9769
.pdfГипербола
Множество всех точек M плоскости, разность расстояний
которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная,
называется гиперболой. Указанная разность берётся по абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 и F2
называются фокусами гиперболы. Как и ранее, |
2c = F1F2 |
- |
||||
расстояние между фокусами. |
|
|
|
|
||
Таким образом, если точка M гиперболы находится ближе к |
||||||
фокусу F2 , выполняется равенство |
F1M − F2 M = 2a , |
а если |
M |
|||
находится ближе |
к |
фокусу |
F1 , |
то F2 M − F1M = 2a . |
Из |
|
рассмотрения суммы сторон треугольника MF1F2 видим, что |
||||||
MF1 < MF2 + F1F2 . |
Поэтому |
MF1 − MF2 < F1F2 . |
В наших |
|||
обозначениях получаем |
2a < 2c , или a < c . |
|
|
|||
Для получения |
уравнения |
вводим систему координат так, |
чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 (рис. 5.2). В этой системе координаты произвольной точки M обозначим x и y , а
координаты фокусов будут соответственно: F1 (−c;0) , F2 (c;0) .
Заменив расстояние F1M и F2 M между точками их выражениями через координаты, получим
( x + c)2 + y2 − ( x − c)2 + y2 = ±2a .
Это уравнение, как и для эллипса, приводится для удобства к другому виду. Перенесём второй радикал в правую часть и возведём в квадрат обе части уравнения
( x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 ,
раскроем скобки и после сокращения получим
xc − a2 = ±a( x − c)2 + y2 .
50
Снова возводим в квадрат и сокращаем подобные слагаемые:
|
(c2 − a2 ) x2 − a2 y2 = a2 (c2 − a2 ) . |
|
||||||
Учитывая, что, в отличие |
от |
эллипса, для гиперболы a < c , |
||||||
можно ввести |
b2 = c2 − a2 . |
Тогда уравнение |
примет вид |
|||||
b2 x2 − a2 y2 = a2b2 |
или |
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 |
|
− |
y2 |
=1. |
(5.3) |
|
|
|
a2 |
|
|||||
|
|
|
b2 |
|
||||
Это уравнение называется каноническим уравнением |
||||||||
гиперболы. Так как уравнение (5.3) содержит x |
и y только в |
чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей
Ox и Oy , а также относительно начала координат. Оси
симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы.
Положив y = 0 в уравнении (5.3), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 (-a;0) , A2 (a;0), которые называются вершинами гиперболы. Если взять x = 0 в уравнении
(5.3), то получим |
y2 = −b2 . Следовательно, с осью Oy гипербола |
|||||
не пересекается. |
|
|
|
|
|
|
Отрезок A1 A2 |
= 2a принято называть действительной осью |
|||||
гиперболы |
(а отрезок |
ОA1 = a – |
действительной |
полуосью); |
||
отрезок B1B2 = 2b , соединяющий |
точки |
B1 (0; -b) |
и B2 (0;b) , |
|||
называется |
мнимой |
осью ( ОB1 = b – |
мнимой |
полуосью). |
Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 5.2).
Из уравнения (5.3) следует, что если x < a , то y не имеет
действительных значений, то есть, нет точек гиперболы с
2
абсциссами −a < x < a . Должно выполняться условие x2 ³1 или a
51
x ³ a . Это означает, что гипербола состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x = a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x = −a , образуя левую ветвь. Наконец,
из уравнения (5.3) видно, что с возрастанием |
x |
возрастает и |
|
y |
, |
|||||
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
так как разность |
|
- |
y |
сохраняет постоянное значение. |
Тем |
|||||
a |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
самым приходим к заключению: если y > |
0 , то точка M |
( x, y ) |
|
при возрастании x , начиная от x = a , |
движется |
всё |
время |
«вправо» и «вверх»; если y < 0 , то M ( x, y ) |
движется «вправо» и |
||
«вниз». Так образуется неограниченная |
правая |
ветвь. |
При |
x → −∞ от значения x = −a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис. 5.2).
