9789

j запланировано перевезти xij единиц груза, то стоимость перевозки соста-

вит cij∙xij. Транспортная задача относится к двух индексным задачам линейного программирования, так как в результате решения задачи необходимо найти матрицу Х с компонентами xij. Стоимость всего плана выразится двойной сум-

n

а) все грузы должны быть перевезены, т.е. xij ai , i =1,..., m.

j 1

m

б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е. xij bj , j =1,..., n.

i 1

Таким образом, математическая модель транспортной задачи имеет следу-

суммарные запасы и потребности совпадают, называется закрытой моделью; в

противном случае − открытой. Для открытой модели может быть два случая:

Открытая модель решается приведением к открытой модели. В случае а),

когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фик-

тивный потребитель bn+1, потребность которого описывается формулой:

ют суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик am+1, запасы которого

груза до фиктивного потребителя и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика полагаются равными нулю, так как груз в обоих случаях не перево-

зится.

Транспортная задача имеет n + m уравнений с m∙n неизвестными. Матрицу перевозок Х = (xij)mn, удовлетворяющую ограничениям, называют планом пере-

возок транспортной задачи, а xij − перевозками. План Х*, при котором целевая функция S достигает минимума, называется оптимальным.

Пример. Четыре предприятия для производства продукции используют не-

которое сырье. Спрос на сырье для каждого из предприятий составляет соот-

ветственно 120, 50, 190 и 110 у.е. Сырье сосредоточено в трех местах. Предло-

жения поставщиков сырья равны 160, 140 и 120 у.е. На каждое предприятие сырье может завозиться от любого поставщика. Тарифы перевозок известны и

котором общая стоимость перевозок будет минимальной.

Решение: Так как суммарные запасы превышают суммарные потребности

(160 + 140 + 200 = 500 > 470 = 120 + 50 + 190 + 110), то вводим фиктивного по-

требителя b5, потребность которого составляет 500 – 470 = 30. Составим эко-

номико-математическую модель задачи:

62

xij − количество единиц груза, запланированных к перевозке от поставщика i к потребителю j, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5.

S = 7x11 + 8x12 + x13 + 2x14 + 4x21 + 5x22 + 9x23 + 8x24 + 9x31 + 2x32 + 3x33 +

Рассмотрим технологию решения транспортной задачи, используя условия примера.

1) выберем адреса ячеек, в которые будет помещен результат ре-

шения (изменяемые ячейки) и оптимальное значение целевой функции;

В нашей задаче оптимальные значения хij будут помещены в ячейках В21:F23 (для удобства ссылок запишем в каждую из них 1), оптимальное зна-

чение целевой функции ‒ в ячейке G18 (см. рис. 1).

2)введем зависимость для целевой функции;

Вячейки B16:F18 вводим тарифы. Далее необходимо произвести следую-

щие действия:

−поместить курсор в ячейку G18 (после решения задачи в данной ячейке будет находиться значение целевой функции);

−запустить Мастер функций (значок fх);

−в окне Категория выбрать Математические;

−в окне Функция выбрать СУММПРОИЗВ;

−нажать кнопку ОК;

63

− в окне СУММПРОИЗВ указать адреса массивов, элементы которых обрабатываются этой функцией. В задаче целевая функция представляет

собой произведение удельных затрат на доставку груза (расположенных в блоке ячеек B16:F18) и объемов поставок для каждого потребителя (содержи-

мое ячеек В21:F23). Для этого надо:

−в поле Массив 1 указать адреса В21:F23;

−в поле Массив 2 указать адреса B16:F18;

−нажать кнопку ОК − подтверждение окончания ввода адресов массивов.

В поле ячейки G18 появится некоторое числовое значение, равное произ-

ведению единичных поставок на удельные коэффициенты затрат по доставке грузов (в данной задаче это число 64).

введем зависимости для ограничений;

−выделим курсором ячейки B21:F21;

−в главном меню выберем знак Σ;

−аналогичные действия выполним с ячейками B22:F22 и B23:F23. В ячей-

ках G21:G23 появятся пятерки;

− в ячейки H21:H23 поместим числа 160, 140, 200.

Таким образом мы описали первые три ограничения в математической мо-

дели. Аналогично поступаем с остальными ограничениями:

−выделим курсором ячейки B21:В23;

−в главном меню выберем знак Σ;

−аналогичные действия выполним с ячейками C21:C23, D21:D23, E21:E23, F21:F23. В ячейках B24:F23 появятся тройки;

−в ячейки B25:F25 поместим числа 120, 50, 190, 110.

64

Рис. 1.

Выберем команду меню Данные → Поиск решения. В отрывшемся окне выполним следующие действия:

а) назначим ячейку для целевой функции (G18), укажем адреса изменяе-

мых ячеек (В21:F23), установим флажок на минимум.

б) введем ограничения;

в) в строке Выберите метод решения выберем вариант «Поиск решения лин. задач симплекс-методом».

Теперь введены все необходимые условия для решения задачи:

Рис. 2.

65

Осталось поместить указатель мыши на кнопку Найти решение:

Рис. 3.

Ответ: от первого поставщика третьему предприятию следует перевезти

50 у.е. груза, четвертому предприятию – 110 у.е. груза;

от второго поставщика первому предприятию следует перевезти 120 у.е.

