9768

Рис. 8.1

При x = 0 из (8.1) получаем уравнение другого эллипса,

располагающегося в плоскости yOz и имеющего те же точки

Рисунок дополняется эллипсом в плоскости xOy (рис. 8.2).

Рис. 8.2

70

Рассмотрим произвольную плоскость z = h (где h – любое

число), параллельную xOy . Сечение исходной поверхности (8.1)

этой плоскостью задаётся уравнением

То есть при всех h < c в сечении эллипсоида (8.1) плоскостями

Аналогичная картина получается в сечениях поверхности (8.1)

плоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и

yOz .

Отметим, что на плоскости нет точек, отвечающих условию z > c . Т.е. у поверхности, которую мы строим, нет пересечения с

рисунком 8.2. Вполне естественно, что эта поверхность носит название «эллипсоид» – по названиям сечений.

Эллипсоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают

71

с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями эллипсоида. Если две из трёх полуосей одинаковы, то,

эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Если a = b = c , то уравнение (8.1) определяет сферу.

Гиперболоиды

Рассмотрим уравнение однополостного гиперболоида

Всечениях координатными плоскостями xOz и yOz

поверхности, определяемой этим уравнением, получаются гиперболы, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу – эллипсы. В целом поверхность выглядит, как бесконечная трубка, расширяющаяся в обе стороны от горлового эллипса (рис. 8.3).

Рис. 8.3

72

Можно доказать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит прямая, определяемая системой (8.4). То есть прямые (называемые прямолинейными образующими однополостного гиперболоида) покрывают его поверхность целиком.

Поверхности, составленные из прямых, называют

линейчатыми. Ясно, что конусы и цилиндры относятся к этому классу. Но для однополостного гиперболоида геометрически такое свойство не очевидно. Тем не менее, как мы убедились,

однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью.

Более того, он обладает двумя системами прямолинейных образующих (рис. 8.3).

Вторую систему уравнений прямолинейных образующих однополостного гиперболоида можно получить по аналогии с системой (8.4):

Знаменитый русский инженер Владимир Григорьевич Шухов

(1853 - 1939) использовал в строительной технике возможность образования однополостного гиперболоида прямыми линиями.

Ему принадлежит идея создания металлических конструкций из балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Эти конструкции обладают большой жёсткостью, прочностью и малым весом. Они применяются для устройства водонапорных башен и высоких радиомачт.

В 1896 году на Всероссийской промышленной и художественной выставке в Нижнем Новгороде были выставлены

74

сетчатые конструкции, изготовленные по проекту В.Г. Шухова:

павильоны с висячими покрытиями и павильоны с сетчатыми оболочками, а также гиперболоидная водонапорная башня. Это было моментом рождения рациональной архитектуры,

использовавшей новаторские конструктивные формы. В

Нижегородской области сохранились подлинные сооружения

В.Г. Шухова, являющиеся памятниками инженерного искусства мирового уровня.

Рассмотрим далее уравнение двуполостного гиперболоида

поверхности, определяемой этим уравнением, получаются

эллипсы.

Но если рассмотреть сечение координатной плоскостью xOу ,

означает, что поверхность не пересекается с координатной плоскостью xOу , также как со всеми плоскостями z = h при h < c . Следовательно, она состоит из двух отдельных «полостей»,

имеющих вид бесконечных выпуклых чаш (рис. 8.4).

Двуполостный гиперболоид обладает тремя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями). Величины a , b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

75

Рис. 8.4

Если a = b, то двуполостный гиперболоид становится поверхностью вращения и может быть получен вращением

Можно получить двуполостный гиперболоид вращения с

Конус

Рассмотрим уравнение конуса второго порядка

поверхности, определяемой этим уравнением, получаются пересекающиеся прямые, а в сечениях, параллельных координатной плоскости xOу - эллипсы (рис. 8.5). Эта поверхность называется конусом.

76

Рис. 8.5

Если a =b, то конус становится поверхностью вращения (в

этом случае он называется круговым конусом) и может быть

прямую закрутить вокруг оси Oy , то получится круговой конус с

Особенностью конуса является то, что любое его сечение плоскостью, не проходящей через вершину, есть эллипс,

гипербола или парабола (в зависимости от наклона секущей плоскости). Поэтому эти классические линии со времён Древней Греции называют коническими сечениями. Часто встречаясь в явлениях природы и деятельности человека, эти линии приобрели особое значение после открытия, сделанного из наблюдений И.Кеплером в 1609 году и теоретически обоснованного И.Ньютоном в 1687 году: планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце.

77

Параболоиды

Рассмотрим уравнение эллиптического параболоида

2z = x2 + y2 , p q

где параметры p и q положительны. В сечениях координатными плоскостями xOz и yOz поверхности,

определяемой этим уравнением, получаются параболы, а в сечениях z = h при h > 0 - эллипсы (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Эллиптический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ). При p = q параболоид становится поверхностью вращения (в этом случае он называется параболоидом вращения) и может быть получен вращением параболы вокруг своей оси.

78

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида

плоскостью xOz поверхности, определяемой этим уравнением,

«нисходящая» парабола с уравнением y2 = −2qz . Аналогично,

каждая плоскость y = h пересекает поверхность по «восходящей» параболе, а каждая плоскость x = h – по «нисходящей» параболе.

В сечениях, параллельных координатной плоскости xOy ,

получаются гиперболы. Гиперболический параболоид обладает двумя плоскостями симметрии (при данном выборе осей они совпадают с координатными плоскостями xOz и yOz ) и имеет вид «седла» (рис. 8.7).

Рис. 8.7

79