9803
.pdfy
f (x) = 1
x
1
ε
O ε |
1 |
Рис. 35.6
Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода
1 |
dx |
|
|
|
|
1 = lim 2(1 − |
|
|
|
lim ∫ |
|
= lim 2 |
|
|
|
) = 2 . |
|||
|
x |
ε |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|||||||||
ε→0 ε |
x ε→0 |
|
|
ε ε→0 |
|||||
|
|
В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу
1 |
dx |
1 |
dx |
|
|
|||
∫ |
|
= lim ∫ |
|
= 2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
x |
|
ε→0 ε |
x |
Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.
Если в промежутке [ a, b ] функция f ( x) непрерывна, за исключением крайней точки (пусть для определённости это будет точка b ), то несоб-
ственный интеграл с бесконечными разрывами определяется как пре-
дел
b |
b−ε |
∫ f (x)dx = lim |
∫ f (x)dx, ε > 0 . |
ε→0 |
a |
a |
В случае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не
существует или расходится.
Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к бесконечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое «достаточ-
250
но быстро» поясним на следующем примере. Рассмотрим несобственные
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
интегралы вида ∫ |
с параметром p > 0. Найдем |
|
|||||||||||
x p |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 (1 − p), p < 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
lim x1− p |
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dx |
1 − p ε→0 |
|
ε |
∞, |
p > 1 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ε x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ε→0 |
|
|
|
1 |
= ∞, |
p = 1 |
|
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
lim ln x |
|
ε |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при p < 1 интеграл сходится, а при p ³ 1 – расходится. Этот пример показывает, что несобственный интеграл с бесконечным разрывом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция «уходит» в бесконечность не медленнее, чем функция x− p с p < 1 .
Следующее важное обобщение понятия определённого интеграла заключается в том, что один или оба из пределов интегрирования являются бесконечными. Такие несобственные интегралы с бесконечными преде-
лами интегрирования определяются с помощью предельных переходов следующим образом
|
∞ |
|
A |
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx, |
a < A < +∞ , |
|||||
|
a |
A→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
∫ |
f (x)dx = |
lim |
∫ f (x)dx, |
− ∞ < B < b , |
|
||
−∞ |
B→ − ∞ |
B |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|||
|
+∞ |
|
c |
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . |
|
|||||
|
−∞ |
|
−∞ |
|
c |
|
|
Если такие пределы существуют, то интегралы называют сходящимися, в |
|||||||
противном случае – |
расходящимися. |
|
|
|
|
||
Пример 1. Найдем площадь фигуры, заключённой между кривой |
|||||||
y = 1/(1 + x2 ) и осью абсцисс (см. рис. 35.7). |
|
|
|
||||
1.5 |
|
|
|
|
A |
dx 2 |
|
1 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
y=1/(1+x2) |
|
|
|
0 1 |
+ x |
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
-3 |
-1 |
0 |
1 A |
|
3 |
4 |
|
|
|
Рис. 35.7 |
|
|
|
|
|
|
|
251 |
|
|
|
|
Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 36. Функции многих переменных
36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.
Если каждой точке ( x, y) , принадлежащей некоторому множеству
D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действи-
тельное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f ( x, y) .
В символической записи это выглядит следующим образом:
z = f ( x, y), ( x, y) D .
Множество D называется областью определения этой функции, а множество соответствующих значений z называется областью значений функции.
|
Пусть |
S – площадь прямоугольника с размерами |
x |
и y . Тогда |
||
можно определить функцию двух переменных |
|
|
|
|||
|
|
S = x × y, D ={(x, y) : x > 0, y > 0} . |
|
|
|
|
|
|
функция определена формулой z = |
|
. |
|
|
|
Пусть |
1 − x2 − y2 |
Если функ- |
|||
ция |
задается формулой без указания области определения, то предполага- |
|||||
ется |
«естественная» область определения, т.е. та область, где данная фор- |
|||||
мула существует. В данном случае это замкнутый круг |
x2 + y2 ≤ 1. |
Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции
253
z = 1 − x2 − y2 .
Эта функция легко получается из уравнения сферы x2 + y2 + z2 = 1, поэтому её геометрический образ – полусфера радиуса R = 1 с центром в начале координат, расположенная над плоскостью xOy .
Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те точки, в которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровня C , т.е. кривую, уравнение которой
f ( x, y) = C, C = const .
