9769
.pdfПример. Привести к каноническому виду уравнение:
x2 + 2x + 4 y2 - 16 y = 8 .
Решение. Здесь потребуется сначала выделить полные
квадраты |
|
|
(x2 + 2x + 1)- 1+ 4(y2 - 4 y + 4)- 16 = 8 |
или |
(x + 1)2 + 4(y - 2)2 = 25 . |
Тогда после параллельного переноса, задаваемого формулами
м |
|
|
|
|
|
|
|
пп xў= x + 1 |
, |
|
|
||||
н |
|
|
|
|
|||
ппyў= y - 2 |
|
|
|
|
|||
о |
|
|
|
|
|
|
|
уравнение приобретает вид |
xў2 |
+ |
|
yў2 |
= 1. |
||
25 |
25 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
Получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 5
и |
b = |
5 |
, центр которого находится в новом начале координат |
|||||||
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oў(- 1;2). Отражаем это рисунком 6.3. |
||||||||||
|
Ответ: |
xў2 |
+ |
|
yў2 |
= 1. |
|
|||
|
|
|
25 |
|
||||||
|
25 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
y |
O′ 2
x′
−1 O
x
Рис. 6.3
60
Классификация кривых второго порядка
Если исходное уравнение кривой второго порядка вида (5.1)
содержит произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ), то для приведения его к каноническому виду используется поворот системы координат (мы его здесь не рассматриваем).
Если же в уравнении (5.1) присутствуют переменные x и y
без квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ), то выполняется параллельный перенос осей координат для того, чтобы уравнение в новой системе координат приобрело канонический вид. Этих преобразований достаточно для решения поставленных задач.
Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их произведение.
Для канонического уравнения эллипса |
A = |
1 |
, |
C = |
1 |
, т.е. |
||||||
a2 |
b2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
произведение AC > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для гиперболы A = |
1 |
|
, C = − |
1 |
, т.е. AC < 0 ; |
|
|
|
|
|||
a2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||
для параболы A = 0 , |
C = 1, т.е. AC = 0 . |
|
|
|
|
|
|
Остальные виды канонических уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно,
отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа. Тогда получаем классификацию:
61
I. Эллиптический тип:
|
x |
2 |
|
y2 |
|
||
1) |
|
|
+ |
|
|
= 1 |
(эллипс или окружность), |
a |
2 |
b |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
2) |
x |
2 |
+ |
y |
2 |
= 0 |
(точка), |
|
|
|
|
||||
a |
2 |
b |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
3) |
x2 |
|
+ |
|
y2 |
= - 1 (пустое множество). |
||||||||||
a |
2 |
|
b |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
II. Гиперболический тип: |
||||||||||||||||
4) |
|
x |
2 |
- |
|
|
y2 |
|
= 1 |
(гипербола), |
||||||
|
a |
2 |
|
b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
|
x2 |
|
- |
|
|
y2 |
|
= 0 |
(пара пересекающихся прямых). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Параболический тип:
6)y2 = 2 px (парабола),
7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),
8)y2 = 0 (прямая),
9)y2 = - a2 (пустое множество).
Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если,
например, в нём B ¹ 0 . Оказывается, по исходным
коэффициентам уравнения (5.1), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:
I. Если |
AC − B2 > 0 , |
то |
уравнение |
задаёт |
линию, |
относящуюся к эллиптическому типу. |
|
|
|||
II. Если |
AC − B2 < 0 , |
то |
уравнение |
задаёт |
линию, |
относящуюся к гиперболическому типу. |
|
|
|||
|
|
62 |
|
|
|
III. Если |
AC − B2 = 0 , |
то |
уравнение задаёт линию, |
относящуюся к параболическому типу. |
|||
Пример. |
Определить |
тип |
кривой, заданной уравнением |
xy = 3 .
Решение. В заданном уравнении A = C = 0, 2B = 1. Так как
AC − B2 = − 14 < 0 , оно задаёт линию гиперболического типа, В
этом случае для построения можно пользоваться привычной записью уравнения гиперболы в виде y = 3x (x ¹ 0) .
Ответ: уравнение задает кривую гиперболического типа.
Итак, чтобы разобраться с построением линий по уравнению второго порядка (5.1), нужно сначала определить тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводят уравнение к каноническому виду, выполняя соответствующие преобразования координат.
§7. Поверхности второго порядка
Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + |
|
|
|||
+2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 , |
|
(7.1) |
|||
где коэффициенты A, B,C, D, E , F ,G , H , K иL |
— |
любые |
|||
действительные |
числа, но, по крайней |
мере, одно из |
чисел |
||
A, B,C, D, E |
или |
F отлично от |
нуля |
(т.е. |
|
A2 + B2 + C2 + D2 + E2 + F 2 ¹ 0 ), |
называется |
|
общим |
||
уравнением поверхности второго порядка. |
|
|
|||
|
|
63 |
|
|
|
Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат
(теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.