груза;

от третьего поставщика второму предприятию следует перевезти 50 у.е.

груза, третьему предприятию – 140 у.е. груза;

груз, предназначенный для пятого (фиктивного) потребителя остается у второго поставщика (20 у.е.) и третьего поставщика (10 у.е.).

Общая стоимость перевозок составит 1270 у.е.

Задача 5. Двухэтапная производственно-транспортная задача.

Краткие теоретические сведения

В отличие от классической транспортной задачи в двухэтапной задаче потребитель получает продукцию не от поставщика, а через промежуточное звено, например со склада.

Рассмотрим двухэтапную задачу: поставщик – склад – потребитель. Пусть m поставщиков однородной продукции с мощностями а1, a2,..., am направляют ее p складам с пропускными способностями d1, d2,..., d p , которые, в свою очередь,

66

поставляют эту продукцию потребителям со спросом b1,b2,...,bn. Известны

план перевозок и прикрепление поставщиков к складам, складов к потребителям, при котором суммарные издержки будут минимальными.

Обычно в таких задачах выполняется условие баланса: аi b j dk , т. е.

i i k

количество груза, отправляемое поставщиками равно суммарной потребности, а

емкость складов превышает эту величину.

В случае аij b j dk задачу можно решать по частям: сначала найти оптимальный план прикрепления складов к поставщикам продукции, за-

тем складов к потребителям. Если аi b j dk , то решение задачи по ча-

стям может привести к несогласованности планов оптимизации первого и вто-

рого этапов.

В этом случае задача решается одновременно в одной таблице.

Математическая модель задачи

z cik ckj xikj min , i k j

ij

4.xikj 0, i 1, m , j 1, n , k 1, p .

1-я группа ограничений показывает, что вся продукция вывозится с пред-

приятий на склады, 2-я – что спрос потребителей должен быть удовлетворен, 3-

я – что пропускная способность складов превышает суммарную мощность по-

67

ставщиков и суммарный спрос потребителей. Такая задача решается методом фиктивной диагонали.

Пример решения задачи

Покажем реализацию этого метода на условном примере. Пусть предприя-

тие имеет три цеха по производству продукции и два склада, где хранится изго-

товленная продукция перед отправкой ее потребителю. Со складов продукция доставляется трем потребителям. Известны мощности цехов по производству продукции ai 240,260,300 , пропускные способности складов dk 400,600 , по-

потребитель получает готовую продукцию со складов. Определить оптималь-

ный план перевозок, минимизирующий суммарные затраты. Склады на первом этапе являются потребителями продукции, на втором – поставщиками, поэтому им в таблице отводятся столбцы как потребителям и строки как поставщикам.

Так как потребители получают продукцию со складов, запретим прямые по-

ставки тарифами M , что обеспечивает условие оптимальности для клеток

с cij M , так как для этих клеток характеристики

ij cij ki v j M ki v j 0 на всех этапах решения.

Перевозки со склада на склад также запрещены, они блокируются запрети-

тельными тарифами М. Разрешается поставка склада самому себе, что означает размер неиспользованной мощности склада.

Заполним по методу минимального элемента сначала блок таблицы, в ко-

тором отражаются перевозки продукции со складов потребителям, затем фик-

тивную диагональ, затем перевозки от поставщиков на склады. Получим сле-

дующую таблицу.

68

План х1

Для этого плана общие издержки составят: Z1=6290. Число занятых клеток в таблице m+n-1=5+5-1=9. Далее решаем задачу методом потенциалов.

Рассчитав потенциалы и характеристики для этого плана по аналогии с предыдущим, видим, что полученный план х1 неоптимальный, так как E54 2 .

Строим для клетки (5,4) контур (5,4)-(5,3)-(4,3)-(4,4)-(5,4) и перемешаем по нему поставку min(200,300) = 200. Получим план х2. При этом z уменьшится на величину z E54 2 200 400 , в соответствии с экономическим смыс-

лом характеристики План х2 оптимальный, так как все характеристики свободных клеток неот-

рицательны, и не единственный, Е11 0 . zmin 6290 400 5890.

Поставка в фиктивную диагональ х52=200 означает размер неиспользован-

ной мощности второго склада.

План х2

Задача 6. Задача о назначениях

Задача о назначениях − это распределительная задача, в которой для выполне-

ния каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), и каждый ресурс может быть использован на одной и толь-

ко одной работе. То есть ресурсы неделимы между работами, а работы недели-

мы между ресурсами. Таким образом, задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. Задача о назначениях имеет место при распреде-

лении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, групп по аудиториям, научных тем по научно-исследовательским ла-

бораториям и т.п. Модель назначений можно построить в виде транспортной модели, в которой предложение в каждой исходной точке и спрос в каждом ко-

нечном пункте равны 1.

Пример Президент компании Auto Power решил, что в рамках ревизии каждый из четырех вице-президентов должен посетить с проверкой один из сборочных заводов компании. Сборочные заводы расположены в Лейпциге, Нанси, Льеже и Тилбурге. Президент решил начать с оценки затрат на командировки.

Специализация Затраты на командировку, тыс. $ вице-президентов

Необходимо назначить вице-президентов таким образом, чтобы суммар-

ные затраты на командировку были бы минимальны.

Решение: Составим экономико-математическую модель задачи.

70