Рис. 5.2
Присмотримся внимательнее к тому, как точка M «уходит в бесконечность». В математическом анализе используется понятие асимптотического приближения какой-либо кривой Г к
прямой l , называемой асимптотой этой кривой. Это понятие вводится, если возможно неограниченное удаление точки M по бесконечной ветви линии Г , при котором расстояние от точки
52
данной кривой до этой прямой стремится к нулю. Для обеих ветвей гиперболы при x → +∞ и x → −∞ наклонными
асимптотами являются прямые y = ± b x . a
Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению
(5.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника,
продолжая диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к
ним (рис. 5.2). Фокусы находятся на расстоянии c = |
a2 + b2 |
от |
|
начала координат. |
|
|
|
Гипербола с |
равными полуосями (a = b) |
называется |
|
равносторонней, |
её каноническое уравнение |
имеет |
вид |
x2 − y2 = a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы
становится квадратом; прямые y = x и y = −x являются
асимптотами, перпендикулярными друг к другу.
Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом
гиперболы и обозначается буквой ε : ε = c . Для гиперболы ε > 1,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
c2 |
a2 + b2 |
b 2 |
|||||
так |
как |
|
c > a . |
Поскольку |
ε |
|
= |
|
|
= |
|
|
= 1 + |
|
, то |
||||||||
|
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ε = |
1 + |
b |
2 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
ε 2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
, |
|
|
. Следовательно, как и для эллипса, |
|||||||||||||||||
|
|
a |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем
b
меньше эксцентриситет, тем меньше отношение a , то есть
основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равносторонней гиперболы ε = 2 .
53
Парабола
Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной
точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется
параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы
принято обозначать через p (рис. 5.3). Величину p называют
фокальным параметром параболы.
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 5.3).
Тогда координаты фокуса |
F |
p |
; 0 |
|
, а уравнение директрисы в |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
этой системе координат имеет вид |
x = − |
p |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
Рис. 5.3
Координаты произвольной точки M параболы обозначим x
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
||
и y , |
запишем расстояние |
MF = |
x − |
|
|
+ y |
|
. |
Расстояние от |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
точки |
M до директрисы |
равно |
MQ , |
где |
Q |
|
– основание |
перпендикуляра, опущенного из M на директрису. Поскольку Q
54
имеет координаты − |
p |
; y |
, |
то MQ = x + |
p |
. Тогда для параболы |
|||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
p 2 |
+ y |
2 |
= x + |
|
p |
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Возведём обе части полученного равенства в квадрат |
|||||||||||||||||
x2 − px + |
p2 |
|
+ y2 = x2 + px + |
p2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
и запишем каноническое уравнение параболы |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 = 2 px . |
|
|
|
|
|
(5.4) |
|||||||
Как для эллипса |
и |
гиперболы, |
|
уравнение параболы тоже |
является частным случаем уравнения второго порядка. Оно
получается из (5.1) при
Уравнение (5.4) содержит переменную y только в чётной
степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси
Ox . Так как p > 0 , то переменная x должна быть
неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа
от оси |
Oy . |
Если |
x = 0 , |
получаем |
y = 0 . |
|
При |
возрастании |
x |
|
возрастает и |
y (причём, если x → +∞ , то |
y → +∞ ). Построив в |
||||||||
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
первой |
четверти |
график |
функции |
|
2 px |
и отразив |
его |
симметрично относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 5.3). Ось симметрии параболы (в
данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью.
Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её
вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат).
|
Для описания геометрического смысла фокального параметра |
p |
можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x = 1. |
Из |
уравнения (5.4) найдём соответствующие ему значения |
|
55 |
ординаты: |
y = ± |
2 p |
. |
Это даёт |
на параболе |
две точки |
||||||
M1 (1; |
|
) |
и M 2 (1; − |
|
), расстояние между которыми равно |
|||||||
2 p |
||||||||||||
2 p |
||||||||||||
|
|
|
|
p , тем больше расстояние |
||||||||
2 2 p . |
Тем самым, чем больше |
|||||||||||
M1M 2 . |
Следовательно, |
параметр |
p характеризует |
«ширину» |
области, ограниченной параболой.
Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким
геометрическим случаям, называемым вырожденными.
