9803

Для каждой квадратной матрицы порядка n сумма произведений

элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения есть величина постоянная.

Вот это число и называется определителем, а способов его вычисления существует много и тот, который даётся введённым выше определением, просто один из них. Этот способ называется разложением по элемен-

там строки или столбца.

Если в любой из приведенных формул вычислить алгебраические дополнения и произвести указанные действия, то получится другая формула вычисления определителя третьего порядка

( A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a21a12 a33 − a32a23a11 .

Заметим, что определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными

a x + b y + c z = d

1 1 1 1

a2 x + b2 y + c2 z = d2a3 x + b3 y + c3 z = d3

выражается через определители третьего порядка по аналогичным формулам Крамера:

системы путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец правых частей. Если = 0 и существует хотя бы один из определителей x , y , z , отличный от нуля, то система несовме-

стна. Рассмотрение оставшегося случая = x = y = z = 0 мы отложим до введения понятия ранга матрицы.

20

Лекция 3. Системы и определители матриц n-го порядка

При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила.

И. Ньютон

3.1. Матричная запись системы линейных уравнений. Систему n

линейных уравнений c n неизвестными

после введения матриц

Решить систему – значит найти матрицу неизвестных X .

Оставим пока вопросы о том, существуют ли решения системы (3.1) и сколько их, и вспомним, как решалось уравнение первой степени

a × x = b .

Решение x = b получается умножением обеих частей уравнения на число, a

обратное числу a , то есть на число 1 = a−1 a

a−1 × a × x = a−1 ×b 1× x = b . a

Эти соображения приводят к мысли найти такую матрицу (в дальнейшем будем её обозначать A−1 ), которая при умножении на данную матрицу A давала бы единичную матрицу. Тогда система (3.1) была бы решена следующим образом:

21

A−1 × A × X = A−1 × B E × X = A−1 × B X = A−1 × B .

Поэтому естественным будет следующее определение.

Обратной матрицей к данной квадратной матрице A называется матрица A−1 , которая при умножении как справа, так и слева на матрицу

A , даёт единичную матрицу

A−1 × A = A × A−1 = E .

С учетом этого определения решение системы (3.1) имеет вид

Заметим, что определение обратной матрицы ещё не гарантирует её существования и не дает способа ее отыскания. Для нахождения обратной матрицы нам потребуется понятие определителя матрицы порядка n .

Если aij – выбранный элемент, то минор M ij – это определитель мат-

рицы порядка (n −1) , получаемой после вычеркивания в исходной матрице

дополнение.

Определителем n -го порядка (n >1) называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:

Естественно, возникает вопрос о корректности такого определения. Для n = 2 легко проверяется

22

(разложение по элементам первой строки), или

= a11a22 − a21a12 = a11 A11 + a21 A21

(разложение по элементам первого столбца). Два оставшихся варианта проверьте самостоятельно.

Для краткости изложения доказывать или иллюстрировать формулируемые ниже свойства определителей мы будем на примере определителей второго порядка.

Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется

( AT ) = ( A) .

Это свойство следует из определения.

Так как при транспонировании матрицы столбцы переходят в строки и наоборот, то все свойства определителя, формулируемые в терминах столбцов, остаются справедливыми и для строк. Поэтому далее мы будем говорить только о строках (или о столбцах).

Свойство 2. Определитель изменит знак, если поменять местами две строки матрицы.

Убедимся в справедливости этого свойства для n = 2

Действительно, «раскрывая» определители, имеем:

a1b2 − a2b1 = −(a2b1 − a1b2 ) .

Свойство 3. При умножении элементов строки матрицы на число λ ее определитель умножается на λ.

Это свойство в данном случае ( n = 2 ) легко проверяется, а для любого n следует из разложения определителя по элементам строки, где λ будет общим множителем всех элементов строки и его можно вынести за знак суммы. Это свойство удобнее запомнить в «обратной» формулировке: если элементы строки матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести

23

где Aij – соответствующие алгебраические дополнения. Аналогичным об-

разом получаем

Следует обратить внимание на то, что матрица в правой части (3.5) получена путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы A . Из формулы (3.5) видно, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы её определитель не обращался в нуль. Матрицы с определителем равным нулю называются вырож-

денными.

Итак, правило нахождения обратной матрицы (обращение матри-

цы):

∙ вычисляем определитель ( A) . Если ( A) = 0 , то A−1 не сущест-

вует.

∙вычисляем матрицу алгебраических дополнений (обозначим Aɶ ).

∙транспонируем матрицу Aɶ .

Приведем другое обоснование формулы (3.5), определяющей обратную матрицу. Действительно, по определению обратной матрицы с учетом свойства 10 для определителей получим

27

Вычисляем определитель матрицы D( A) = 3 . Составляем матрицу алгеб-

раических дополнений

чае невырожденной матрицы имеет вид

Алгоритм получения решения сводится к нахождению обратной матрицы A−1 и умножению её слева на матрицу-столбец правых частей B . Заметим, что матрица B начинает «работать» лишь на этапе умножения.

Установим связь на примере системы третьего порядка между правилом Крамера и нахождением решения с помощью обратной матрицы.

28