Цилиндрические поверхности
Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так
называемых образующих), проходящих через каждую точку
заданной линии L (направляющей), называется
цилиндрической поверхностью. Образно можно представить,
что цилиндрические поверхности образуются движением прямой,
которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 7.1).
В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости xOy линию L , которая
задаётся уравнением |
F(x, y) = 0. Пусть M0 (x0 , y0 , 0) – |
произвольная точка |
направляющей (рис. 7.1). Тогда |
F (x0 , y0 ) = 0 . |
|
Рассмотрим цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz . Если такая
образующая проходит через M0 (x0 , y0 , 0) , |
то абсциссы всех её |
|
точек равны x0 , а ординаты равны |
y0 . Поэтому координаты |
|
произвольной точки M (x0 , y0 , z0 ) этой |
образующей тоже |
|
удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 |
при любом значении z0 . |
z
y
x
Рис. 7.1
Точка M0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно
утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 .
Ясно, |
что |
уравнение |
вида |
F (x, z) = 0 |
задаёт |
цилиндрическую поверхность с |
образующими, параллельными |
||||
оси Oy , |
а уравнение вида F ( y, z) = 0 |
задаёт цилиндрическую |
поверхность с образующими, параллельными оси O x .
Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их
названия соответствуют названиям направляющих линий L .
Например, уравнение |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 |
задаёт в пространстве |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Его направляющей является эллипс, а поверхность,
задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим
65
цилиндром (рис. 7.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнение в каноническом виде имеет вид x2 + y2 = R2 .
Уравнение вида x2 = −2 py определяет в пространстве
параболический цилиндр (рис. 7.2).
|
|
|
|
Рис. 7.2 |
|
Уравнение вида |
y2 |
− |
x2 |
= 1 определяет в пространстве |
|
b2 |
a2 |
||||
|
|
|
гиперболический цилиндр (рис. 7.3).
Рис. 7.3
66
Поверхности вращения
Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности вращения), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей
(лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения (совпадающей с одной из координатных осей,
расположенных в той же плоскости).
Будем вращать расположенный в плоскости yOz эллипс с
уравнением |
y2 |
+ |
z2 |
=1 |
вокруг |
координатной оси Oz . |
|
b2 |
c2 |
||||||
|
|
|
|
|
Полученную поверхность рассечём плоскостью, параллельной
координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O′(0, 0, z) (рис. 7.4).
z
y
x
Рис. 7.4
67
Пусть M (x, y, z) – |
произвольная точка поверхности вращения, |
||||
лежащая в плоскости сечения. Рассмотрим в |
плоскости yOz |
||||
точку поверхности |
M ′(0, y′, z) . Её |
ордината |
по абсолютной |
||
величине равна |
радиусу окружности, на которой лежит точка |
||||
M (x, y, z) , |
т.е. O′M ′ = O′M , поэтому x2 + y2 = y′2 . Находящаяся в |
||||
плоскости |
yOz |
точка M ′(0, y′, z) |
принадлежит и плоскости |
сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что её координаты
удовлетворяют уравнению |
y′2 |
+ |
z2 |
=1. |
Подставляя в это |
|||||||||||||||||||
b2 |
c2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнение |
выражение |
y′ |
|
через |
x |
и |
y , |
получим |
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
+ |
|
y |
+ |
|
|
|
= 1. Это и есть |
|
искомое уравнение |
поверхности |
||||||||||||
|
2 |
2 |
c |
2 |
||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вращения, называемой эллипсоидом вращения. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Если вращать эллипс |
y2 |
+ |
z2 |
|
=1 |
вокруг оси Oy , получится |
|||||||||||||||
|
|
|
c2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
другой |
|
эллипсоид вращения |
(рис. |
7.5) |
с |
уравнением |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
+ |
y |
|
+ |
z |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
c |
|
|
|
b |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
y
x
Рис. 7.5
68
От этих примеров нетрудно перейти к алгоритму получения уравнения поверхности вращения по уравнению исходной кривой, если осью вращения служит одна из координатных осей.
В уравнении кривой слагаемое с переменной, наименование которой совпадает с наименованием оси вращения, останется без изменения, а квадрат другой переменной меняется на сумму квадратов этой переменной и переменной, отсутствовавшей в уравнении.
§8. Канонические уравнения поверхностей
второго порядка
Теперь перейдем к другим поверхностям второго порядка,
определяемым общим уравнением
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz +
+2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 .
Каждая поверхность может быть построена по её уравнению методом сечений. Проследим, как образуются поверхности второго порядка, проявляясь постепенно по мере стыковки разных сечений.
Эллипсоиды
Начнём с уравнения эллипсоида
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1 . |
(8.1) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
Уравнение сечения этой поверхности координатной плоскостью xOz получается, если в исходном уравнении (8.1) принять y = 0 :
x2 |
+ |
z2 |
= 1. По виду уравнения мы узнаём эллипс и можем |
|
a2 |
c2 |
|||
|
|
изобразить его в соответствующей плоскости (рис. 8.1).
69