AF + FM = DD′ + MF =

= OD sin ϕ+ MD cos ϕ= x′sin ϕ+ y′cos ϕ.

Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты (x; y)

произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на угол ϕ, имеют вид

ляется каноническим, поскольку в нём a < b . Чтобы поменять оси местами, выполним поворот на угол ϕ=900 и перейдём к системе координат Оx′y′ (рис. 26.5). В формулы (26.5) подставим cos ϕ = 0 и sin ϕ = 1:

Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение

x′2 + y′2 =1.

4 2

188

Рис. 26.5

Аналогично рассмотренному примеру для приведения уравнения

определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).

Рис. 26.6

189