9768

Пример. Построить прямую l : 2x − 6 y = 0 .

Решение. Здесь A = 2 , B = −6 , C = 0. Уравнение прямой l

является общим уравнением прямой на плоскости, проходящей

y

l

Рис.3.7

(рис.3.8)

y

является общим уравнением прямой на плоскости, параллельной оси Ox и проходящей через точку ( 0;−2) (рис. 3.9).

30

y

Ax + C = 0 или x = − C .

A

Это уравнение прямой на плоскости, параллельной оси Oy и

y

является общим уравнением прямой на плоскости, параллельной

y

2

Рис. 3.11

31

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через

Ответ: x + 2 y − 5 = 0.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть две прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми

повернуть прямую l , вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 . (рис. 3.13).

y

Рис.3.13

По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: α2 = ϕ + α1

Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.

Пример. Найти угол между прямыми l1 : x − 2 y + 1 = 0 и l2 : 3x + y − 3 = 0 .

Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 и l2 в виде уравнений с угловыми коэффициентами k1 и k2 ,

Ответ: ϕ = arctg 7 .

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то

есть

утверждение.

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M (1; 2) и перпендикулярной прямой L : 3x + 2 y − 5 = 0 .

Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде

уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :

L : 3x + 2 y − 5 = 0 ,

L : 2 y = −3x + 5 ,

искомое уравнение прямой l :

l : y − 2 = 2 (x −1) 3

l : 3y − 6 = 2x − 2 l : 2x − 3y + 4 = 0

Ответ: 2x − 3y + 4 = 0.

35

§ 4. Плоскость

Переходим далее к аналитической геометрии в пространстве. Объектом изучения теперь будет плоскость. Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то положение любой точки однозначно определяется тремя числами - её координатами. Найдем уравнение, связывающее координаты любой точки,

принадлежащей плоскости. Способ получения уравнения плоскости аналогичен выводу общего уравнения прямой на плоскости.

перпендикулярной вектору N (рис. 4.1).

z

N = (A; B;C )

M 0

x

Рис. 4.1

36

Выберем произвольную точку M ( x; y; z) на плоскости.

Тогда вектор M 0M = {x - x0; y - y0 ; z - z0} лежит на плоскости. Так

проходящей через точку M 0 (x0 ; y0; z0 ) и перпендикулярной вектору N {A; B;C} .

Вектор N { A; B;C} называется вектором нормали плоскости.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1;2;3) и перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1;7)

и Q(-1;2;5).

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали плоскости: N = PQ = {−1;1;−2} .

Подставляя в уравнение (4.1) координаты точки M 0 (1;2;3) и

найденные координаты вектора N , находим искомое уравнение плоскости:

-1×( x -1) +1×( y - 2) - 2 ×( z - 3) = 0 или

−x + y − 2z + 5 = 0

Ответ: −x + y − 2z + 5 = 0 .

Далее преобразуем уравнение (4.1):

Ax − Ax0 + By − By0 + Cz − Cz0 = 0 или

Ax + By + Cz + (− Ax0 − By0 − Cz0 ) = 0 .

37

Обозначив D = −Ax0 − By0 − Cz0 , получаем общее уравнение

Исследуем уравнение (4.2)

1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 , D ¹ 0 уравнение (4.2) примет

вид

Ax + By + Cz = −D .

Разделив обе части последнего уравнения на (−D)

где a , b и c - величины отрезков, которые плоскость отсекает от осей координат (рис. 4.2).

z

− CD

N = (A; B;C )

Рис. 4.2

38

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 1;2;3) и отсекающей от осей координат равные

отрезки.

Решение. Используем уравнение (4.3). Так как a = b = c по условию, то его можно переписать в виде x + y + z = a .

Поскольку точка M 0 ( 1;2;3) лежит на плоскости, то,

подставляя ее координаты в последнее уравнение, находим a = 6 .

плоскость (рис. 4.3).

z

4

2

x

Рис. 4.3

39