Эта кривая есть проекция на плоскость xOy точек пересечения поверхности z = f ( x, y) и плоскости z = C . По картине линий уровня можно получить представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).
10
5 |
|
|
0 |
|
|
-5 |
|
|
-10 |
|
|
4 |
|
|
2 |
4 |
|
0 |
2 |
|
0 |
||
-2 |
||
-2 |
||
|
||
-4 |
-4 |
|
|
Рис. 36.1 |
36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных. Приве-
дем предварительно определение ε -окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) как совокупность точек M ( x, y) , удовлетворяющих неравенству
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < ε2 .
Будем говорить, что последовательность точек
(x1, y1 ),(x2 , y2 ),…,(xn , yn ),…
254
стремится или сходится к точке M 0 (x0 , y0 ) , если расстояние
dn = (xn − x0 )2 + ( yn − y0 )2
между n -м членом этой последовательности и точкой M 0 стремится к нулю при n → ∞ .
Отметим, что в дальнейшем мы будем применять одну их эквивалентных записей
x → x |
|
|
x → 0 |
M → M |
0 . |
|
0 |
|
y → 0 |
||
y → y0 |
|
|
|
Определение предела функции двух переменных по форме ничем не отличается от определения предела функции одной переменной: число A называется пределом функции z = f ( x, y) если для любой последова-
тельности точек |
(x1, y1 ),(x2 , y2 ),…,(xn , yn ),… сходящейся к точке (x0 , y0 ) , |
|||
соответствующая |
последовательность значений функции |
zn = f (xn , yn ) |
||
сходится к A . Символически это записывается так |
|
|
||
|
lim f (x, y) = A . |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
y→ y0 |
|
|
|
В качестве примера приведем функцию z = |
2xy |
, |
у которой не |
|
|
||||
x2 + y2 |
существует предела в начале координат.
Рис. 36.2
255
Действительно, пусть точка ( x, y) движется к началу координат по прямой y = kx, 0 < k < +∞ . Тогда
lim |
2xkx |
= |
|
2k |
, |
x2 + (kx)2 |
|
+ k 2 |
|||
x→0 |
1 |
|
|||
y→0 |
|
|
|
|
|
т.е. при стремлении аргументов к началу координат по разным направлениям получаются различные «предельные» значения функции (см. рис. 36.2).
Понятие предела даёт возможность |
определить непрерывность функ- |
|
ции в данной точке. А именно, функция |
z = f ( x, y) непрерывна в точке |
|
(x0 , y0 ) , если |
|
|
lim f (x, y) = f (x , y |
) . |
|
x→ x0 |
0 0 |
|
y→ y0 |
|
|
Если подробно «прочесть» это равенство, то непрерывность означает, что
∙функция определена в данной точке и некоторой её окрестности;
∙существует предел функции в этой точке;
∙предел функции равен значению функции в этой точке.
При нарушении хотя бы одного из этих условий, говорят, что функция имеет разрыв в данной точке. Свойство непрерывности через приращения выражается так
lim[ f (x + |
x, y |
|
+ |
y) − f (x , y |
)] = 0 , |
|
x→0 |
0 |
|
0 |
|
0 0 |
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
т.е. непрерывность означает, что «малым» изменениям аргументов соответствуют «малые» изменения функции. Ясно, что эти понятия легко распространить на функции многих переменных.
Если функция непрерывна в любой точке некоторой области, то говорят, что она непрерывна в этой области. Убедитесь, пользуясь определением непрерывности, что функция z = x2 + y2 непрерывна в любой точке плоскости.
36.3. Частные производные, производная по направлению. Для функции одной переменной производная в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В случае функции двух переменных приращения аргументов (Dx, Dy) из данной точки M 0 (x0 , y0 ) в точку M (x0 + x, y0 + y) могут быть сделаны в любом направлении на плоскости. Это приводит к понятию производной функции по направлению, которая характеризует скорость изменения функции в выбранном направлении.