Вырожденные случаи
Если в уравнении линии второго порядка (5.1)
коэффициенты |
|
|
|
B = D = E = F = 0 , |
то |
остаётся |
только |
два |
||||||
слагаемых, т.е. |
|
Ax2 + Cy2 = 0 . |
При одинаковых знаках |
A и C |
||||||||||
уравнению соответствует на |
плоскости |
одна |
точка – |
начало |
||||||||||
координат. При разных знаках |
A и C – |
пара пересекающихся |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямых |
y = ± |
|
− |
|
A |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если в уравнении (5.1) остаются ненулевыми два других |
||||||||||||||
слагаемых, например, оно имеет вид |
Cy2 + F = 0 |
, то возможны |
||||||||||||
две ситуации: при одинаковых знаках коэффициентов C и F |
||||||||||||||
решений |
нет, |
а при разных знаках C и F |
получаются |
две |
||||||||||
параллельные прямые. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если из уравнения (5.1) остаётся одно слагаемое Cy2 = 0 или |
||||||||||||||
Ax2 = 0 , |
то |
на |
|
|
плоскости |
получается одна прямая. Если |
||||||||
B = D = E = 0 |
и |
в уравнении |
Ax2 + Cy2 + F = 0 |
коэффициенты |
A > 0,С > 0, F > 0 , то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
56
§6. Приведение уравнения линии второго порядка к
каноническому виду
Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (5.1). В
задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид
уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ) или переменные x и y без
квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к
какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение.
После этого легко будет построить график заданной кривой.
Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования
системы координат, которые не изменяют расстояния между
точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Разберём далее, что происходит с уравнениями при параллельном переносе координат.
Параллельный перенос осей координат
Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат xOy . Выберем начало вспомогательной системы координат в точке Oў(x0 ; y0 ). Оси Oўxў и Oўyў расположим
параллельно соответствующим осям Ox и Oy , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xOy к системе Oўxўyў называется параллельным переносом осей координат.
57
y |
y′ |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
y′ |
′ |
|
|
|
|
O |
|
|
y |
x′ |
x |
′ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
O |
x |
y′ |
|
|
Рис. 6.1
Для произвольной точки M координаты относительно
исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обозначим (xў; yў). Поскольку имеет
место векторное равенство OM = OOў+ OўM (рис. 6.1), то можно записать в координатах
|
м |
|
|
|
|
|
пx = xў+ x |
|
|
||
|
п |
|
0 |
|
|
|
н |
ў |
|
(6.1) |
|
|
п |
|
|||
|
опy = y + y0 |
|
|
||
|
|
|
|
x; y |
) |
Формулы (6.1) позволяют находить исходные координаты ( |
|||||
xў; yў |
при параллельном переносе. |
«Новые» |
|||
по известным ( |
) |
||||
координаты выражаются через исходные следующим образом: |
|
||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
пxў= x - x |
|
|
|
|
|
п |
0 |
|
|
|
|
н |
y , |
(6.2) |
|
|
|
пyў= y - |
|
||
|
|
п |
|
|
|
о |
0 |
|
Пример. Какой вид приобретёт уравнение прямой y = 3x - 1
в новой системе координат, если совершается параллельный перенос осей координат к новому началу Oў(1;2)?
58
|
м |
|
Решение. Используя (6.1) в виде |
пп x = xў+ 1 |
, получим |
н |
||
|
ппy = yў+ 2 |
|
|
о |
|
yў+ 2 = 3(xў+ 1)- 1 или yў= 3xў. |
|
|
Ответ: yў= 3xў |
|
|
Видим, что после параллельного переноса уравнение может упроститься (а может и усложниться). Важно правильно выбирать новое начало координат.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
(x - 1)2 + (y + 3)2 = 4 . Построить кривую, заданную этим
уравнением.
Решение. Ясно, что полезен параллельный перенос
м
пп xў= x- 1 .
н
ппyў= y + 3
о
Уравнение xў2 + yў2 = 4 определяет окружность радиуса 2 с
центром в начале координат Oў(1;- 3). На рисунке 6.2 отражено
построение, соответствующее такому преобразованию.
Ответ: xў2 + yў2 = 4.
y y′
O |
|
x |
|
||
|
|
|
O′ |
− 3 |
x′ |
Рис. 6.2
59