Начнем с простейшего случая, когда приращения происходят в направлении оси абсцисс, т.е. когда Dx ¹ 0, Dy = 0 . В этом случае предел
256
lim |
f (x0 + |
x, y0 ) − f (x0 , y0 ) |
= |
∂ f (x0 , y0 ) = fx′(x0 , y0 ) |
|
|
|||
x→0 |
x |
∂x |
называется частной производной функции f ( x, y) по переменной x в
точке M 0 (x0 , y0 ) . Аналогично можно определить частную производную по переменной y
lim |
f (x0 , y0 + |
y) − f (x0 , y0 ) |
= |
∂ f (x0 , y0 ) = f y′(x0 , y0 ) . |
|
|
|||
y→0 |
y |
∂y |
Из этих определений непосредственно следует, что для нахождения частной производной по данной переменной остальные переменные фиксируются и по обычным правилам дифференцирования отыскивается производная функции этой переменной. Например,
z = |
x |
, |
∂z = |
1 |
, |
∂z = − |
x |
. |
|
y |
∂x |
y |
∂y |
y2 |
|||
Выясним геометрический смысл частных производных. Пусть в не- |
||||||||
которой окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) |
задана функция z = f ( x, y) , у кото- |
рой в этой точке существуют частные производные. Зафиксируем одну из переменных, например, переменную x .
z |
z(x) = f (x, y0 ) |
|
|
|
z = f ( x, y) |
z( y) = f (x0 , y)
M 0
y
B |
β |
(x0 , y0 )
α
x |
A |
|
Рис. 36.3
257
Тогда в плоскости x = x0 (см. рис. 36.3) мы получаем функцию одной пе-
ременной |
z( y) = f (x0 , y) . График этой функции – это сечение поверхности |
z = f ( x, y) |
плоскостью x = x0 . Значение её производной при y = y0 равно |
значению частной производной по y функции f ( x, y) в точке M 0 (x0 , y0 )
dz( y) |
|
¶f (x0 , y) |
|
= |
¶f (x0 , y0 ) = tgb, |
||
|
= |
|
|||||
dy |
¶y |
||||||
|
y= y0 |
|
y= y0 |
¶y |
|||
|
|
|
|
|
где β – угол между касательной BM 0 к кривой z( y) = f (x0 , y) в точке M 0 и плоскостью xOy . Аналогичные рассуждения приводят к тому, что
|
|
∂f (x0 , y0 ) = tgα , |
|
|
|
|
∂y |
|
|
где |
α – угол между касательной AM 0 к кривой z(x) = f (x, y0 ) |
в точке |
||
M 0 |
и плоскостью |
xOy . |
|
|
|
Рассмотрим |
теперь понятие производной по направлению. |
Пусть в |
|
области D , в которой определена функция z = f ( x, y) , в |
некоторой внут- |
|||
ренней точке M 0 (x0 , y0 ) задано направление вектором |
s (см. |
рис.1.5). |
Нас интересует, как быстро меняется значение функции при движении
точки M ( x, y) вдоль этого направления. Пусть s = |
x2 + y2 расстоя- |
|
ние между точками M 0 и M , а e = cosα ×i + sinα × j – |
единичный вектор |
|
заданного направления s . |
|
|
y |
s |
|
|
|
|
|
e M (x, y) |
D |
M0 ( x0 , y0 ) α
x
Рис. 1.5
Тогда координаты точки M ( x, y) равны: x = x0 + Dx = x0 + Ds × cosα , y = y0 + Dy = y0 + Ds ×sinα , а приращение функции в этом направлении
258
Ds z = f (x0 + Ds ×cosα , y0 + Ds ×sinα ) - f (x0 , y0 ) .
Если точка |
M стремится к точке M 0 , то |
s → 0 . |
|
|
|
|
|||||||
Производной функции |
z = f ( x, y) в точке M 0 ( x0 , y0 ) |
в заданном |
|||||||||||
направлении |
s |
называется предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
s z = lim |
f (x0 + s cosα , y0 + |
s sinα ) − f (x0 , y0 ) |
= ∂f |
. |
(36.1) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
s→0 |
s |
s→0 |
|
s |
∂ z |
∂ z |
|
∂s |
|
|
|||
В частности, частные производные |
|
|
|
|
|||||||||
∂ x ; |
|
|
это производные по |
||||||||||
∂ y |
|||||||||||||
положительному |
направлению координатных осей. |
Найдём, |
|
например, |
|||||||||
частную производную в точке M 0 (x0 , y0 ) |
положительном направлении |
||||||||||||
оси Ox . В этом случае угол |
α = 0 , |
y = 0 , а |
s = |
x и формула (36.1) |
примет вид |
|
f (x0 + |
x, y0 ) − f (x0 , y0 ) |
|
∂f |
|
lim |
x z = lim |
= |
||||
|
|
∂x |
||||
x→0 |
x x→0 |
x |
259